矩阵的特征值和特征向量
Krystian Karczyński
eTrapez网站的创始人兼负责人。
波兹南理工大学（波兰）数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程，这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。
居住在什切青（波兰）。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。
特征向量和特征值 — 这是什么?
特征值和特征向量在大学里可能会作为矩阵主题的一个扩展出现（或者不出现）。我没有在我的课程中包括它们，所以对这个主题感兴趣的人可能会发现这篇文章真的很有用。
你需要知道什么?
- 矩阵
- 中等水平的多项式方程（通常只是二次和三次）
逐步计算特征值和特征向量
- 首先，你有一个方阵只有，比如说 A。就这样。
- 你计算矩阵 {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I ，其中 \lambda 是某个数字，它是一个未知数，而 I 是单位矩阵（即方阵，对角线上是1，其他都是0）。
- 你计算矩阵 {{A}_{\lambda }}的行列式。
- 这个行列式就是所谓的矩阵的特征方程。你将其等于零并计算其根。这些根正是矩阵的特征值。你将它们标记为 {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots 。
- 然后你将这些根依次代入方程： {{A}_{\lambda }}X=0，其中 X 是未知的向量（即单列矩阵）。你解这个方程。解将是一组向量 X，每个都可以称为特征向量。
例 1（二阶方阵）
计算矩阵 A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]的特征向量和特征值。
按照上面的步骤一步一步来解这个问题。
1.
A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]
3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5
4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
矩阵的特征值是: -1 和 5。
对于 {{\lambda }_{1}}=-1 的特征向量
对于 {{\lambda }_{1}}=-1:
{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}3-\left( -1 \right) & 2 \\4 & 1-\left( -1 \right) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]
所以（通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素）：
\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.
这意味着必须满足关系：
4x+2y=0
这个方程对于无数对 x 和 y 都成立，因此它有无数解。
所以对于特征值 {{\lambda }_{1}}=-1 有无限多的特征向量。
例如，设定 x=1 得到 4\cdot 1+2y=0，即 y=-2。
因此一个示例特征向量为：
\left[ \begin{matrix}1 \\-2 \end{matrix} \right]一般来说，特征向量的坐标为：
\left[ \begin{matrix}x \\-2x \end{matrix} \right]因为从关系 4x+2y=0 可以推出 y=-2x。
对于 {{\lambda }_{2}}=5 的特征向量
对于 {{\lambda }_{ 2}}=5:
{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}3-5 & 2 \\4 & 1-5\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]
现在（再次通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素）：
\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.
这个系统 — 如同这里通常一样 — 是不确定的（有无限多解），但我们有关系：
这个方程对于无数对，其中 x=y，都成立，因此它有无数解。
所以对于特征值 {{\lambda }_{2}}=5 有无限多的特征向量，它们一般的方程为：
\left[ \begin{matrix}x \\x \end{matrix} \right]例如，设定 x=1 得到一个特征向量：
\left[ \begin{matrix}1 \\1 \end{matrix} \right]例 2（三阶方阵）
计算矩阵 A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]的特征向量和特征值。
按照同样的步骤逐步解决。
1.
A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]
2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]
3.
我用萨鲁斯规则计算，得到：
\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22
4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0
现在用分组技巧（就像在高中一样）：
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0
\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0
所以：
{{\lambda }^{2}}+11=0 或 -\lambda +2=0
{{\lambda }^{2}}+11 = 0 在实数中没有解（但如果你的教授要求在复数中也计算特征值，那么你这里会有两个复数根）。
-\lambda +2 = 0 \ lambda = 2
矩阵的实数特征值是： 2。
对于 {{\lambda }}=2 的特征向量
对于 \lambda=2:
\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]
\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0
\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]
所以（通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素）：
\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.
记住，这总是一个不确定系统，它有无限多个解决方案。要解决它，你可以使用克罗内克-卡佩利定理，但这个案例特别简单。
考虑到我一开始就有 y=0 ，我从其他两个方程得到：
\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.从这些方程中，我得到了 z=-x 的关系。
所以对于特征值 \lambda=2 有无限多个特征向量，它们可以用以下关系描述：
\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]一个示例特征向量可能是：
\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]如何在WolframAlpha中计算特征向量和特征值？
如果你只需要现成的解决方案，或者想要检查你的结果，你可以使用Wolfram的在线计算器。访问网站：
然后在搜索框中输入你想要计算其特征值和特征向量的矩阵，方式如下：
{{第一行的元素用逗号分隔},{第二行的元素用逗号分隔},…}
例如：
然后只需按下ENTER键确认。
特征多项式 – 你可以从Characteristic polynomial字段中读取
特征值 – 你可以从Eigenvalues字段中读取
特征向量 – 你可以从Eigenvectors字段中读取
视频
在另一个帖子中，我还录制了一个视频，在视频中，我展示了如何计算3个示例的特征值和特征向量，欢迎观看：
谢谢
我希望读完这篇文章并做几个示例后，你在学习中计算特征值和特征向量时不会遇到问题。
如果你有任何疑问，或者有些示例你不理解 – 请在帖子下面的评论中告诉我。
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