fbpx
blog

矩阵的特征值和特征向量

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。


特征向量和特征值 — 这是什么?

特征值和特征向量在大学里可能会作为矩阵主题的一个扩展出现(或者不出现)。我没有在我的课程中包括它们,所以对这个主题感兴趣的人可能会发现这篇文章真的很有用。

你需要知道什么?

  • 矩阵
  • 中等水平的多项式方程(通常只是二次和三次)

逐步计算特征值和特征向量

  1. 首先,你有一个方阵只有,比如说 A。就这样。
  2. 你计算矩阵 {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I ,其中 \lambda 是某个数字,它是一个未知数,而 I 单位矩阵(即方阵,对角线上是1,其他都是0)。
  3. 你计算矩阵 {{A}_{\lambda }}的行列式。
  4. 这个行列式就是所谓的矩阵的特征方程。你将其等于零并计算其根。这些根正是矩阵的特征值。你将它们标记为 {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots
  5. 然后你将这些根依次代入方程: {{A}_{\lambda }}X=0,其中 X 是未知的向量(即单列矩阵)。你解这个方程。解将是一组向量 X,每个都可以称为特征向量

例 1(二阶方阵)

计算矩阵 A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]的特征向量和特征值。

按照上面的步骤一步一步来解这个问题。

1.

A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]

2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]

3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5


4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
矩阵的特征值是: -1 5

对于 {{\lambda }_{1}}=-1 的特征向量

对于 {{\lambda }_{1}}=-1:


{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}3-\left( -1 \right) & 2 \\4 & 1-\left( -1 \right) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]


所以(通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素):
\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.


这意味着必须满足关系:
4x+2y=0


这个方程对于无数对 x y 都成立,因此它有无数解。

所以对于特征值 {{\lambda }_{1}}=-1 有无限多的特征向量

例如,设定 x=1 得到 4\cdot 1+2y=0,即 y=-2

因此一个示例特征向量为:

\left[ \begin{matrix}1 \\-2 \end{matrix} \right]

一般来说,特征向量的坐标为:

\left[ \begin{matrix}x \\-2x \end{matrix} \right]

因为从关系 4x+2y=0 可以推出 y=-2x

对于 {{\lambda }_{2}}=5 的特征向量

对于 {{\lambda }_{ 2}}=5:


{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}3-5 & 2 \\4 & 1-5\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]


现在(再次通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素):
\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.


这个系统 — 如同这里通常一样 — 是不确定的(有无限多解),但我们有关系:

-2x+2y=0 x=y


这个方程对于无数对,其中 x=y,都成立,因此它有无数解。

所以对于特征值 {{\lambda }_{2}}=5 有无限多的特征向量,它们一般的方程为:

\left[ \begin{matrix}x \\x \end{matrix} \right]

例如,设定 x=1 得到一个特征向量

\left[ \begin{matrix}1 \\1 \end{matrix} \right]

例 2(三阶方阵)

计算矩阵 A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]的特征向量和特征值。

按照同样的步骤逐步解决。

1.

A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]


2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]


3.

\left| \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right|

我用萨鲁斯规则计算,得到:

\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22


4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

现在用分组技巧(就像在高中一样):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0


\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

所以:

{{\lambda }^{2}}+11=0 -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 实数中没有解(但如果你的教授要求在复数中也计算特征值,那么你这里会有两个复数根)。

-\lambda +2 = 0 \ lambda = 2


矩阵的实数特征值是: 2

对于 {{\lambda }}=2 的特征向量

对于 \lambda=2:


\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]


所以(通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素):


\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.


记住,这总是一个不确定系统,它有无限多个解决方案。要解决它,你可以使用克罗内克-卡佩利定理,但这个案例特别简单。

考虑到我一开始就有 y=0 ,我从其他两个方程得到:

\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.

从这些方程中,我得到了 z=-x 的关系。

所以对于特征值 \lambda=2 有无限多个特征向量,它们可以用以下关系描述:

\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]

一个示例特征向量可能是:

\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]

如何在WolframAlpha中计算特征向量和特征值?

如果你只需要现成的解决方案,或者想要检查你的结果,你可以使用Wolfram的在线计算器。访问网站:

www.wolframalpha.com

然后在搜索框中输入你想要计算其特征值和特征向量的矩阵,方式如下:

{{第一行的元素用逗号分隔},{第二行的元素用逗号分隔},…}

例如:

Wolfram搜索中输入的矩阵示例

然后只需按下ENTER键确认。

特征多项式 – 你可以从Characteristic polynomial字段中读取

特征值 – 你可以从Eigenvalues字段中读取

特征向量 – 你可以从Eigenvectors字段中读取

视频

另一个帖子中,我还录制了一个视频,在视频中,我展示了如何计算3个示例的特征值和特征向量,欢迎观看:

特征值和特征向量 – 3个示例视频

谢谢

我希望读完这篇文章并做几个示例后,你在学习中计算特征值和特征向量时不会遇到问题。

如果你有任何疑问,或者有些示例你不理解 – 请在帖子下面的评论中告诉我。

畅销书(仅限波兰语课程)

Kurs Matura Podstawowa (Formuła 2023 i 2015)

Szkoła Średnia / Autor: Krystian Karczyński

59,00 

Kurs Mechanika - Kinematyka

Studia / Autor: Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Matura Rozszerzona (Formuła 2023 i 2015)

Szkoła Średnia / Autor: Krystian Karczyński

59,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: Krystian Karczyński

39,00 

查看所有eTrapez课程(仅限波兰语课程)

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用*标注

Your comment will be publicly visible on our website along with the above signature. You can change or delete your comment at any time. The administrator of personal data provided in this form is eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. The principles of data processing and your related rights are described in our Privace Policy (polish).