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Valores propios y vectores propios de una matriz

Krystian Karczyński

Fundador y jefe del servicio eTrapez.

Maestro en Matemáticas por la Universidad Tecnológica de Poznań (Polonia). Tutor de matemáticas con muchos años de experiencia. Creador de los primeros Cursos eTrapez, que se han vuelto enormemente populares entre estudiantes de toda Polonia.

Vive en Szczecin (Polonia). Le gusta caminar por el bosque, ir a la playa y hacer kayak.


Vectores y valores propios – ¿qué son?

Los valores y vectores propios de una matriz aparecen (o no) en los estudios universitarios como una ampliación del tema de matrices. No los incluí en mi Curso, por lo que este post podría ser realmente útil para aquellos interesados en el tema.

¿Qué necesitas saber de antemano?

  • matrices
  • ecuaciones polinómicas de secundaria (generalmente solo de segundo y tercer grado)

Cómo calcular valores y vectores propios paso a paso

  1. Para empezar, tienes una matriz cuadrada (exclusivamente), digamos A. Solo eso.
  2. Calculas la matriz {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I donde \lambda es algún número que es desconocido, y I es la matriz identidad (es decir, una matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal y ceros en el resto).
  3. Calculas el determinante de la matriz {{A}_{\lambda }}.
  4. Este determinante es lo que se llama el ecuación característica de la matriz. Lo igualas a cero y calculas sus raíces. Estas raíces son precisamente los valores propios de la matriz. Los denotas {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots .
  5. Insertas las raíces una por una en la ecuación: {{A}_{\lambda }}X=0, donde X es el vector desconocido (es decir, una matriz de una sola columna). Resuelves esta ecuación. La solución será un conjunto de vectores X, cada uno de los cuales se puede llamar un vector propio.

Ejemplo 1 (con una matriz cuadrada de 2º grado)

Calcula los vectores y valores propios de la matriz A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right].

Resuelvo la tarea paso a paso según el esquema anterior.

1.

A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]

2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]

3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5


4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
Los valores propios de la matriz son: -1 y 5.

Vectores propios para {{\lambda }_{1}}=-1

Para {{\lambda }_{1}}=-1:


{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}3-\left( -1 \right) & 2 \\4 & 1-\left( -1 \right) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]


Por lo tanto (multiplicando matrices por la izquierda y comparando con el elemento correspondiente de la matriz por la derecha):
\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.


Por lo tanto, debe cumplirse la relación:
4x+2y=0


Esta ecuación tiene infinitas soluciones de pares x y y, por lo tanto, tiene infinitas soluciones.

Por lo tanto, hay infinitos vectores propios para el valor propio {{\lambda }_{1}}=-1 .

Por ejemplo, fijando x=1 obtenemos 4\cdot 1+2y=0, lo que da y=-2.

Un vector propio de ejemplo sería:

\left[ \begin{matrix}1 \\-2 \end{matrix} \right]

En general, los vectores propios tendrán coordenadas:

\left[ \begin{matrix}x \\-2x \end{matrix} \right]

porque de la relación 4x+2y=0 se puede deducir que y=-2x.

Vectores propios para {{\lambda }_{2}}=5

Para {{\lambda }_{2}}=5:


{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}3-5 & 2 \\4 & 1-5\end{matrix} \right]=\left [ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]


Ahora (nuevamente multiplicando matrices por la izquierda y comparando con el elemento correspondiente de la matriz por la derecha):
\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.


El sistema es, como siempre aquí, indeterminado (tiene infinitas soluciones), pero tenemos la relación:

-2x+2y=0 x=y


Esta ecuación tiene infinitas soluciones de pares donde x=y, por lo tanto, tiene infinitas soluciones.

Por lo tanto, hay infinitos vectores propios para el valor propio {{\lambda }_{2}}=5 y en general tienen la ecuación:

\left[ \begin{matrix}x \\x \end{matrix} \right]

Por ejemplo, fijando x=1 obtenemos un vector propio:

\left[ \begin{matrix}1 \\1 \end{matrix} \right]

Ejemplo 2 (con una matriz cuadrada de tercer grado)

Calcula los vectores y valores propios de la matriz A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right].

Resuelvo el problema paso a paso siguiendo el mismo esquema.

1.

A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]


2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]


3.

\left| \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right|

Calculo usando la regla de Sarrus y obtengo:

\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22


4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

Ahora, un truco con agrupación de términos (como en la escuela secundaria):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0


\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

Por lo tanto:

{{\lambda }^{2}}+11=0 o -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 no tiene soluciones en números reales (pero si tu profesor requiere calcular valores propios también en números complejos, adelante, tendrás dos raíces – números complejos).

-\lambda +2 = 0 \lambda = 2


El valor propio (en números reales) de la matriz es: 2.


5.

Vectores propios para {{\lambda }}=2

Para \lambda=2:


\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]


A partir de aquí (multiplicando matrices por la izquierda y equiparando al elemento correspondiente de la matriz por la derecha):
\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.


Recuerda, este siempre es un sistema indeterminado, que tiene infinitas soluciones. Para resolverlo, podrías aplicar el teorema de Kronecker-Capelli, pero este en particular es bastante simple.

Tomando en cuenta que de entrada tengo y=0 de las otras dos ecuaciones obtengo:

\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.

Y de estas ecuaciones obtengo la relación z=-x.

Por lo tanto, hay infinitos vectores propios para el valor propio \lambda=2 y se pueden describir con la relación:

\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]

Un vector propio de ejemplo podría ser:

\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]

¿Cómo calcular vectores y valores propios en WolframAlpha?

Si solo necesitas soluciones listas o quieres verificar tu resultado, puedes usar el calculador en línea de Wolfram. Visita la página:

www.wolframalpha.com

Luego, escribe en el buscador la matriz para la cual deseas calcular los valores y vectores propios de la siguiente manera:

{{elementos de la primera fila separados por comas},{elementos de la segunda fila separados por comas},…}

Por ejemplo:

Ejemplo de matriz ingresada en el buscador de Wolfram

Luego simplemente confirma haciendo clic en ENTER.

Polinomio característico – puedes leerlo en el campo Characteristic polynomial

Valores propios – puedes leerlos en el campo Eigenvalues

Vectores propios – puedes leerlos en el campo Eigenvectors

Video

En otra entrada también grabé un video donde muestro cómo calcular valores y vectores propios con 3 ejemplos, te invito a verlo:

Valores y vectores propios – 3 ejemplos Video

Gracias

Espero que después de leer esta publicación y hacer algunos ejemplos, no tengas problemas para calcular valores y vectores propios en la universidad.

Si tienes alguna duda o ejemplos que no entiendas, házmelo saber en los comentarios debajo de la publicación.

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