fbpx
blog

Власні значення та власні вектори матриці

Krystian Karczyński

Засновник та керівник сервісу eTrapez.

Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.

Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.


Вектори та власні значення – що це таке?

Власні значення та вектори матриці з’являються (або не з’являються) у студіях як розширення теми матриць. Я не включив їх у свій Курс, тому тим, хто зацікавлений у цій темі, цей пост може справді стати у нагоді.

Що вже потрібно знати?

  • матриці
  • багаточлени зі школи (зазвичай тільки другого та третього ступеня)

Обчислення власних значень та векторів крок за кроком

  1. На початку у тебе є матриця квадратна (виключно), скажімо A. Тільки.
  2. Обчислюєш матрицю {{A}_{\lambda}} = A – \lambda I, де \lambda – це якесь число, що є невідомим, а I – це одинична матриця (тобто квадратна матриця, яка має одиниці на діагоналі та нулі в інших місцях).
  3. Обчислюєш визначник матриці {{A}_{\lambda}}.
  4. Цей визначник є так званим характеристичним рівнянням матриці. Прирівнюєш його до нуля та обчислюєш його корені. Ці корені саме і є власними значеннями матриці. Позначаєш їх {{\lambda}_{1}}, {{\lambda}_{2}}, {{\lambda}_{3}}, \ldots.
  5. Корені послідовно підставляєш у рівняння: {{A}_{\lambda}}X = 0, де X – це невідомий вектор (тобто одноколонкова матриця). Розв’яз уєш це рівняння. Розв’язком буде певний набір векторів X, кожен з яких можна назвати власним вектором.

Приклад 1 (з квадратною матрицею 2-го ступеня)

Обчисліть вектори та власні значення матриці A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right].

Задачу розв’язую крок за кроком за тим самим схемою.

1.

A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]

2.
{{A}_{\lambda}} = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right] – \lambda \cdot \left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right] – \left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]

3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right| = \left( 3-\lambda \right) \left( 1-\lambda \right) – 2 \cdot 4 = 3-3\lambda -\lambda + {{\lambda}^2} – 8 = {{\lambda}^2} – 4\lambda – 5


4.
{{\lambda}^2} – 4\lambda – 5 = 0
\Delta = {{(-4)}^2} – 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
{{\lambda}_{1}} = \frac{-(-4) – \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 – 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1
{{\lambda}_{2}} = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5
Власні значення матриці це: -1 і 5.


5.

Власні вектори для {{\lambda}_{1}}=-1

Для {{\lambda}_{1}}=-1:


{{A}_{{{\lambda}_{1}}}}=\left[\begin{matrix}3-\left(-1\right) & 2 \\ 4 & 1-\left(-1\right)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4 & 2 \\ 4 & 2\end{matrix}\right]


\left[\begin{matrix}4 & 2 \\ 4 & 2\end{matrix}\right]X=0


\left[\begin{matrix}4 & 2 \\ 4 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0\end{matrix}\right]


Отже (множачи матриці зліва та прирівнюючи до відповідного елементу матриці справа):
\left\{\begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix}\right.


Отже, має бути виконана умова:
4x+2y=0


Це рівняння має нескінченну кількість пар x та y, отже, має нескінченну кількість розв’язків.

Отже, власних векторів для власного значення {{\lambda}_{1}}=-1 є нескінченна кількість.

Наприклад, встановивши x=1, отримаємо 4\cdot1+2y=0, тобто y=-2.

Прикладний власний вектор тоді буде:

\left[\begin{matrix}1 \\ -2\end{matrix}\right]

Загалом власні вектори матимуть координати:

\left[\begin{matrix}x \\ -2x\end{matrix}\right]

бо з залежності 4x+2y=0 можна вивести, що y=-2x.

Власні вектори для {{\lambda }_{2}}=5

Для {{\lambda}_{2}}=5:


{{A}_{{{\lambda}_{2}}}}=\left[\begin{matrix}3-5 & 2 \\ 4 & 1-5\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}-2 & 2 \\ 4 & -4\end{matrix}\right]


\left[\begin{matrix}-2 & 2 \\ 4 & -4\end{matrix}\right]X=0


\left[\begin{matrix}-2 & 2 \\ 4 & -4\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0\end{matrix}\right]


Тепер (знову множачи матриці зліва та прирівнюючи до відповідного елементу матриці справа):
\left\{\begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix}\right.


Система, як завжди тут, є невизначеною (має нескінченну кількість розв’язків), але існує залежність:

-2x+2y=0 x=y


Це рівняння задовольняє нескінченну кількість пар, де x=y, отже, має нескінченну кількість розв’язків.

Отже, власних векторів для власного значення {{\lambda}_{2}}=5 є нескінченна кількість і загалом мають рівняння:

\left[\begin{matrix}x \\ x\end{matrix}\right]

Наприклад, встановивши x=1, отримаємо власний вектор:

\left[\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right]

Приклад 2 (з квадратною матрицею третього порядку)

Обчисліть вектори та власні значення матриці A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right].

Розв’язую завдання крок за кроком, використовуючи той самий схему.

1.

A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]


2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]


3.

\left| \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right|

Обчислюю за правилом Саррюса і отримую:

\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22


4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

Тепер трюк з групуванням термів (як у середній школі):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0


\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

Отже:

{{\lambda }^{2}}+11=0 або -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 не має розв’язків у дійсних числах (але якщо ваш професор вимагає обчислювати власні значення також у комплексних числах, то вперед, тут зазвичай буде два корені – комплексні числа).

-\lambda +2 = 0 \lambda = 2


Власним значенням (у дійсних числах) матриці є: 2.

Власні вектори для {{\lambda }}=2

Для \lambda=2:


\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]


Отже, (множачи матриці зліва і прирівнюючи до відповідного елементу матриці справа):


\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.


Пам’ятай, що це завжди невизначена система, яка має нескінченно багато розв’язків. Щоб її розв’язати, можна застосувати теорему Кронекера-Капеллі, але ця тут дуже проста.

Враховуючи, що спочатку маю y=0 , отримую з інших двох рівнянь:

\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.

З цих рівнянь маю залежність z=-x.

Отже, власних векторів для власного значення \lambda=2 є нескінченно багато і їх можна описати залежністю:

\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]

Наприклад, вибравши x=1 , отримаю власний вектор:

\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]

Як порахувати вектори та власні значення у WolframAlpha?

Якщо тобі потрібні лише готові розв’язки, або хочеш перевірити результат, можеш скористатися інтернетовим калькулятором Wolfram. Зайди на сайт:

www.wolframalpha.com

Потім введи у пошуковик матрицю, вектори та власні значення якої хочеш порахувати наступним чином:

{{елементи 1-го рядка розділені комами},{елементи 2-го рядка розділені комами},…}

Наприклад:

Приклад матриці, введеної у пошуковик Wolfram

Потім просто підтверди, натиснувши ENTER.

Характеристичний поліном – можеш прочитати у полі Characteristic polynomial

Власні значення – можеш прочитати у полі Eigenvalues

Власні вектори – можеш прочитати у полі Eigenvectors

Відео

У іншому пості я також записав відео, де показую розрахунок власних значень і векторів на 3 прикладах, запрошую:

Власні значення та вектори – 3 приклади Відео

Дякую

Сподіваюся, що після прочитання цього посту та виконання кількох прикладів ти не матимеш проблем із розрахунком власних значень і векторів на навчанні.

Якщо у тебе є будь-які сумніви, або приклади, які ти не розумієш – дай мені знати в коментарях під постом.

Бестселери (Курси лише українською мовою)

Kurs Matura Podstawowa (Formuła 2023 i 2015)

Szkoła Średnia / Autor: Krystian Karczyński

59,00 

Kurs Mechanika - Kinematyka

Studia / Autor: Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Matura Rozszerzona (Formuła 2023 i 2015)

Szkoła Średnia / Autor: Krystian Karczyński

59,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: Krystian Karczyński

39,00 

Переглянути Всі Курси eTrapez (Курси лише українською мовою)

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Your comment will be publicly visible on our website along with the above signature. You can change or delete your comment at any time. The administrator of personal data provided in this form is eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. The principles of data processing and your related rights are described in our Privace Policy (polish).