fbpx

Black Weekend + Cyber Monday! Wszystkie produkty -30%

blog

Równania wielomianowe zespolone sprowadzalne do równań kwadratowych

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Sprowadzanie do równań kwadratowych niektórych równań stopnia 4

Wiele równań wielomianowych 4-tego stopnia da się przekształcić na równania kwadratowe znaną dobrze ze szkoły średniej sztuczką opisaną tutaj:

Sprowadzanie do równania kwadratowego

Działa to oczywiście i jak najbardziej także dla wielomianów w liczbach zespolonych.

Przypominam, chodzi o to, że mając równanie:

{{z}^{4}}+3{{z}^{2}}+2=0

Podstawiamy: {{z}^{2}}=t

I wychodzimy na równanie kwadratowe:

{{t}^{2}}+3{t}+2=0

Dalej rozwiązujemy je zwykłą deltą i tak dalej, mamy rozwiązania [pmath]t_1,t_2[/pmath], pamiętając o tym, że [pmath]z^2=t[/pmath] tworzymy z nich dwa następne równania:

[pmath]z^2=t_1[/pmath] lub [pmath]z^2=t_2[/pmath]

Rozwiązujemy je i mamy cztery rozwiązania: [pmath]z_1,z_2,z_3,z_4[/pmath].

Sprowadzanie do równań kwadratowych niektórych równań większych stopni

Absolutnie nic nie stoi na przeszkodzie, aby tą metodę rozszerzyć na równania stopni większych niż 4 (jeżeli oczywiście dają się one sprowadzić do kwadratowych przez podstawienie).

A więc mając:

2{{z}^{6}}-5{{z}^{3}}+4=0

Można także zauważyć, że jest ono równoważne:

2{( {z}^{3})^{2}}-5{{z}^{3}}+4=0

I po podstawieniu: [pmath]z^3=t[/pmath]

Wychodzimy na kwadratowe:

2{{t}^{2}}-5t+4=0

W równaniu:

{{x}^{10}}-3{{x}^{5}}+1=0

Po podstawieniu: [pmath]x^5=t[/pmath]

Mamy:

{{t}^{2}}-3t+1=0

I tak dalej, i tak dalej…

Przykład

Weźmy równanie:

z^6+(1-i)z^3-i=0

Podstawiamy z^2=ti mamy:

t^2+(1-i)t-i=0

Dalej liczymy:

[pmath]{Delta}=(1-i)^2-4*1*(-i)=1-2i+i^2+4i=2i[/pmath]

[pmath]sqrt{Delta}=sqrt{2i}[/pmath]

Liczymy te pierwiastki znanymi z liczb zespolonych metodami (pokazanym np. w moim Kursie ).

Mamy [pmath]sqrt{Delta}=1+i[/pmath] lub [pmath]sqrt{Delta}=-1-i[/pmath]

Czyli:

[pmath] t_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a} ={-(1-i)-(1+i)}/2={-2}/2=-1[/pmath]

[pmath] t_1={-b+sqrt{Delta}}/{2a} ={-(1-i)+(1+i)}/2={2i}/2=i[/pmath]

Pamiętamy, że to nie są jeszcze rozwiązania, bo z^3=t

Czyli mamy do rozwiązania równania:

z^3=-1

oraz:

z^3=i

Przekształcamy je na:

[pmath]z=root{3}{-1}[/pmath] oraz [pmath]z=root{3}{i}[/pmath]

i obliczając znowu znanymi metodami mamy trzy pierwiastki z pierwszego równania:

[pmath]z_1=1/2+i{{sqrt{3}}/2}[/pmath]

[pmath]z_2=-1[/pmath]

[pmath]z_3=1/2-i{{sqrt{3}}/2}[/pmath]

Oraz trzy pierwiastki z drugiego równania:

[pmath]z_4={sqrt{3}}/2+{1/2}i[/pmath]

[pmath]z_5=-{{sqrt{3}}/2}+{1/2}i[/pmath]

[pmath]z_6=-i[/pmath]

Rozwiązane 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Śmieszne pieniądze za porządny kurs, a wielu wykładowców tłumaczy bez pasji i nawet na konsultacjach im się nie chce dodatkowo tłumaczyć, a tutaj mogę kilka razy tego samego słuchać jak potrzebuje.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Sebastian pisze:

    Serdecznie witam, czy może w jakimś kursie jest opisane Twierdzenie Taylora, tzn zadania typu : oszacować dokładość wzoru przyblizonego ??

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, tak takie rzeczy są w Kursie Szeregów na Lekcji 9.