blog

Wartości i wektory własne macierzy

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Macierz jednostkowa narysowana na tablicy

Wektory i wartości własne – a co to?

Wartości i wektory własne macierzy pojawiają się (albo i nie) na studiach jako rozszerzenie tematu macierzy . Nie ująłem ich w swoim Kursie, dlatego zainteresowanym tematem ten post może się naprawdę przydać.

Co już trzeba umieć?

  • macierze
  • równania wielomianowe ze średniej (najczęściej tylko drugiego i trzeciego stopnia)

Obliczanie wartości i wektorów własnych krok po kroku

  1. Na starcie daną masz macierz kwadratową (wyłącznie), powiedzmy A. Tylko.
  2. Obliczasz macierz {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I gdzie \lambda to jakaś liczba, która jest niewiadomą, a I to macierz jednostkowa (czyli kwadratowa, która ma jedynki na przekątnej, a poza nimi same zera).
  3. Liczysz wyznacznik macierzy {{A}_{\lambda }}.
  4. Ten wyznacznik to tzw. równanie charakterystyczne macierzy. Przyrównujesz go do zera i liczysz jego pierwiastki. Te pierwiastki to właśnie wartości własne macierzy. Oznaczasz je {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots .
  5. Pierwiastki wstawiasz kolejno do równania: {{A}_{\lambda }}X=0, gdzie X jest niewiadomym wektorem (czyli macierzą jednokolumnową). Rozwiązujesz te równanie. Rozwiązaniem będzie pewien zbiór wektorów X, z których każdy można nazwać  wektorem własnym.

Przykład 1 (z macierzą kwadratową 2 stopnia)

Oblicz wektory i wartości własne macierzy A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right].

Zadanie rozwiązuję krok po kroku według schematu wyżej.

1.

A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right] 2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right] 3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5
4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
Wartości własne macierzy to: -1 i 5.
5.

Dla {{\lambda }_{1}}=-1:
{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}3-\left( -1 \right) & 2 \\4 & 1-\left( -1 \right) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]
Stąd (mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.
Czyli musi być spełniona zależność:
4x+2y=0
Równanie to spełnia nieskończenie wiele par x i y, zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej {{\lambda }_{1}}=-1 jest nieskończenie wiele. Na przykład ustalając sobie x=1 otrzymam 4\cdot 1+2y=0, czyli y=-2. Przykładowy wektor własny zatem to:

\left[ \begin{matrix}1 \\-2 \end{matrix} \right]

Ogólnie zaś wektory własne będą miały współrzędne:

\left[ \begin{matrix}x \\-2x \end{matrix} \right]

bo z zależności 4x+2y=0 można wyliczyć, że y=-2x.

 

 

Dla {{\lambda }_{2}}=5:
{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}3-5 & 2 \\4 & 1-5\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]
Teraz (znowu mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.
Układ jest – jak zawsze tutaj – nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), ale mam zależność:

-2x+2y=0

x=y
Równanie to spełnia nieskończenie wiele par, w których x=y, zatem ma ono nieskończenie wiele rozwiązań. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej {{\lambda }_{2}}=5 jest nieskończenie wiele i ogólnie mają równanie:

\left[ \begin{matrix}x \\x \end{matrix} \right]

Na przykład ustalając sobie x=1 otrzymam wektor własny:

\left[ \begin{matrix}1 \\1 \end{matrix} \right]

 

 

Przykład 2 (z macierzą kwadratową 3 stopnia)

Oblicz wektory i wartości własne macierzy A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right].

Zadanie rozwiązuję krok po kroku według tego samego schematu.

1.

A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]
2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]
3.

\left| \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right|

Liczę regułą Sarrusa i mam:

\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22
4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

Teraz myk z grupowaniem wyrazów (jak w szkole średniej):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0
\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

Czyli:

{{\lambda }^{2}}+11=0 lub -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych (ale jeśli Twój profesor wymaga liczenia wartości własnych także w liczbach zespolonych to do boju, będziesz tu normalnie miał dwa pierwiastki – liczby zespolone).

-\lambda +2 = 0

\lambda = 2
Wartością własną (w liczbach rzeczywistych) macierzy jest: 2.
5.

Dla \lambda=2:
\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]
Stąd (mnożąc macierze po lewej i przyrównując do odpowiedniego elementu macierzy po prawej):
\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.
Pamiętasz, że jest to zawsze układ nieoznaczony, który ma nieskończenie wiele rozwiązań. Żeby go rozwiązać, możesz zastosować twierdzenie Kroneckera – Capellego, ale ten tutaj jest wyjątkowo prosty. Uwzględniając, że mam na dzień dobry y=0 mam z pozostałych dwóch równań:

\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.

 

A z tych równań mam zależność z=-x. Czyli wektorów własnych dla wartości własnej \lambda=2 jest nieskończenie wiele i można je opisać zależnością:

\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]

 

Przykładowym wektorem własnym zaś mógł by być:

\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]

 

Jak policzyć wektory i wartości własne w Wolframie?

Jeśli potrzebujesz tylko gotowych rozwiązań, albo chcesz sobie sprawdzić wynik, możesz skorzystać z internetowego kalkulatora Wolframa . Wejdź na stronę:

www.wolframalpha.com

Potem wpisz w wyszukiwarkę macierz, do której wartości i wektory własne chcesz policzyć w następujący sposób:

{{elementy 1-go wiersza przedzielone przecinkami},{elementy 2-go wiersza przedzielone przecinkami},…}

Na przykład:

Przykład macierzy wpisanej w wyszukiwarkę Wolfram

Potem już tylko zatwierdź klikając na ENTER.

Wielomian charakterystyczny – możesz odczytać z pola Characteristic polynomial

Wartości własne – możesz odczytać z pola Eigenvalues

Wektory własne – możesz odczytać z pola Eigenvectors

 

Video

W innym poście nagrałem również video, w którym pokazuję obliczanie wartości i wektorów własnych na 3 przykładach, zapraszam:

Wartości i wektory własne – 3 przykłady Video

 

 

 

Dziękuję

Mam nadzieję, że po przeczytaniu tego posta i zrobieniu kilku przykładów nie będziesz miał problemów z liczeniem wartości i wektorów własnych na studiach.

Jeśli masz jakiekolwiek wątpliwości, albo przykłady, których nie rozumiesz – daj mi znać w komentarzach pod postem.

Jeśli zaś całość podobała Ci się, kliknij na ‘Lubię to!’ albo na ‘+1’ pod tym postem, jeszcze raz wielkie dzięki.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Mateusz pisze:

    Kurczę, wszystko fajnie, dobrze wytłumaczone, jedyny problem że nie znalazłem tego kursu na pierwszym roku, wtedy algebra liniowa byłaby łatwa 😀

  2. Adam pisze:

    Panie Krystianie praca tu wykonana jest nieoceniona – dziękuję.Czy mógłby Pan przedstawić w przystępny sposób: wrażliwość wartości i wektorów własnych na zaburzenia macierzy. Jest tych materiałów trochę w \internecie, nie mniej jednak napisanych “bełkotem” matematycznym, który nie do końca jest zrozumiały. 

  3. Mariusz pisze:

    Co z zastosowaniem wartości i wektorów własnychnp do układów równań rekurencyjnych i różniczkowych 

  4. Andrzej Grażyński pisze:

    Dla treningu: jakie wartości własne i wektory własne ma macierz jednostkowa?

  5. Domi pisze:

    Dzieki za pomoc 🙂

  6. W jaki sposób mam obliczyć ile wektorów własnych uogólnionych (tzn. nie będących wektorami własnymi) ma macierz A 7×7 w której są same jedynki?

  7. Damian pisze:

    A jak rozwiązywać zadania w których występuje parametr i należy znależć taki a należące do R, iż macierz jest diagonalizowalna??

    1. Damian pisze:

      NP. A={{0,0,1-a^2},{1,0,1+a^2},{0,1,-1}}

  8. Kamil pisze:

    Dodam ze jest jeszcze inny sposob zeby policzyc wartosci wlasne, ale nie wiem czy da sie go wykorzystac w kazdym przypadku. Ale pozwala on czasami policzyc wektory wlasne szybciej, szczegolnie jesli wyjdzie nam jakis duży wielomian a nam sie nie chce go liczyc.
    Gdy mamy macierz, ktorej mamy policzyc wartosci wlasne, to najpierw liczymy jej wyznacznik. Zalozmy ze wyjdzie 6, wtedy szukamy takich liczb ktore wymnozone przez siebie dadza 6 np. 1, 2, 3 albo 1, 1, 6, albo -1, -2, 3. Potem podstawiamy którąś z tych liczb za lambde i liczymy wyznacznik powstalej macierzy. Jeśli rowna sie zero to znaczy ze jest to wartosc wlasna. A wektory liczymy tak jak przedstawil to Krystian.
    Troche chaotycznie to napisane ale chyba zrozumiale. Nie jestem tylko pewny czy zawsze da sie to zastosowac ale czasami da sie tak duzo szybciej policzyc te wektory.
    Najlepiej niech Krystian to wytlumaczy jak znajdzie czas ;D

  9. Iwona pisze:

    Witam, mam problem z obliczeniem wektorów własnych macierzy
    [latex]left[\begin{matrix}
    1&0&-3\1&4&2\-1&0&-1
    end{matrix}right][/latex]
    Obliczyłam wartości własne i wyszły mi 4,2 i -2 a w zadaniu muszę policzyć jeszcze wektory własne i mi to nie wychodzi.

  10. Ania pisze:

    Dzień dobry, szukam i szukam, i znaleźć nie mogę… A co w przypadku, gdy macierz M ∈ M2(ℤ7)? odrazu liczę ją w ℤ7 cz na końcu to nakreślam? Bo jak odrazu liczę to dziwe wyniki wychodzą. Dziękuję za wskazówki.

  11. RIJ pisze:

    Mam daną macierz A i obliczam w niej wartości własne i wektory. Czy bez liczenia A^2, A^3, A^(-1) można powiedzieć jakie będą wektory i wartości własne?

  12. Ania pisze:

    Świetnie wytłumaczone, dziękuje .
    Jednak mam pytanie na egzaminie ustnym po co oblicza się te wartości własne?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pan Mateusz kilka komentarzy wyżej fajnie to wytłumaczył na Swoim blogu, zapraszam:

  13. Adam pisze:

    Panie Krystianie, dziękuję bardzo za ten “wykład” oraz film na ten sam temat – bardzo się przydały przed zbliżającą się poprawką we wrześniu.
    Mam jednak pytanie związane z tym tematem, na które nie znalazłem odpowiedzi – jak sprawdzić kiedy macierz jest diagonalizowalna?

    Pozdrawiam serdecznie!

  14. Mateusz pisze:

    Prosto pokazane jak liczyć, tak ma być, podoba mi się. Pozwolę sobie o zamieszczenie linka do siebie z \interpretacją geometryczną.

    Pozdrawiam serdecznie i życzę dużo czytelników.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Świetny artykuł, więcej takich linków 🙂

      Wielkie dzięki, bardzo podoba mi się Twój blog, również powodzenia!

  15. Anna pisze:

    [latex]left[\begin{matrix}2&0&1&2&0\1&0&2end{matrix}right][/latex]dla tej macierzy obliczyłam wartość własną równą 6. Wolfram pokazuje mi 3 wartości, równe kolejno 3,2 oraz 1. czy to oznacza, że mój wynik jest zły i dla tej macierzy istnieją 3 wartości własne?

  16. Jacek pisze:

    To sie nazywa prawdziwy matematyk-pedagog. Krok po kroku sensownie wytlumaczone.
    Pozdrawiam i dzieki za odswiezenie ”starych smieci” 🙂

  17. Dominika pisze:

    a można też to rozwiązać sprowadzając do postaci wierszowo zredukowanej, prawda ? powiedzmy mam taki przykład … [latex] \left[\begin{matrix}4&-6&0&0\1&-1&0&0&0&1&0&0&0&2end{matrix}right][/latex]obliczam wartości własne… i powiedzmy, że chce znaleźć wektory dla [latex] \lambda = 2 [/latex]powstała mi taka macierz [latex] \left[\begin{matrix}2&-6&0&0\1&-3&0&0&0&-1&0&0&0&0end{matrix}right][/latex]teraz mam problem bo nie jestem do końca pewna jak sprowadzić ją do postaci wierszowo zredukowanej i jak wówczas odczytać wektory własne tej macierzy.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Pewno, sprowadzi się do tego, że układ równań, który powstaje z równania {{A}_{\lambda }}X=0rozwiązujemy korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capellego albo metody Gaussa (pokazałem w Kursie).

      Dla moich przykładów z posta:

      Przykład 1

      Układ \{ \begin{matrix}&4x+2y=0&4x+2y=0\end{matrix} można rozwiązać przekształcając macierz \left[ \begin{matrix}
      4 & 2 \\
      4 & 2 \end{matrix} \right]

      Przykład 2
      Układ \{ \begin{matrix}y=0-6x-y-6z=0-3x+y-3z=0 \end{matrix} rozwiąże się także przekształceniami na macierzy \left[ \begin{matrix}
      0 & 1 & 0 \\
      -6 & -1 & -6 \\
      -3 & 1 & -3 \end{matrix} \right]

      Jak się wie, co się robi, można w ogóle nie tworzyć układu, tylko przekształcać od razu macierz {{A}_{\lambda }}np. do postaci “wierszowo zredukowanej”.

      Rozwiązaniem będzie właśnie zbiór wektorów własnych (wyłączając zerowy).

    2. Marta pisze:

      Bardzo dziękuję za ten opis, okazał się on niezwykle pomocny.
      Jednak czy mógłby Pan rozwiązać przykład z szukaniem wektorów własnych sposobem takim, że przekształci Pan macierz do postaci wierszowo zredukowanej?
      “Niestety” tego wymaga się u mnie na uczelni.
      Pozdrawiam!

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Bardzo proszę, mam nadzieję, że z tą “macierzą wierszowo zredukowaną” chodzi po prostu o macierz Gaussa… :

      https://blog.etrapez.pl/macierze/wartosci-i-wektory-wlasne-macierzy-video/

    4. Krystian Karczyński pisze:

      Tutaj znajdzie Pani dokładny filmik “jak to zrobić”, również z macierzą 4 na 4:

      https://blog.etrapez.pl/macierze/wartosci-i-wektory-wlasne-macierzy-video/

  18. Mateusz Przybyła pisze:

    Drogi Krystianie,

    Wszystko fajnie opisane tylko zapomniałeś o napisaniu jednej, ważnej rzeczy. Wektor własny nie może być wektorem zerowym, więc przy wybieraniu przykładowego wektora musimy pamiętać, aby parametry dobrać tak, by właśnie otrzymać niezerowy wektor 🙂

    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      A no tak, rzeczywiście, wektor własny nie może być wektorem zerowym!

      Czyli mając równanie ogólne wektorów własnych np. \left[ \begin{matrix}
      x \
      -x \
      2x \
      end{matrix} \right]

      NIE możemy przyjąć sobie, że dla x=0wektorem własnym jest \left[ \begin{matrix}
      0 \
      -0 \
      2\cdot 0 \
      end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
      0 \
      0 \
      0 \
      end{matrix} \right]
      bo z definicji wektor własny nie może być wektorem zerowym.

      Dzięki za dobrą uwagę i uzupełnienie, Mateusz 🙂