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Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

Krystian Karczyński

Gründer und Chef des Dienstes eTrapez.

Master of Mathematics der Technischen Universität Pozen (Polen). Mathematik-Nachhilfelehrer mit langjähriger Erfahrung. Schöpfer der ersten eTrapez-Kurse, die bei Studenten in ganz Polen große Beliebtheit erlangten.

Lebt in Stettin (Polen). Mag Waldspaziergänge, Strandtage und Kajakfahren.


Eigenvektoren und Eigenwerte – was ist das?

Eigenwerte und Eigenvektoren tauchen im Studium als Erweiterung des Themas Matrizen auf (oder auch nicht). Ich habe sie nicht in meinem Kurs behandelt, daher könnte dieser Post für Interessierte wirklich nützlich sein.

Was muss man bereits wissen?

  • Matrizen
  • Polynomgleichungen der Mittelstufe (meist nur zweiten und dritten Grades)

Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren Schritt für Schritt

  1. Zu Beginn hast du eine Quadratmatrix, sagen wir A. Nur das.
  2. Du berechnest die Matrix {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I , wobei \lambda eine Zahl ist, die eine Unbekannte darstellt, und I ist die Einheitsmatrix (also eine Quadratmatrix, die Einsen auf der Diagonale und sonst Nullen hat).
  3. Du berechnest die Determinante der Matrix {{A}_{\lambda }}.
  4. Diese Determinante ist die sogenannte charakteristische Gleichung der Matrix. Du setzt sie gleich Null und berechnest ihre Wurzeln. Diese Wurzeln sind genau die Eigenwerte der Matrix. Du bezeichnest sie als {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots .
  5. Die Wurzeln setzt du nacheinander in die Gleichung: {{A}_{\lambda }}X=0 ein, wobei X der unbekannte Vektor (also eine Einzelspaltenmatrix) ist. Du löst diese Gleichung. Die Lösung wird eine bestimmte Menge von Vektoren X sein, von denen jeder als Eigenvektor bezeichnet werden kann.

Beispiel 1 (mit einer 2×2-Matrix)

Berechne die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right].

Ich löse die Aufgabe Schritt für Schritt nach dem oben genannten Schema.

1.

A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]

2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]

3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5


4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
Die Eigenwerte der Matrix sind: -1 und 5.

Eigenvektoren für {{\lambda }_{1}}=-1

Für {{\lambda }_{1}}=-1:


{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}3-\left( -1 \right) & 2 \\4 & 1-\left( -1 \right) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]


Daher (durch Multiplizieren der Matrizen auf der linken Seite und Gleichsetzen mit dem entsprechenden Matrixelement auf der rechten Seite):
\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.


Es muss also die Beziehung erfüllt sein:
4x+2y=0


Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen für Paare von x und y, daher hat es unendlich viele Lösungen.

Es gibt also unendlich viele Eigenvektoren für den Eigenwert {{\lambda }_{1}}=-1 .

Zum Beispiel, wenn ich x=1 setze, erhalte ich 4\cdot 1+2y=0, also y=-2.

Ein Beispiel für einen Eigenvektor wäre also:

\left[ \begin{matrix}1 \\-2 \end{matrix} \right]

Allgemein werden die Eigenvektoren Koordinaten haben:

\left[ \begin{matrix}x \\-2x \end{matrix} \right]

denn aus der Beziehung 4x+2y=0 kann man ableiten, dass y=-2x ist.

Eigenvektoren für {{\lambda }_{2}}=5

Für {{\lambda }_{2}}=5 :


{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}3-5 & 2 \\4 & 1-5\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]


Jetzt (wieder durch Multiplizieren der Matrizen auf der linken Seite und Gleichsetzen mit dem entsprechenden Matrixelement auf der rechten Seite):
\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.


Das System ist – wie immer hier – unbestimmt (hat unendlich viele Lösungen), aber wir haben die Beziehung:

-2x+2y=0 x=y


Diese Gleichung wird von unendlich vielen Paaren erfüllt, in denen x=y ist, daher hat sie unendlich viele Lösungen.

Es gibt also unendlich viele Eigenvektoren für den Eigenwert {{\lambda }_{2}}=5 und sie haben allgemein die Gleichung:

\left[ \begin{matrix}x \\x \end{matrix} \right]

Zum Beispiel, wenn ich x=1 setze, erhalte ich einen Eigenvektor:

\left[ \begin{matrix}1 \\1 \end{matrix} \right]

Beispiel 2 (mit einer 3×3-Matrix)

Berechne die Eigenvektoren und Eigenwerte der Matrix A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right].

Ich löse die Aufgabe Schritt für Schritt nach dem gleichen Schema.

1.

A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]


2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]


3.

\left| \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right|

Ich verwende die Sarrus-Regel und erhalte:

\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22


4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

Jetzt ein Trick mit der Gruppierung der Terme (wie in der Schule):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0


\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

Also:

{{\lambda }^{2}}+11=0 oder -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 hat keine Lösungen in reellen Zahlen (aber wenn dein Professor auch die Berechnung von Eigenwerten in komplexen Zahlen verlangt, dann hast du hier normalerweise zwei komplexe Wurzeln).

-\lambda +2 = 0 \lambda = 2


Der reelle Eigenwert der Matrix ist: 2.

Eigenvektoren für {{\lambda }}=2

Für \lambda=2:


\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]


Daraus (durch Multiplizieren der Matrizen auf der linken Seite und Gleichsetzen mit dem entsprechenden Matrixelement auf der rechten Seite):


\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.


Wie du weißt, ist es immer ein unterbestimmtes System, das unendlich viele Lösungen hat. Um es zu lösen, könntest du das Kronecker-Capelli-Theorem anwenden, aber dieses hier ist besonders einfach.

Unter Berücksichtigung, dass ich von Anfang an y=0 habe, erhalte ich aus den anderen beiden Gleichungen:

\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.

Und aus diesen Gleichungen ergibt sich die Beziehung z=-x.

Das bedeutet, es gibt unendlich viele Eigenvektoren für den Eigenwert \lambda=2 , und sie können durch die Beziehung beschrieben werden:

\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]

Ein Beispiel für einen Eigenvektor könnte sein:

\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]

Wie man Eigenvektoren und Eigenwerte in WolframAlpha berechnet

Wenn du nur fertige Lösungen benötigst oder dein Ergebnis überprüfen möchtest, kannst du den Online-Rechner von Wolfram nutzen. Gehe auf die Seite:

www.wolframalpha.com

Danach gib in die Suchleiste die Matrix ein, deren Eigenvektoren und Eigenwerte du berechnen möchtest, und zwar folgendermaßen:

{{Elemente der 1. Zeile getrennt durch Kommas},{Elemente der 2. Zeile getrennt durch Kommas},…}

Zum Beispiel:

Beispiel einer Matrix, die in die Wolfram-Suche eingegeben wurde

Und dann bestätige einfach durch Drücken der ENTER-Taste.

Charakteristisches Polynom – kannst du im Feld Characteristic polynomial ablesen

Eigenwerte – kannst du im Feld Eigenvalues ablesen

Eigenvektoren – kannst du im Feld Eigenvectors ablesen

Video

In einem anderen Beitrag habe ich auch ein Video aufgenommen, in dem ich die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren an drei Beispielen zeige, schau es dir an:

Eigenwerte und Eigenvektoren – 3 Beispiele Video

Danke

Ich hoffe, dass du nach dem Lesen dieses Beitrags und dem Durchführen einiger Beispiele keine Probleme haben wirst, Eigenwerte und Eigenvektoren im Studium zu berechnen.

Wenn du irgendwelche Zweifel hast oder Beispiele nicht verstehst – lass es mich in den Kommentaren unter dem Beitrag wissen.

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