Równania wielomianowe zespolone sprowadzalne do równań kwadratowych

---

Sprowadzanie do równań kwadratowych niektórych równań stopnia 4

Wiele równań wielomianowych 4-tego stopnia da się przekształcić na równania kwadratowe znaną dobrze ze szkoły średniej sztuczką opisaną tutaj:

Sprowadzanie do równania kwadratowego

Działa to oczywiście i jak najbardziej także dla wielomianów w liczbach zespolonych.

Przypominam, chodzi o to, że mając równanie:

{{z}^{4}}+3{{z}^{2}}+2=0

Podstawiamy: {{z}^{2}}=t

I wychodzimy na równanie kwadratowe:

{{t}^{2}}+3{t}+2=0

Dalej rozwiązujemy je zwykłą deltą i tak dalej, mamy rozwiązania  , pamiętając o tym, że  tworzymy z nich dwa następne równania:

 lub 

Rozwiązujemy je i mamy cztery rozwiązania: .

Sprowadzanie do równań kwadratowych niektórych równań większych stopni

Absolutnie nic nie stoi na przeszkodzie, aby tą metodę rozszerzyć na równania stopni większych niż 4 (jeżeli oczywiście dają się one sprowadzić do kwadratowych przez podstawienie).

A więc mając:

2{{z}^{6}}-5{{z}^{3}}+4=0

Można także zauważyć, że jest ono równoważne:

2{( {z}^{3})^{2}}-5{{z}^{3}}+4=0

I po podstawieniu:

Wychodzimy na kwadratowe:

2{{t}^{2}}-5t+4=0

W równaniu:

{{x}^{10}}-3{{x}^{5}}+1=0

Po podstawieniu:

Mamy:

{{t}^{2}}-3t+1=0

I tak dalej, i tak dalej…

Przykład

Weźmy równanie:

z^6+(1-i)z^3-i=0

Podstawiamy z^2=ti mamy:

t^2+(1-i)t-i=0

Dalej liczymy:

Liczymy te pierwiastki znanymi z liczb zespolonych metodami (pokazanym np. w moim Kursie ).

Mamy   lub

Czyli:

Pamiętamy, że to nie są jeszcze rozwiązania, bo z^3=t

Czyli mamy do rozwiązania równania:

z^3=-1

oraz:

z^3=i

Przekształcamy je na:

oraz

i obliczając znowu znanymi metodami mamy trzy pierwiastki z pierwszego równania:

Oraz trzy pierwiastki z drugiego równania:

Rozwiązane 🙂