blog

Równania wielomianowe czwartego stopnia w liczbach zespolonych

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Przy rozwiązywaniu równań wielomianowych zespolonych stosujemy generalnie te same metody, co w rozwiązywaniu równań wielomianowych rzeczywistych w szkole średniej.

Równania zespolone czwartego stopnia sprowadzalne do drugiego stopnia

Dotyczy to także równań zespolonych 4 stopnia sprowadzalnych do równań stopnia 2, czyli takich, w których mamy niewiadomą do 4 potęgi, niewiadomą do 2 potęgi i wyraz wolny, na przykład:

z^4+5z^2+1=0

albo:

2z^4-5z^2+10=0

Tego typu równania zespolone sprowadzamy do równań zespolonych stopnia drugiego poprzez podstawienie z^2=t, gdzie t jest oczywiście niewiadomą zespoloną.

Przykład

z^4-3z^2+4=0

Podstawiamy z^2=t (oczywiście z^4=(z^2)^2), otrzymamy więc:

t^2-3t+4=0

A to równanie rozwiązujmy więc już normalnie deltą (oczywiście pierwiastki z liczb ujemnych w liczbach zespolonych istnieją). Dostaniemy dwa rozwiązania zespolone:

t_1=3/2-{sqrt{7}}/2i

t_2=3/2+{sqrt{7}}/2i

Skoro podstawiliśmy: z^2=t, mamy:

z^2=3/2-{sqrt{7}}/2i

lub:

z^2=3/2+{sqrt{7}}/2i

czyli:

z=sqrt{3/2-{sqrt{7}}/2i}

lub:

z=sqrt{3/2+{sqrt{7}}/2i}

Po policzeniu pierwiastków (oczywiście wyjdą cztery pierwiastki zespolone) będziemy mieli cztery rozwiązania:

z_1={sqrt{7}}/2+1/2i

z_2=-{sqrt{7}}/2+1/2i

z_3={sqrt{7}}/2-1/2i

z_4=-{sqrt{7}}/2-1/2i

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. tomek pisze:

    jak

    i   

    osiągnięto te  4 pierwiastki.  Z jakich wzorów skorzystano

  2. Jakub pisze:

    a jak by się pan dobrał do takiego przykładu?

    z^5=i|z|^2

  3. Kamila pisze:

    Krystian nie mogę sobie poradzić z takim zadaniem: z^4+ (1+2i)z^2-1+i=0. Czy byłbyś w stanie je rozwiązać?

  4. Mariusz pisze:

    Jeżeli połączymy rozkład który podałem [latex] \left(x^2+ax+b\right)\left(x^2-ax+c\right)=x^4+px^2+qx+r [/latex]
    z przypadkiem opisanym przez Krystiana to powinniśmy sobie poradzić z każdym równaniem czwartego stopnia

  5. Przemysław pisze:

    Krystian.. w swoim kursie nie wspomniałeś o przypadku , kiedy mamy równianie w zbiorze liczb zespolonych tego przypadku : iz^2+iz-2j=0 , jak postępować wtedy ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nakręciłem filmik, bardzo proszę:

  6. Ala pisze:

    Dodajac ze jednym z jego pierwiastkow jest liczba z1=-i-1

  7. Ala pisze:

    Nie mogę poradzić sobie z rozwiązaniem tego wielomianu; /

    W(z)=z^4+2z^3+3z^2+2z+2

  8. Iga pisze:

    Witam czy mogłabym prosić o rozwiązanie następującego przykłądu:

    Oblicz Im [(1-i)] e^(3-4i)]^26

    Pozdrawiam!

  9. Iga pisze:

    Witam czy mogłabym prosić o rozwiązanie następującego przykłądu:

    Oblicz Im [latex][(1-i)[latex] e^3-4i[/latex]]^26[/latex]

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, a z czego jest „liczona” wartość urojona Im? Co jest podniesione do 26 potęgi? Bo w formule jest jeden nawias kwadratowy otwarty i dwa domknięte… ?

  10. Mariusz pisze:

    Do poczytania

    http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

    @Krystian mógłbyś coś napisać o funkcjach symetrycznych (tych wielu zmiennych)
    Pamiętasz jakiś efektywny sposób wyrażania funkcji symetrycznych przez funkcje symetryczne podstawowe
    (zgadywanie jakie funkcje pomnożyć a jakie odjąć średnio działa)
    Jak później dobrać pierwiastki

  11. Mariusz pisze:

    Jeszcze słówko o równaniach trzeciego stopnia

    Równanie trzeciego stopnia można rozwiązać sprowadzając je odpowiednimi podstawieniami do równania kwadratowego
    Można też po wyeliminowaniu wyrazu [katex]x[/katex] odpowiednim podstawieniem skojarzyć postać równania ze wzorem na sinus bądź cosinus kąta potrojonego

    Podstawienie

    [latex]x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}}[/latex]

    sprowadza równanie do postaci

    [latex] y^3+py+q=0[/latex]

    Teraz mamy do wyboru kilka podstawień

    [latex] y=u+v [/latex]

    Po tym podstawieniu dostajemy równanie które można łatwo przekształcić w układ równań
    który będzie przypominał wzory Viete równania kwadratowego
    Gdy równanie kwadratowe ma zespolone pierwiastki (casus irreducibilis) korzystamy ze wzoru de Moivre
    i wyrażamy pierwiastki za pomocą funkcji trygonometrycznych

    [latex] y=u-\frac{p}{3u}[/latex]

    Tutaj równanie kwadratowe otrzymujemy prawie zaraz po podstawieniu , trzeba jednak uważać na zerowe pierwiastki równania kwadratowego

    [latex] y=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos{\theta}[/latex]

    Tutaj sprowadzamy równanie do równania które przypomina wzór na cosinus kąta potrojonego

  12. Mariusz pisze:

    @Krystian moze przydaloby sie przypomniec / dac odnosniki do tematow ktore uzytkownik powinien sobie przyswoic
    poczawszy od wzorow skroconego mnozenie przeksztalcania rownan
    dokonywania zamiany zmiennych ,twierdzenia Bezout, wzorow Viete
    do podstawowych wiadomosci o liczbach zespolonych ,rownan drugiego i trzeciego stopnia

    Rownanie czwartego stopnia mozna zapisac w postaci

    (x^2+ax+b)(x^2-ax+c)=x^4+px^2+qx+r

    Po wymnozeniu trojmianow i porownaniu wspolczynnikow
    dostajemy uklad rownan ktory mozna sprowadzic do rownania trzeciego stopnia

    Rownanie czwartego stopnia mozna tez zapisac w postaci

    (x^2+b_1x+b_0)^2-p(x-c_0)^2=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0

    Po wymnozeniu i porownaniu wspolczynnikow takze dostajemy rownanie trzeciego stopnia

    Rownanie czwartego stopnia mozemy zapisac w postaci roznicy kwadratow tez w ten sposob
    grupujemy rownanie w dwa nawiasy pomiedzy ktorymi stawiamy zmak minus
    w pierwszym nawiasie umieszczamy wyrazy z x^4 oraz z x^3 a w drugim trojmian kwadratowy
    uzupelniamy wyrazenie w pierwszym nawiasie do kwadratu dodajac do wyrazen w obu nawiasach odpowiedni wyraz zgodnie ze wzorem skroconego mnozenia na kwadrat sumy/roznicyponiewaz w drugim nawiasie jest trojmian kwadratowy wiec bedzie kwadratem gdy jego wyroznik bedzie rowny zero
    aby ustalic kiedy wyroznik trojmianu bedzie rowny zero trzeba wprowadzic nowa zmienna (gdybysmy od razu liczyli wyroznik trojmianu to mogloby sie okazac ze nie jest on zerowy )
    wprowadzamy nowa zmienna tak aby wyrazenie w pierwszym nawiasie nadal bylo kwadratem (znowu dodajemy do wyrazen w obu nawiasach odpowiednie wyrazy zgodnie ze wzorem skroconego mnozenia na kwadrat sumy)
    po przyrownaniu wyroznika trojmianu do zera otrzymujemy
    rownanie trzeciego stopnia wzgledem wprowadzonej zmiennej
    rozwiazujemy rownanie trzeciego stopnia i wybieramy jeden pierwiastek
    i wstawiamy go do rownania czwartego stopnia
    teraz gdy rownanie czwartego stopnia przybralo postac roznicy kwadratow
    korzystamy ze wzoru skroconego mnozenia na roznice kwadratow
    i otrzymujemy iloczyn dwoch trojmianow kwadratowych

    Rownania czwartego stopnia nie trzeba rozkladac na czynniki kwadratowe
    poniewaz dziala na nie takze pomysl na rownanie trzeciego stopnia

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Mariusz, dzięki za bardzo wartościowego posta.

      Rownanie czwartego stopnia mozna zapisac w postaci

      (x^2+ax+b)(x^2-ax+c)=x^4+px^2+qx+r

      Po wymnozeniu trojmianow i porownaniu wspolczynnikow
      dostajemy uklad rownan ktory mozna sprowadzic do rownania trzeciego stopnia

      Jesteś pewien, że w tym układzie równań skończy się na trzecim stopniu równania? Bo mi coś tak nie bardzo wychodzi. Nie chciało by Ci się rozpisać to np. na jakimś przykładzie, zrobić foto kartki z obliczeniami i np. przesłać mi na maila (bo tyle obliczeń kodowanych w stylu: x^2 to straszna mordęga)?

  13. Dz pisze:

    Dzięki! Bardzo dobrze wytłumaczone, a wspomnij jeszcze tutaj o wzorze:
    pierwiastki:
    cz. rzeczywista: -b/2a
    cz. urojona: [sqrt(delta)*i] / 2a

    i \sqrt(delta) = i \sqrt(4ac – b^2)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki, ale nie znam tego wzoru:) Na co on? Na pierwiastki równania wielomianowego 4go stopnia sprowadzalne do drugiego? Mógłbyś podrzucić jakiś przykład, jak on działa?