DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Granice funkcji liczone twierdzeniem o trzech funkcjach

Krystian Karczyński

Analogia z twierdzeniem o trzech ciągach

Odpowiednikiem twierdzenia z granic ciągów, zwanego „twierdzeniem o trzech ciągach” w granicach funkcji jest „twierdzenie o trzech funkcjach”. Leci ono zupełnie analogicznie: jeżeli mamy jakąś funkcję, ograniczoną z góry i z dołu przez jakieś inne funkcje (ograniczoną, tzn. że ich wartości są odpowiednio większe lub mniejsze od wartości tej funkcji) i te funkcje z góry i z dołu zbiegają do tej samej granicy w punkcie lub nieskończoności – to funkcja ta również zbiega do tej granicy w tym punkcie lub nieskończoności.

Zamotane? Dlatego właśnie wynaleziono zapis matematyczny, tam wygląda to prościej, spójrz:

Założenia:

Założenia ogólne twierdzenia o trzech funkcjachW prostokąciku może być liczba, do której dążą x, albo nieskończoność z dowolnym znakiem.

Teza:

Teza ogólna twierdzenia o trzech funkcjachPamiętamy z ciągów? Pamiętamy na pewno…:)

Jak liczy się więc granicę funkcji korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach?

Najpierw znajdujesz odpowiednie oszacowanie z góry i z dołu, później liczysz granice z tych oszacowań, pokazując, że są sobie równe i skończone, trzeba już tylko napisać ładną odpowiedź.

Przykład

{lim}under{x{right}0}x^2(4+cos{1/x})

Granice z sinusami i cosinusami szacujemy standardowo jedynką, korzystając z faktu, że cosinus/sinus czegokolwiek jest zawsze mniejszy lub równy od 1 i większy lub równy od -1. Prawdziwa jest więc nierówność:

Oszacowanie funkcjiczyli:

Uporządkowane oszacowanie funkcjiTeraz liczmy granice oszacowań z góry i z dołu (a właściwie nie liczymy, bo są bardzo proste…):

{lim}under{x{right}0}3x^2=0

{lim}under{x{right}0}5x^2=0

Wyszły takie same (i o to chodzi). Zatem piszemy już tylko odpowiedź:

Odp. Na mocy twierdzenia o trzech funkcjach: {lim}under{x{right}0}x^2(4+cos{1/x})=0

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Krzysztof pisze:

    Dzięki Wielkie Panie Krystianie:)

    Wyrazy szacunku dla Pana. (szkoda że nie Pan nie jestem moim sorem od Matematyki, Wtedy matem była by taka prosta i piękna a nie to co teraz:(

    Ale dobrze że jest Pan i Pana posty i filmiki:) Bardzo mi pomagają w pojęciu matem. która jak jest dobrze wyłożona wcale nie jest trudna:D:D:D

  2. Krystian Karczyński pisze:

    Dzięki, pewno, że nie jest trudna 🙂

  3. Krystian Karczyński pisze:

    Pytanie dobre, ale odpowiedź niestety z konieczności gorsza.

    Nie ma jakiegoś „złotego środka”, reguły, zasady, tabelki z możliwościami. Do każdego przypadku trzeba podchodzić indywidualnie.

    Standardowe przypadki to sinus i cosinus, oraz (-1)^n ,a w pozostałych trzeba po prostu… kombinować. Niestety.

  4. Magdalena pisze:

    Moja kolezanka kupila panski kurs. Razem rozwiazywałysmy zadania. Po drodze natknelam sie na pewne przeszkody. Dlaczego no w takim wyrazeniu : tgx – sinx/ x^3 nie stosujemy twierdzenia na 3 ciągi?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam,

      Rozumiem, że chodziło Pani o twierdzenie o trzech funkcjach (a nie ciągach), prawda?

      A skąd taki pomysł, żeby akurat w tej granicy zastosować twierdzenie o trzech funkcjach?

  5. tyr pisze:

    Strasznie to głupawo uproszczone i ignoranckie. W twierdzeniu o 3 funkcjach tak się składa że można przyjąć że zachodzi nierówność w dowolnym otoczeniu, w którym to otoczeniu mamy policzyć granicę- i funkcje w tym punkcie są zbieżne do g, wtedy środkowa funkcja jest do tego zbieżna; przy czym nierówność zachodzić może tylko w małym przedziale.

    Oczywiście zupełnie nic o tym nie ma, nie ma nawet jasno napisane przy x dążącym do nieskończoności, czy nierówność zachodzić ma od pewnego momentu, czy dla wszystkich x z dziedziny funkcji- krótko mówiąc strasznie głupawo nieskładnie i niedopowiedzianie; pokazane w pseudoprosty sposób pomijając wiele ważnych ścisłych spraw teoretycznych.

  6. Piotr pisze:

    Witam. A pomógłby mi ktoś z tym przykładem? Lim x-> niesk (x- sin3x)/(2x+sin4x) właśnie z tw. o 3 funkcjach. z Góry dzięki 🙂

  7. Michał pisze:

    witaj! mam problem z całka a mianowicie Całka xe^-x dx oraz pochodną f(x)=(2x)^(3x) w obu przypadkach jest do potęgi w pierwszym przypadku jest tylko -x w potędze a w drugim 3x jest całe w potędze z góry dziekuje 🙂

  8. Lesio pisze:

    Kiedy twierdzenie o trzech funkcjach, a kiedy twierdzenie o dwóch funkcjach wystarczy do rozwiązania zadania? Jak stosować twierdzenie o dwóch funkcjach? Zgadywać kiedy pasuje tw o dwóch a kiedy o trzech?

  9. Paula pisze:

    Witam.Jak będzie wyglądało rozpisanie tego przykładu, arctg nie wiem czy zapisac raz jako -5*pi/4 i raz +5*pi/4?lim ((-1)^(2n+5)*n^2+5*arctg(3+n))/(2*n^2+(-1)^n*n), n->infinity