fbpx

Rząd macierzy w twierdzeniu Kroneckera-Capellego

Rząd macierzy Wykład 3

Temat: Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Streszczenie

W artykule przedstawię, w jaki sposób rząd macierzy wykorzystywać można w rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Kroneckera-Capellego (bardziej prawidłowo: metodą wykorzystującą twierdzenie Kroneckera-Capellego). W artykule zakładam, że wiesz już, jak się liczy rząd macierzy i układy równań wzorami Cramera.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie Kroneckera-Capellego wykorzystujące rząd macierzy jest naprawdę bardzo proste. Mając dowolny (to jest super-istotne, znaczy, że niewiadomych nie musi być tyle samo, co równań) układ równań:

Układ m równań liniowych i n niewiadomych

Nasz układ – zwróć uwagę – ma m równań i n niewiadomych. Rząd macierzy głównej to rząd macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych, czyli:

Rząd macierzy głównej ogólnie

Oczywiście nie musi to być macierz kwadratowa. Rząd macierzy uzupełnionej to rząd macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych z dodaną kolumną wyrazów wolnych (po prawych stronach równości):

Rząd macierzy uzupełnionej ogólnie
Twierdzenie Kroneckera-Capellego stwierdza, że układ ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej równy jest rzędowi macierzy uzupełnionej:

Z twierdzenia wynikają następujące wnioski:

  1. Jeżeli rząd macierzy głównej, rząd macierzy uzupełnionej i liczba niewiadomych w układzie  są równe () to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.
  2. Jeżeli rząd macierzy głównej jest taki sam jak rząd macierzy uzupełnionej, ale jest mniejszy od liczby niewiadomych () to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.
  3. Jeżeli rząd macierzy głównej jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej (), wtedy układ równań nie ma rozwiązań.

Zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Capellego (metoda rozwiązania układu równań)

Twierdzenie znamy. Pozostaje kwestia, jak zastosować je w praktyce.

Najbardziej “czystą” (ale niestety także czasochłonną) metodą jest policzenie po prostu obu rzędów (rzędu macierzy głównej i rzędu macierzy uzupełnionej ) zupełnie osobno, na końcu interpretacja wyniku, “obcięcie” układu do układu Cramera (poprzez ewentualne wykreślenie niektórych równań i zastąpienie niektórych zmiennych parametrami) i rozwiązanie otrzymanego układu Cramera. Tą metodę pokażę Tobie dalej w artykule.

Można też liczyć oba rzędu jednocześnie na jednej macierzy, można jednocześnie zerować wiersze lub kolumny, można liczyć właściwie metodą Gaussa… Czasem wydaje mi się, że ile profesorów tyle metod. Oczywiście, wszystkie są dobre, o ile prowadzą do celu, jakim jest rozwiązanie układu.

Przykład

Układ równań liniowych

Mamy do rozwiązania powyższy układ równań. Najpierw oczywiście sprawdzamy, czy nie jest to układ Cramera, tzn. czy ma tyle samo równań, co niewiadomych i czy wyznacznik główny układu jest różny od zera. Oczywiście nie jest to układ Cramera, bo mamy w nim 3 równania i 4 niewiadome. Układu nie rozwiązujemy więc w tej chwili wzorami Cramera, tylko przechodzimy do rzędów macierzy i twierdzenia Kroneckera-Capellego.

Na początku liczymy rząd macierzy głównej, czyli:

Rząd macierzy głównej w przykładzie

Liczymy, liczymy, liczymy, tak jak się liczy rzędy macierzy (zapraszam na przykład do mojego Kursu – to jest naprawdę proste) i mamy wynik:

Wynik rzędu macierzy głównej w przykładzie

Teraz liczymy rząd macierzy uzupełnionej:

Rząd macierzy uzupełnionej w przykładzie

Liczymy, liczymy, liczymy i mamy wynik:

Wynik rzędu macierzy uzupełnionej w przykładzie

Mamy zatem sytuację:

Rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i są one równe 3 (to istotne). Czyli układ będzie miał rozwiązanie i liczymy dalej. Piszemy jeszcze raz macierz główną:

Macierz główna układu

A teraz wybieramy z niej jakikolwiek wyznacznik stopnia . W naszym przypadku rząd macierzy głównej i uzupełnionej wyszedł równy 3, czyli wybieramy jakikolwiek wyznacznik 3-go stopnia – ale uwaga – musi to być wyznacznik różny od zera (trzeba policzyć i sprawdzić na boku). Wybrany wyznacznik bierzemy w ramkę:

Podwyznacznik z macierzy głównej w przykładzie

Teraz tworzymy układ równań wyłącznie z równań, których wiersze znalazły się w naszym wyznaczniku (pozostałe równania nie piszemy w ogóle) oraz wyłącznie z niewiadomych, których kolumny znalazły się w naszym wyznaczniku (pozostałe niewiadome zastępujemy parametrami).

W naszym przykładzie utworzymy układ równań składający się z równania pierwszego, drugiego i trzeciego (bo pierwszy, drugi i trzecie wiersz znalazły się w wyznaczniku):

Wybór wierszy macierzy w metodzie Kroneckera-Capellego

Tak się składa, że będą to wszystkie równania.

Co do niewiadomych, patrzymy na kolumny, które dostały się do wybranego wyznacznika:

Wybór kolumn w macierzy głównej - przykład

Jest to pierwsza, druga i trzecia niewiadoma: . “Nie załapała się” czwarta niewiadoma, czyli . Zastępujemy ją parametrem: gdzie przyjmuje dowolną wartość, czyli . Parametry można oznaczać różnymi innymi literkami, np “t”, można też nie oznaczać je literkami w ogóle, tylko po prostu zacząć traktować je jako parametry bez zmiany oznaczeń.

Tworzymy nowy układ równań:

Nowy układ równań

Parametry traktujemy w nim jak liczby, czyli przerzucamy na prawą stronę:

Przekształcony układ równań

Jest to układ Cramera i rozwiązujemy go wzorami Cramera. Jak utworzyć wyznaczniki do kolejnych zmiennych? Po prostu potraktować na przykład: – jako jedną liczbę. Na przykład:

Wyznacznik przy zmiennej x1

a jego wartość: .

Otrzymamy rozwiązanie:

Rozwiązanie układu równań

dla .

Kliknij, aby przypomnieć sobie, jak sprawdza się, czy wektory tworzą bazę w przestrzeni liniowej za pomocą rzędu macierzy (poprzedni Wykład) <–

Kliknij, aby zobaczyć, jak rząd macierzy można zastosować do układów równań liniowych z parametrem (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z Wykładami do macierzy

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Ola pisze:

    Jak rozwiązać takie zadanie:

    Dany układ równań liniowych w zależności od parametru A

     

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Omówiłem takie zadanka ogólnie tutaj:

      https://blog.etrapez.pl/rzad-macierzy-w-ukladach-rownan-liniowych-z-parametrem/

  2. JA pisze:

    jak policzyć takie równanie ?

    x+y=3

    x-y=-1

    2x+y=4

  3. Ewa pisze:

    Witam,jak policzyć taki wyznacznik z liczbą urojoną lub niewiadomą, sama nie wiem?i    1-1   i2i   2+i 

    1. Ewa pisze:

      I nie wyznacznik tylko rząd, pogubiłam się już 🙁

  4. Karolina pisze:

    Czy jeżeli wiem jak obliczyć układ równań metodą Gaussa, to policzę każdy układ, czy są jakieś specjalne wyjątki w których jednak lepiej jest zastosować twierdzenie Kroneckera-Capellego?

  5. Konrad pisze:

    Pomocy mam układ równań następujący :
    -2x+2y+3u-w=1
    -x+y-3z++u=-1
    x-y-z+w=0
    Problem w tym że nie wiem jak zacząć… Pilne na jutro do wyjaśnienia.

    1. Kamil Kocot pisze:

      Układ równań (chyba zamiast u powinno być z ? )

      open curly brackets table row cell table row cell negative 2 x plus 2 y plus 3 z minus w equals 1 end cell row cell negative x plus y minus 3 z plus u equals negative 1 end cell row cell x minus y minus z plus w equals 0 end cell end table end cell end table close

      można rozwiązać następująco:

      > budujemy macierz uzupełnioną układu (pierwsze 4 klolumny tworzą macierz główną ozn. A, wszystkie razem tzn. 4 kolumny + 1 z wyrazami wolnymi tworzą macierz uzupełnioną ozn. U)

      open square brackets table row cell negative 2 end cell 2 3 cell negative 1 end cell row cell negative 1 end cell 1 cell negative 3 end cell 1 row 1 cell negative 1 end cell cell negative 1 end cell 1 end table open vertical bar table row 1 row cell negative 1 end cell row 0 end table close vertical bar close square brackets

      > zerujemy kolumny w macierzy głównej A tzn. tworzymy kolumny z jedynkami i zerami aby ustalić rząd macierzy A oraz macierzy U

      open square brackets table row cell negative 2 end cell 2 3 cell negative 1 end cell row cell negative 1 end cell 1 cell negative 3 end cell 1 row 1 cell negative 1 end cell cell negative 1 end cell 1 end table open vertical bar table row 1 row cell negative 1 end cell row 0 end table close vertical bar close square brackets tilde table row cell w subscript 1 equals w subscript 1 plus 2 w subscript 3 end cell row cell w subscript 2 equals w subscript 2 plus w subscript 3 end cell row cell w subscript 3 equals w subscript 3 end cell end table tilde
open square brackets table row 0 0 1 1 row 0 0 cell negative 4 end cell 2 row 1 cell negative 1 end cell cell negative 1 end cell 1 end table open vertical bar table row 1 row cell negative 1 end cell row 0 end table close vertical bar close square brackets tilde table row cell w subscript 1 equals w subscript 1 end cell row cell w subscript 2 equals w subscript 2 plus 4 w subscript 1 end cell row cell w subscript 3 equals w subscript 3 plus w subscript 1 end cell end table tilde
open square brackets table row 0 0 1 1 row 0 0 0 6 row 1 cell negative 1 end cell 0 2 end table open vertical bar table row 1 row cell negative 3 end cell row 1 end table close vertical bar close square brackets tilde table row cell w subscript 1 equals w subscript 1 end cell row cell w subscript 2 equals 1 over 6 w subscript 2 end cell row cell w subscript 3 equals w subscript 3 end cell end table tilde
open square brackets table row 0 0 1 1 row 0 0 0 1 row 1 cell negative 1 end cell 0 2 end table open vertical bar table row 1 row cell negative 0.5 end cell row 1 end table close vertical bar close square brackets tilde table row cell w subscript 1 equals w subscript 1 minus w subscript 2 end cell row cell w subscript 2 equals w subscript 2 end cell row cell w subscript 3 equals w subscript 3 minus 2 w subscript 2 end cell end table tilde
open square brackets table row 0 0 1 0 row 0 0 0 1 row 1 cell negative 1 end cell 0 0 end table open vertical bar table row cell 1.5 end cell row cell negative 0.5 end cell row 2 end table close vertical bar close square brackets

      Po przekształceniach dostajemy, że  r z ą d \left parenthesis A \right parenthesis equals 3 semicolon space r z ą d \left parenthesis U \right parenthesis equals 3n equals 4  (liczba niewiadomych) a zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (patrz Twierdzenie Kroneckera-Capellego). Parametr ten wprowadzamy za niewiadomą z drugiej kolumny czyli za y ->patrz ostatnia macierz. 

      Z ostatniej macierzy odczytujemy rozwiązanie tzn. 

      open curly brackets table row cell 0 x plus 0 a plus 1 z plus 0 w equals 1.5 end cell row cell 0 x plus 0 a plus 0 z plus 1 w equals negative 0.5 end cell row cell 1 x minus 1 a plus 0 z plus 0 w equals 2 end cell end table close \rightwards double arrow open curly brackets table row cell z equals 1.5 end cell row cell w equals negative 0.5 end cell row cell x equals a plus 2 end cell end table close semicolon space a element of straight real numbers

      czyli ostateczne rozwiązanie jest postaci 

      open curly brackets table row cell table row cell x equals a plus 2 end cell row cell y equals a end cell end table end cell row cell z equals 1.5 end cell row cell w equals negative 0.5 end cell end table close semicolon space a element of straight real numbers (a jest parametrem).

  6. Bartek pisze:

    Jak powinienem \interpretować polecenie zadania:
    “Wyznacz bazę przestrzeni kolumn macierzy A i rząd macierzy A”

  7. Klaudia pisze:

    Pomocy… Mam układ równań :

    3x-y+z-4w=0 ,
    -6x+2y-2z+8w=0

    rzA=1 rzAU=1 nie wiem co mogę wziąć za parametr..

  8. weronika pisze:

    Pomocy, dlaczego rzA i rzU wychodzi mi rowny 2?

  9. Sabina pisze:

    Co w momencie kiedy rzA=3 rzAU=3 ale mamy wiecej wierszy niż kolumn?

  10. yarik199 pisze:

    kiedy rza=rzu=n to zawsze bedzie uklad Cramera?

  11. yarik199 pisze:

    mam takie uklad rownan
    x+y+t=0
    2x-y-t=3
    4x-5y-3t=7

    rzA = rzU= 3 = n; wiem ze mamy jedno rozwiazanie,to dalej trzeba skreslic jedno rownanie? ale jest problem bo mamy 3 niewiadome.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nic nie skreślamy i nie wybieramy parametrów. To jest układ Cramera, rozwiązujemy go po prostu wzorami Cramera.

    2. Ryhor Abramovich pisze:

      open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x plus y plus t equals 0 end cell row cell 2 x minus y minus t equals 3 end cell row cell 4 x minus 5 y minus 3 t equals 7 end cell end table close

      Rozwiązanie:

      Skorzystamy ze wzorów Cramera:

      x subscript j equals W subscript j over W space open parentheses j equals 1 comma 2 comma 3 close parentheses

      gdzie: x subscript j – numer zmiennej w układzie (czyli x subscript 1 equals x comma space x subscript 2 equals y comma space x subscript 3 equals t),

      W – wyznacznik macierzy głównej (czyli macierzy współczynników),

      W subscript j – wyznacznik macierzy, otrzymanej za pomocy zamiany w macierzy głównej kolumny pod numerem j na kolumnę współczynników wolnych (czyli stojących z prawej strony od znaka =)

      Przypominam jeszcze, że wyznacznik 3-go stopnia liczymy wg “reguły trójkątów”:

      open vertical bar table row a b c row d e f row g h i end table close vertical bar equals a times e times i plus d times h times c plus g times b times f minus c times e times g minus f times h times a minus i times b times d

      Liczymy:

      W equals open vertical bar table row 1 1 1 row 2 cell negative 1 end cell cell negative 1 end cell row 4 cell negative 5 end cell cell negative 3 end cell end table close vertical bar equals 1 times open parentheses negative 1 close parentheses times open parentheses negative 3 close parentheses plus 2 times open parentheses negative 5 close parentheses times 1 plus 4 times 1 times open parentheses negative 1 close parentheses minus 1 times open parentheses negative 1 close parentheses times 4 minus open parentheses negative 1 close parentheses times open parentheses negative 5 close parentheses times 1 minus open parentheses negative 3 close parentheses times 1 times 2 equals

      equals 3 minus 10 minus 4 plus 4 minus 5 plus 6 equals negative 6

      I analogiczne:

      W subscript 1 equals open vertical bar table row 0 1 1 row 3 cell negative 1 end cell cell negative 1 end cell row 7 cell negative 5 end cell cell negative 3 end cell end table close vertical bar equals 0 minus 15 minus 7 plus 7 minus 0 plus 9 equals negative 6

      W subscript 2 equals open vertical bar table row 1 0 1 row 2 3 cell negative 1 end cell row 4 7 cell negative 3 end cell end table close vertical bar equals negative 9 plus 14 minus 0 minus 12 plus 7 plus 0 equals 0

      W subscript 3 equals open vertical bar table row 1 1 0 row 2 cell negative 1 end cell 3 row 4 cell negative 5 end cell 7 end table close vertical bar equals negative 7 plus 0 plus 12 plus 0 plus 15 minus 14 equals 6

      Wtedy:

      x equals x subscript 1 equals W subscript 1 over W equals fraction numerator negative 6 over denominator negative 6 end fraction equals 1

      y equals x subscript 2 equals W subscript 2 over W equals fraction numerator 0 over denominator negative 6 end fraction equals 0

      t equals x subscript 3 equals W subscript 3 over W equals fraction numerator 6 over denominator negative 6 end fraction equals negative 1

      Odp.: x=1, y=0, t=-1

  12. Monika pisze:

    dlaczego w tym ostatnim etapie wyszlo -8 + α , a nie -8 + 11α ?

  13. Beata pisze:

    Bardzo prosze o rozpisanie obliczenia wyznacznika x (przy macierzy gdzie jest \lambda) próbuje, to robić, ale wychodzą mi kosmiczne wyniki………

  14. Damian pisze:

    Dobrze ,że udało mi się trafic na tą stronę. Faktycznie brakuje tej metody w kursach,ale znając material z innych lekcji nie powinno być problemu 🙂 Jak najbardziej polecam kursy e-trapez.

  15. anavers pisze:

    Dzięki wielkie! W końcu jakieś konkretne tłumaczenie tej metody 🙂 Szkoda, że nie ma jej w kursach 🙂

  16. magda pisze:

    Czy rozwiązywanie układów równań tą metodą jest gdzieś na kursie video? 🙂

    1. magda pisze:

      a przepraszam juz bylo to pytanie:)

  17. Ewelina pisze:

    witam,
    bardzo podoba mi się jasny sposób w jaki tłumaczy Pan matematykę.mam zakupiony cały kurs z macierzy i chciałabym zapytać czy w którejś z lekcji znajduje się objaśnienie tego twierdzenia?bo niestety póki co nie znalazłam tego twierdzenia w Pana lekcjach..

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie, niestety, twierdzenia Kroneckera – Capellego nie ma Kursie…

  18. mtmilansk pisze:

    witam, czy mógłby Pan w którymś z artykułów poruszyć kwestię programowania liniowego oraz metody symplex? pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, niestety nie…

  19. Nowat0r0 pisze:

    Jeżeli rząd(A) jest większy od rzędu(U), to z jakiego twierdzenia lub metod korzystamy?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To jest niemożliwe i nigdy się nie zdarzy 🙂

  20. mtmilansk pisze:

    Witam, czy może Pan przedstawić jak wyliczyliśmy Wx1 ? Jeżeli Pan może to chciałbym poznać drogę do wyniku Wx1=-8+a1.
    Pozdrawiam.

    1. arekc444 pisze:

      Również podpisuje się pod powyższą prośbą, proszę o pomoc.

  21. edyta pisze:

    jeśli sprawdzimy wyniki to wyjdzie: 1)2×1 – 3×2 + 5×3 + 7×4 = 2* -8+a/-16 – 3*0 + 5* 22a/-16 + 7a = -16 +2a + 110a – 112a = -16
    Czemu wynik nie wyszedł 1? Zrobiłam błędy?

  22. Paweł pisze:

    Co zrobić jeżeli podczas rozwiązywania układu równań metodą Capellego i kiedy dojdziemy już do zastosowania metody Cramera, wyznacznik główny będzie równał się 0?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nigdy tak się nie stanie.

      Podczas stosowania Capellego, przy wyborze wyznacznika jest zastrzeżenie, że ten wyznacznik musi być różny od zera, tak tak to napisałem w artykule:

      W naszym przypadku rząd macierzy głównej i uzupełnionej wyszedł równy 3, czyli wybieramy jakikolwiek wyznacznik 3-go stopnia – ale uwaga – musi to być wyznacznik różny od zera (trzeba policzyć i sprawdzić na boku).

      Ten wyznacznik tworzy za chwilę właśnie wyznacznik główny układu Kramera, stąd to zastrzeżenie.

  23. Damian pisze:

    Super strona, świetnie wytłumaczone!!!

  24. Daniel pisze:

    Faktycznie. Sam nie wiem jak mogłem to przeoczyć. Dziękuję.

  25. Adam pisze:

    Witam, znalazłem pewną nieścisłość w Pana Kursie Macierzy, lekcja 5 (Rząd macierzy) minuta 17:30, gdyby wybrać do ‘wyzerowania’ wiersz pierwszy to byśmy otrzymali rząd macierzy:

    -2 1 -3
    -4 2 -2
    -10 5 -15

    z czego otrzymalibyśmy kolejny rząd macierzy

    0 4
    0 0

    i koncowy wynik wyszedłby 4, a nie 3 tak jak na filmiku. Proszę, o odpowiedź bo nie wiem co teraz robić.

  26. Daniel pisze:

    Witam
    A co w sytuacji gdy R(A) i R(U) wynosi 3, ale są 4 równania i 4 niewiadome? I wyznacznik macierzy 4 stopnia oczywiście wynosi zero.
    Np
    6x-5y=1
    3x+2y+9z+6w=4
    5x+4x+3z-4w=2
    4x+3y+6z-4w=3

    Jak wykreśliłem trzeci wiersz i wszystko z “z” to wyszedł mi wynik ale nie wiem czy tak mozna…
    Jeżeli bym nie zszedł na maciez trzeciego stopnia to bym nic nie obliczył bo wszędzie jest zero….

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam,

      Ale rząd macierzy głównej tego układu…

      \left[ \begin{matrix}
      6 & -5 & 0 & 0 \\
      3 & 2 & 9 & 6 \\
      5 & 4 & 3 & -4 \\
      4 & 3 & 6 & -4 \end{matrix} \right]

      …jest równy 4 (zakładam, że w trzecim wierszu miał Pan literówkę)? Niech Pan sprawdzi w WolframAlpha .

    2. Daniel pisze:

      Witam
      Jednak zauważyłem błąd w pierwszym wierszu, drugiej kolumnie. Zamiast -5 powinno być 5. I wtedy faktycznie rząd macierzy wynosi 3 a wyznacznik z minora 4 stopnia wynosi 0. I tu mam problem, bo z cramera już nie wylicze wprost. Układ ma rozwiązanie bo R(A) i R(U) są sobie równe. tylko nie wiem, czy pozbywamy się jakiegoś równania i jedną z niewiadomych traktujemy jako parametr???

    3. Krystian Karczyński pisze:

      Dobra, czyli mamy układ…

      \{ \begin{matrix}
      & 6x+5y=1 \\
      & 3x+2y+9z+6w=4 \\
      & 5x+4y+3z-4w=2 \\
      & 4x+3y+6z-4w=3 \end{matrix}

      … i policzyliśmy już, że rząd macierzy głównej = rząd macierzy uzupełnionej = 3.

      Dalej bierzemy macierz główną…

      \left[ \begin{matrix}
      6 & 5 & 0 & 0 \\
      3 & 2 & 9 & 6 \\
      5 & 4 & 3 & -4 \\
      4 & 3 & 6 & -4 \end{matrix} \right]

      … i szukamy w niej niezerowego podwyznacznika stopnia 3 ( bo takie nam wyszły rzędy głównej i uzupełnionej). Może to być jak najbardziej wyznacznik powstały przez wykreślenie trzeciego wiersza i trzeciej kolumny:

      \left| \begin{matrix}
      6 & 5 & 0 \\
      3 & 2 & 6 \\
      4 & 3 & -4 \end{matrix} \right|=24

      … bo jest on różny od zera.

      Teraz trzecie równanie wykreślamy, a zmienną zz trzeciej kolumny ani nie pomijamy, ani nie przyjmujemy, że równa się 0, tylko zastępujemy parametrem.

      Przyjmujemy więc, że:

      z=\alpha

      … i wychodzimy na układ:

      \{ \begin{matrix}
      & 6x+5y=1 \\
      & 3x+2y+9\alpha +6w=4 \\
      & 4x+3y+6\alpha -4w=3 \end{matrix}

      \alphanie jest niewiadomą, zmienną, tylko stałą, przerzucamy go więc na prawo do stałych i mamy:

      \{ \begin{matrix}
      & 6x+5y=1 \\
      & 3x+2y+6w=4-9\alpha \\
      & 4x+3y-4w=3-6\alpha \end{matrix}

      Ten układ można rozwiązać np. wzorami Cramera. Dostaniemy:

      \{ \begin{matrix}
      & x=6-15\alpha \\
      & y=18\alpha -7 \\
      & z=\alpha \\
      & w=0,\quad \alpha \in R \end{matrix}

      Co zgadza się z wynikiem w WolframAlpha 🙂

    4. Daniel pisze:

      Aha. Dziękuję za odpowiedź.

    5. Michał pisze:

      A co w przypadku kiedy możemy wykreślić wiersz, natomiast nie mamy do zastąpienia parametrem żadnej kolumny?
      Przykład:
      x – 2y = 3
      -2x – y = 4
      -3x + y = 1

      Rozumiem że zaczynamy od rzędu, który w tym przypadku dla obu macierzy wynosi 2. Następnie weźmy Dwa pierwsze wiersze i kolumny, wyznacznik będzie różny od zera. Teraz kiedy wykreślimy trzecie równanie, które nie było używane zostanie nam
      x – 2y = 3
      -2x – y = 4

      Natomiast gdzie tutaj wstawić ewentualną stałą? Problem może prozaiczny, ale chwilę główkowałem i nie mogę znaleźć odpowiedzi. 🙂

    6. yarik199 pisze:

      mam takie uklad rownan
      x+y+t=0
      2x-y-t=3
      4x-5y-3t=7

      rzA = rzU= 3 = n; wiem ze mamy jedno rozwiazanie,to dalej trzeba skreslic jedno rownanie? ale jest problem bo mamy 3 niewiadome.

  27. Maciej pisze:

    Mam pytanie. Mamy uklad rownan (2 rownania, 3 niewiadome) x+2y-3z=2
    5x-y+z=1.
    Rzedy macierzy glownej i uzupelnionej sa sobie rowne (rzA=rzU=2). Moj problem teraz dotyczy wyboru niezerowego wyznacznika 2×2. Wychodzi mi, ze rozwiazania zaleza od wyboru wyznacznika (jest kilka mozliwosci). Jak to mozliwe?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Te rozwiązania są równoważne 🙂 Tutaj nakręciłem filmik na ten temat:

    2. Maciej pisze:

      Super. Dziekuje bardzo za wytlumaczenie przykladu. Teraz wszystko jasne i klarowne 🙂

  28. Maciej pisze:

    musisz wyzerować kolumne i wykreślić ją razem z wierszem tak aby otrzymać macierz 3×3

  29. Anna pisze:

    Witam jak policzyć rozwinięcie Laplace’a wyznacznika:
    3 13 17 4
    6 28 33 8
    10 40 54 13
    8 37 46 11

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Można by na przykład pomnożyć pierwszy wiersz przez -2i dodać do drugiego, przez -3i dodać do trzeciego i przez -3i dodać do czwartego, uzyskując wyznacznik:

      \left| \begin{matrix}
      3 & 13 & 17 & 4 \\
      0 & 2 & -1 & 0 \\
      1 & 1 & 3 & 1 \\
      -1 & -2 & -5 & -1 \end{matrix} \right|

      Teraz – znowu na przykład – bierzemy trzeci, mnożymy przez -3i dodajemy do pierwszego i przez 1i dodajemy do czwartego, uzyskując:

      \left| \begin{matrix}
      0 & 10 & 8 & 1 \\
      0 & 2 & -1 & 0 \\
      1 & 1 & 3 & 1 \\
      0 & -1 & -2 & 0 \end{matrix} \right|

      Rozwijamy teraz względem pierwszej kolumny i mamy:

      \left| \begin{matrix}
      0 & 10 & 8 & 1 \\
      0 & 2 & -1 & 0 \\
      1 & 1 & 3 & 1 \\
      0 & -1 & -2 & 0 \end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{3+1}}\cdot 1\cdot \left| \begin{matrix}
      10 & 8 & 1 \\
      2 & -1 & 0 \\
      -1 & -2 & 0 \end{matrix} \right|

      Ten wyznacznik można już Sarrusem, ale można zauważyć sprytnie, że trzecia kolumna jest wyzerowana i rozwinąć ją jeszcze raz Laplace’m:

      \left| \begin{matrix}
      0 & 10 & 8 & 1 \\
      0 & 2 & -1 & 0 \\
      1 & 1 & 3 & 1 \\
      0 & -1 & -2 & 0 \end{matrix} \right|={{\left( -1 \right)}^{3+1}}\cdot 1\cdot \left| \begin{matrix}
      10 & 8 & 1 \\
      2 & -1 & 0 \\
      -1 & -2 & 0 \end{matrix} \right|=1\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+3}}\left| \begin{matrix}
      2 & -1 \\
      -1 & -2 \end{matrix} \right|

      =1\cdot {{\left( -1 \right)}^{1+3}}\left| \begin{matrix}
      2 & -1 \\
      -1 & -2 \end{matrix} \right|=1\cdot \left( -5 \right)=-5

      Na końcu jeszcze sprawdzić można wynik:

      Wynik w WolframAlpha

      (polecam mój Poradnik do niego)

    2. zgubiona pisze:

      Moge prosic o wytłyamzcenie tego, w jaki sposób dodaje sie te wiersze zbey wyzerowac? Mozesz opisac to krok po kroku ? 🙂