Wartości i wektory własne macierzy

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Wektory i wartości własne – a co to?

Wartości i wektory własne macierzy pojawiają się (albo i nie) na studiach jako rozszerzenie tematu macierzy . Nie ująłem ich w swoim Kursie, dlatego zainteresowanym tematem ten post może się naprawdę przydać.

Co już trzeba umieć?

• macierze
• równania wielomianowe ze średniej (najczęściej tylko drugiego i trzeciego stopnia)

Obliczanie wartości i wektorów własnych krok po kroku

1. Na starcie daną masz macierz kwadratową (wyłącznie), powiedzmy A. Tylko.
2. Obliczasz macierz {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I gdzie \lambda to jakaś liczba, która jest niewiadomą, a I to macierz jednostkowa (czyli kwadratowa, która ma jedynki na przekątnej, a poza nimi same zera).
3. Liczysz wyznacznik macierzy {{A}_{\lambda }}.
4. Ten wyznacznik to tzw. równanie charakterystyczne macierzy. Przyrównujesz go do zera i liczysz jego pierwiastki. Te pierwiastki to właśnie wartości własne macierzy. Oznaczasz je {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots .
5. Pierwiastki wstawiasz kolejno do równania: {{A}_{\lambda }}X=0, gdzie X jest niewiadomym wektorem (czyli macierzą jednokolumnową). Rozwiązujesz te równanie. Rozwiązaniem będzie pewien zbiór wektorów X, z których każdy można nazwać  wektorem własnym.

Przykład 1 (z macierzą kwadratową 2 stopnia)

Oblicz wektory i wartości własne macierzy A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right].

Zadanie rozwiązuję krok po kroku według schematu wyżej.

1.

2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]

3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5

4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
Wartości własne macierzy to: -1 i 5.

5.

Wektory własne dla {{\lambda }_{1}}=-1

Dla {{\lambda }_{1}}=-1:

{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}3-\left( -1 \right) & 2 \\4 & 1-\left( -1 \right) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]X=0

\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]

Stąd (mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.

Czyli musi być spełniona zależność:
4x+2y=0

Równanie to spełnia nieskończenie wiele par x i y, zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań.

Czyli wektorów własnych dla wartości własnej {{\lambda }_{1}}=-1 jest nieskończenie wiele.

Na przykład ustalając sobie x=1 otrzymam 4\cdot 1+2y=0, czyli y=-2.

Przykładowy wektor własny zatem to:

Ogólnie zaś wektory własne będą miały współrzędne:

bo z zależności 4x+2y=0 można wyliczyć, że y=-2x.

Wektory własne dla {{\lambda }_{2}}=5

Dla {{\lambda }_{2}}=5:

{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}3-5 & 2 \\4 & 1-5\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]X=0

\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]

Teraz (znowu mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.

Układ jest – jak zawsze tutaj – nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), ale mam zależność:

Równanie to spełnia nieskończenie wiele par, w których x=y, zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań.

Czyli wektorów własnych dla wartości własnej {{\lambda }_{2}}=5 jest nieskończenie wiele i ogólnie mają równanie:

Na przykład ustalając sobie x=1 otrzymam wektor własny:

Przykład 2 (z macierzą kwadratową 3 stopnia)

Oblicz wektory i wartości własne macierzy A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right].

Zadanie rozwiązuję krok po kroku według tego samego schematu.

1.

2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]

3.

Liczę regułą Sarrusa i mam:

4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

Teraz myk z grupowaniem wyrazów (jak w szkole średniej):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0

\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

Czyli:

{{\lambda }^{2}}+11=0 lub -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych (ale jeśli Twój profesor wymaga liczenia wartości własnych także w liczbach zespolonych to do boju, będziesz tu normalnie miał dwa pierwiastki – liczby zespolone).

Wartością własną (w liczbach rzeczywistych) macierzy jest: 2.

5.

Wektory własne dla {{\lambda }}=2

Dla \lambda=2:

\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]

\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0

\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]

Stąd (mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):

\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.

Pamiętasz, że jest to zawsze układ nieoznaczony, który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Żeby go rozwiązać, możesz zastosować twierdzenie Kroneckera – Capellego, ale ten tutaj jest wyjątkowo prosty.

Uwzględniając, że mam na dzień dobry y=0 mam z pozostałych dwóch równań:

A z tych równań mam zależność z=-x.

Czyli wektorów własnych dla wartości własnej \lambda=2 jest nieskończenie wiele i można je opisać zależnością:

Przykładowym wektorem własnym zaś mógł by być:

Jak policzyć wektory i wartości własne w WolframAlpha?

Jeśli potrzebujesz tylko gotowych rozwiązań, albo chcesz sobie sprawdzić wynik, możesz skorzystać z internetowego kalkulatora Wolframa . Wejdź na stronę:

www.wolframalpha.com

Potem wpisz w wyszukiwarkę macierz, do której wartości i wektory własne chcesz policzyć w następujący sposób:

{{elementy 1-go wiersza przedzielone przecinkami},{elementy 2-go wiersza przedzielone przecinkami},…}

Na przykład:

Potem już tylko zatwierdź klikając na ENTER.

Wielomian charakterystyczny – możesz odczytać z pola Characteristic polynomial

Wartości własne – możesz odczytać z pola Eigenvalues

Wektory własne – możesz odczytać z pola Eigenvectors

Video

W innym poście nagrałem również video, w którym pokazuję obliczanie wartości i wektorów własnych na 3 przykładach, zapraszam:

Wartości i wektory własne – 3 przykłady Video

Dziękuję

Mam nadzieję, że po przeczytaniu tego posta i zrobieniu kilku przykładów nie będziesz miał problemów z liczeniem wartości i wektorów własnych na studiach.

Jeśli masz jakiekolwiek wątpliwości, albo przykłady, których nie rozumiesz – daj mi znać w komentarzach pod postem.