blog

5 Kryteriów Zbieżności Szeregów

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


SzeregJest sobie szereg \sum{{{a}_{n}}}o wyrazach nieujemnych. Mamy sprawdzić, czy jest on zbieżny. Mamy do dyspozycji albo definicję (katorga), albo kryteria (spacer po łące).

Skupmy się na kryteriach.

W moim Kursie Szeregów pokazałem najczęściej używane:

  • d’Alemberta
  • Cauchy’ego
  • porównawcze
  • całkowe

Oczywiście nie oznacza to, że lista możliwych kryteriów zbieżności została w ten sposób wyczerpana. W tym poście zajmę się pozostałymi, wprowadzanymi w podręcznikach i przez niektórych profesorów.

Są takie przykłady, w których TYLKO zastosowanie jakiegoś wymyślnego kryterium pozwoli Ci określić zbieżność. Są profesorzy na studiach, którzy dają na egzaminach takie przykłady.

Przerobię:

  1. Kryterium „ilorazowe” (z nazewnictwem jest trochę różnie, o czym później)
  2. Kryterium „porównawcze ilorazowe”
  3. Kryterium Raabego
  4. Kryterium Bertranda
  5. Kryterium Jermakowa

Zaczynam:

1. Kryterium ilorazowe

Jeżeli mamy dwa szeregi \sum{{{a}_{n}}}i \sum{{{b}_{n}}}, oraz istnieje granica:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}

wtedy jeżeli:

  • 0<\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}<\infty oba szeregi są równocześnie albo zbieżne, albo rozbieżne
  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=0ze zbieżności szeregu \sum{{{b}_{n}}}wynika zbieżność szeregu \sum{{{a}_{n}}}
  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\infty z rozbieżności szeregu \sum{{{b}_{n}}}wynika rozbieżność szeregu \sum{{{a}_{n}}}

W praktyce robota z kryterium wygląda tak, że mam na wejściu jakiś szereg \sum{{{a}_{n}}}i muszę sam wykombinować taki szereg \sum{{{b}_{n}}}, o znanej już z góry zbieżności (lub rozbieżności), żeby granica \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}określiła mi zbieżność/rozbieżność szeregu \sum{{{a}_{n}}}.

Przykład 1

Zbadaj zbieżność szeregu \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \ln \left( n+1 \right)-\ln n \right)}

Wyraz \left( \ln \left( n+1 \right)-\ln n \right)podzielę przez \frac{1}{n}. O szeregu \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}wiem już, że jest to szereg rozbieżny (jest to szereg harmoniczny).

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( n+1 \right)-\ln n}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \frac{n+1}{n}}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( \tfrac{n}{n}+\tfrac{1}{n} \right)}{\frac{1}{n}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+\tfrac{1}{n} \right)}{\frac{1}{n}}

A to już wprost ze wzoru \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+x \right)}{x}=1:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+\tfrac{1}{n} \right)}{\frac{1}{n}}=1

Moja granica \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}z kryterium ilorazowego wyszła równa 1. Zgodnie z kryterium ilorazowym zatem szereg \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \ln \left( n+1 \right)-\ln n \right)}jest szeregiem rozbieżnym, ponieważ:

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}jest rozbieżny
  2. Granica \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=1, czyli oba szeregi są albo równocześnie zbieżne, albo równocześnie rozbieżne
  3. Czyli muszą być oba równocześnie rozbieżne

Przykład 2

Zbadaj zbieżność szeregu \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}-n}}.

Wyraz \frac{1}{{{n}^{2}}-n}podzielę przez \frac{1}{{{n}^{2}}}. O szeregu \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}}}wiem już z góry, że jest to szereg zbieżny (szereg Dirichleta – tłumaczę to w swoim Kursie ).

Mam:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{{{n}^{2}}-n}}{\frac{1}{{{n}^{2}}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{n}^{2}}-n}\frac{{{n}^{2}}}{1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}-n}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}\left( 1-\tfrac{1}{n} \right)}=1

Zatem na mocy kryterium porównawczego szereg \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}-n}}jest zbieżny.

Jest tak, dlatego, że:

  1. \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{2}}}} jest zbieżny
  2. Granica \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=1, czyli oba szeregi są albo równocześnie zbieżne, albo równocześnie rozbieżne
  3. Czyli muszą być oba równocześnie zbieżne

 

2. Kryterium „porównawcze ilorazowe”

Tak je nazwałem, chociaż często przez „porównawcze ilorazowe” rozumie się te kryterium oczko wyżej, czyli moje „ilorazowe”. Nie o nazwy jednak chodzi, tylko o to, że:

Mamy dwa szeregi \sum{{{a}_{n}}}i \sum{{{b}_{n}}}. Jeżeli od pewnego njest spełniona nierówność:

\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\le \frac{{{b}_{n+1}}}{{{b}_{n}}}

wtedy:

  • ze zbieżności szeregu \sum{{{b}_{n}}}wynika zbieżność szeregu \sum{{{a}_{n}}}
  • z rozbieżności szeregu \sum{{{a}_{n}}}wynika rozbieżność szeregu \sum{{{b}_{n}}}

3. Kryterium Raabego

Jest to mocne kryterium, a przynajmniej silniejsze od kryterium d’Alemberta. Oznacza to, że w niektórych przypadkach, gdy kryterium d’Alemberta nie roztrzyga o zbieżności szeregu, kryterium Raabego może to roztrzygnąć.

Mamy szereg \sum{{{a}_{n}}}. Liczymy granicę:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)

Jeżeli:

  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)>1wtedy szereg jest zbieżny
  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)<1wtedy szereg jest rozbieżny
  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)=1wtedy nie możemy roztrzygnąć zbieżności szeregu

Przykład 3

Zbadaj zbieżność szeregu \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( 2n-1 \right)!!}{\left( 2n \right)!!}\frac{1}{2n+1}}

Ten dziwny znaczek: \left( 2n \right)!!oznacza taką specjalną silnię, w której mnożymy przez wyrazy o 2 mniejsze (a nie o jeden), na przykład: 10!!=10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2.

Licząc ten szereg kryterium d’Alemberta otrzymał bym:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\left( 2n+1 \right)!!}{\left( 2n+2 \right)!!}\frac{1}{2n+3}}{\frac{\left( 2n-1 \right)!!}{\left( 2n \right)!!}\frac{1}{2n+1}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2n+1 \right)\left( 2n-1 \right)\left( 2n-3 \right)\cdot \ldots \cdot 1}{\left( 2n+2 \right)\left( 2n \right)\left( 2n-2 \right)\cdot \ldots \cdot 2}\frac{1}{2n+3}\frac{\left( 2n \right)\left( 2n-2 \right)\cdot \ldots \cdot 2}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n-3 \right)\cdot \ldots \cdot 1}\frac{2n+1}{1}= =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2n+1}{2n+2}\frac{2n+1}{2n+3}=1

Czyli kryterium d’Alemberta jest tu bezradne.

Liczę granicę z kryterium Raabego:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{\frac{\left( 2n-1 \right)!!}{\left( 2n \right)!!}\frac{1}{2n+1}}{\frac{\left( 2n+1 \right)!!}{\left( 2n+2 \right)!!}\frac{1}{2n+3}}-1 \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{\left( 2n-1 \right)\left( 2n-3 \right)\cdot \ldots \cdot 1}{\left( 2n \right)\left( 2n-2 \right)\cdot \ldots \cdot 2}\frac{1}{2n+1}\frac{\left( 2n+2 \right)\left( 2n \right)\left( 2n-2 \right)\cdot \ldots \cdot 2}{\left( 2n+1 \right)\left( 2n-1 \right)\left( 2n-3 \right)\cdot \ldots \cdot 1}\frac{2n+3}{1}-1 \right)= =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{\left( 2n+2 \right)\left( 2n+3 \right)}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}-1 \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{4{{n}^{2}}+10n+6}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}-\frac{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{4{{n}^{2}}+10n+6-\left( 4{{n}^{2}}+4n+1 \right)}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{6n+5}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}} \right)= =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{6{{n}^{2}}+5n}{{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}\left( 6+\tfrac{5}{n} \right)}{{{n}^{2}}{{\left( 2+\tfrac{1}{n} \right)}^{2}}}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}

Zatem na mocy kryterium Raabego szereg \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{\left( 2n-1 \right)!!}{\left( 2n \right)!!}\frac{1}{2n+1}}jest zbieżny, bo granica \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)>1.

Przykład 4

Zbadaj zbieżność szeregu \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n!}{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)}}

D’Alembert znowu jest tutaj żałośnie bezradny:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\left( n+1 \right)!}{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)\left( n+1\tfrac{1}{2} \right)}}{\frac{n!}{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( n+1 \right)n!}{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)\left( n+1\tfrac{1}{2} \right)}\frac{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)}{n!}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n+1}{n+1\tfrac{1}{2}}=1

A kryterium Raabego daje radę:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{\frac{n!}{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)}}{\frac{\left( n+1 \right)!}{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)\left( n+1\tfrac{1}{2} \right)}}-1 \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{n!}{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)}\frac{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)\left( n+1\tfrac{1}{2} \right)}{\left( n+1 \right)n!}-1 \right)= =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{n+1\tfrac{1}{2}}{n+1}-1 \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{n+1\tfrac{1}{2}}{n+1}-\frac{n+1}{n+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{\tfrac{1}{2}}{n+1} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{1}{2}n}{n+1}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tfrac{1}{2}n}{n\left( 1+\tfrac{1}{n} \right)}=\frac{1}{2}

Czyli na mocy kryterium Raabego szereg \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{n!}{1\tfrac{1}{2}\cdot 2\tfrac{1}{2}\cdot 3\tfrac{1}{2}\cdot \ldots \cdot \left( n+\tfrac{1}{2} \right)}}jest rozbieżny, bo granica \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)<1.

4. Kryterium Bertranda

Jest to kryterium jeszcze silniejsze od kryterium Raabego (zadziała w niektórych przypadkach, w których zawiedzie Raabe).

Mamy szereg \sum{{{a}_{n}}}. Liczymy granicę:

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln n\left[ n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)-1 \right]

Jeżeli:

  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln n\left[ n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)-1 \right]>1 wtedy szereg jest zbieżny
  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln n\left[ n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)-1 \right]<1 wtedy szereg jest rozbieżny
  • \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\ln n\left[ n\left( \frac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}-1 \right)-1 \right]=1 wtedy nie możemy roztrzygnąć zbieżności szeregu

Jak widać, kryterium Bertranda jest silniejsze od Raabego, ale kosztem tego, że liczyć trzeba bardziej skomplikowaną granicę (tak samo jak Raabego było silniejsze od d’Alemberta kosztem skomplikowania granicy).

5. Kryterium Jermakowa

Kryterium wykorzystuje funkcje (podobnie) jak kryterium całkowe (omawiam je w moim Kursie). Nie potrzeba jednak do niego żadnych całek. Załóżmy, że mamy funkcję f\left( x \right), utworzoną z ciągu {{a}_{n}}w szeregu \sum{{{a}_{n}}}( {{a}_{n}}=f\left( n \right)), nieujemną i malejącą – wszystko tak jak w kryterium całkowym. Wówczas…

Kryterium Jermakowa

Badamy funkcję:

\frac{f\left( {{e}^{x}} \right){{e}^{x}}}{f\left( x \right)}

Jeżeli od pewnego x>{{x}_{0}}

  • \frac{f\left( {{e}^{x}} \right){{e}^{x}}}{f\left( x \right)}\le q<1wtedy szereg jest zbieżny (funkcja musi być ograniczona od góry ułamkiem właściwym)
  • \frac{f\left( {{e}^{x}} \right){{e}^{x}}}{f\left( x \right)}\ge 1wtedy szereg jest rozbieżny (funkcja musi być ograniczona od dołu liczbą 1)

Przykład 5

Zbadaj zbieżność szeregu \sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n{{\ln }^{2}}n}}

Szereg można zrobić kryterium całkowym. Szybciej będzie jednak machnąć „Jermakowem”. Funkcja \frac{1}{x{{\ln }^{2}}x}spełnia założenia, bo ma wyrazy nieujemne dla x>2i jest malejąc w tym przedziale.

Czyli tworzymy do niej funkcję z twierdzenia Jermakowa:

\frac{f\left( {{e}^{x}} \right){{e}^{x}}}{f\left( x \right)}=\frac{\tfrac{1}{{{e}^{x}}{{\ln }^{2}}{{e}^{x}}}{{e}^{x}}}{\tfrac{1}{x{{\ln }^{2}}x}}=\frac{\tfrac{1}{{{\left( \ln {{e}^{x}} \right)}^{2}}}}{\tfrac{1}{x{{\ln }^{2}}x}}=\frac{1}{{{\left( x\ln e \right)}^{2}}}\frac{x{{\ln }^{2}}x}{1}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\frac{x{{\ln }^{2}}x}{1}=\frac{{{\ln }^{2}}x}{x}

Wraz ze wzrostem xto wyrażenie dąży do 0:

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\ln }^{2}}x}{x}\underset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( {{\ln }^{2}}x \right)}^{\prime }}}{{{\left( x \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2\ln x\cdot \tfrac{1}{x}}{1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2\ln x}{x}\underset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 2\ln x \right)}^{\prime }}}{{{\left( x \right)}^{\prime }}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{x}=0

Zatem z pewnością jest ograniczone od góry jakimś ułamkiem właściwym q, o którym mowa w twierdzeniu.

Zatem na mocy twierdzenia Jermakowa jest to szereg zbieżny.

Podsumowanie

Dodatkowych kryteriów zbieżności z tego postu nie traktuj jako kryteria alternatywne, do tych bardziej znanych, ale jak zawodników rezerwowych, którzy wchodzą do gry, kiedy podstawowy team zawodzi.

Są one przeważnie bardziej skomplikowane od swoich popularnych „zamienników” i wymagają użycia cięższej artylerii. Ale w matematyce i miłości wszystkie chwyty dozwolone 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. kasia pisze:

     Jaka jest różnica kiedy przy szeregu jest podane, że:albo zaczyna się od n=1, albo od n=2?

  2. BrusLee pisze:

    Badając zbieżność szeregu  sum from n equals 1 to infinity of fraction numerator 2 n squared plus 3 n over denominator 2 to the power of n \left parenthesis 3 n cubed plus 1 right parenthesis end fraction porównamy go z szeregiem ?Bardzo proszę o odpowiedz i objaśnienie. 

  3. klaudia pisze:

    Mam pytanie, czym się różni warunek zbieżności algorytmu G-S od kryterium zbieżności algorytmu G-S ?

  4. Patrycja pisze:

    Jaka jest różnica między limit as n rightwards arrow infinity of a subscript n  a limit as n rightwards arrow infinity of space vertical line a subscript n vertical line ? Bo jakoś nie potrafię rozgryźć poniższego:”Warunek konieczny zbieżności szeregu, ton-ty wyraz naszego szeregu toan = (- 1)n× 2, skąd , a więc 

    1. Kamil Kocot pisze:

      Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu sum from n equals 1 to infinity of a subscript n jest limit as n rightwards arrow infinity of a subscript n equals 0.  

      Rozważany szereg sum from n equals 1 to infinity of open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times 2 jest szeregiem naprzemiennym sum from n equals 1 to infinity of open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n a subscript n, gdzie a subscript n equals 2. Do zbadania jego zbieżności stosujemy kryterium Leibnitza.  

      Nie spotkałem się w teorii aby warunek konieczny był formułowany jako limit as n rightwards arrow infinity of open vertical bar a subscript n close vertical bar equals 0. W mojej ocenie nie jest to nawet potrzebne. Aby rzetelnie jednak odpowiedzieć na Pani pytanie musiałbym dokładnie wiedzieć o jakich szeregach mówimy. Być może wykładowca wprowadzając ten warunek uogólnił to na szeregi o wyrazach niedodatnich… 

  5. Paulina pisze:

    A ja mam pytanie innej kategorii przerabiałam Pański kurs na szeregi i wychodziły one dobrze ale ostanio miałam taki przykład na kolokwium, którego nie potrafiłam rozgryźć. Czy chciałby mi Pan pomóc go zrozumieć? Przykład wygląda tak ∑_(n=1)^∞▒〖(3^n-2^n)/(5^n-4^n )=〗

    1. Kamil Kocot pisze:

      Zbieżność szeregu sum from n equals 1 to infinity of fraction numerator 3 to the power of n minus 2 to the power of n over denominator 5 to the power of n minus 4 to the power of n end fraction zbadamy korzystając z kryterium Cauchy’ego.

      Obliczamy

      limit as n rightwards arrow infinity of n-th root of a subscript n end root equals limit as n rightwards arrow infinity of n-th root of fraction numerator 3 to the power of n minus 2 to the power of n over denominator 5 to the power of n minus 4 to the power of n end fraction end root
equals limit as n rightwards arrow infinity of n-th root of fraction numerator 3 to the power of n open parentheses 1 minus open parentheses begin display style 2 over 3 end style close parentheses to the power of n close parentheses over denominator 5 to the power of n open parentheses 1 minus open parentheses begin display style 4 over 5 end style close parentheses to the power of n close parentheses end fraction end root
equals limit as n rightwards arrow infinity of 3 over 5 n-th root of fraction numerator 1 minus open parentheses 2 over 3 close parentheses to the power of n over denominator 1 minus open parentheses 4 over 5 close parentheses to the power of n end fraction end root equals 3 over 5 less than 1

      Ponieważ bevelled 3 over 5 less than 1 więc na podstawie kryterium Cauchy’ego rozważany szereg jest zbieżny.

  6. Ilona Wasiak pisze:

    witam, mam do Pana pytanie. właśnie przerabiam Pana kurs szeregów, zrobilam przyklady z pracy domowej oraz te przykłady które mialam zadane przez pana profesora. jezeli dajmy na to obliczam zbieznosc kryterium D’Alamberta i wyjdzie mi 1 to czy to oznacza ze wzielam złe kryterium? czy mogę po prostu zostawic taka odpowiedz? a może próbować rozwiązać jakimś innym sposobem?

  7. Dorota pisze:

    W przykładzie 1. napisał Pan, że wprost ze wzoru… gdzie x dąży do 0, a w tym przykładzie n dąży do nieskończoności. Czy to nie robi różnicy?

    1. Aleksandra pisze:

      W tym gotowym wzorze na granicę sam WYRAZ ma dążyć do zera. W przypadku tego przykładu jest ten warunek spełniony, bo przy lim dążącym do nieskończoności 1/n=0, więc wszystko się zgadza 🙂

  8. Patryk pisze:

    Czy w przekładzie 5 nie jest konieczne sprawdzenie, czy aby x=1 nie jest asymptotą otrzymanej funkcji? Bo gdyby tak było to funkcja wcale nie musiałaby być ograniczona przez jakiś ułamek 🙂

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, oczywiście, w 100% ma Pan rację, bardzo celna uwaga, dzięki!

      Oczywiście x=1 jest asymptotą prawostronną tej funkcji i oczywiście dlatego nie jest ona ograniczona w przedziale x>1 (wbrew temu, co niby „wykazałem”).

      Problem leży już w doborze szeregu, jest: \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n{{\ln }^{2}}n}}, a powinno być: \sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n{{\ln }^{2}}n}}(dwójka w dolnym indeksie znaku sumy). Przecież nie możemy „zacząć” od n=1, bo dostaniemy dzielenie przez zero.

      Dalej przez tą jedynkę wziąłem sprawdzanie ograniczoności dla x>1, a trzeba było dla x>2 (a można było nawet dla x>100, zgodnie z kryterium).

      Poprawiłem edytując post. Zwrócił Pan uwagę na ciekawy problem, który pominąłem – funkcja może nie być ograniczona w otoczeniu asymptoty pionowej i na to też oczywiście trzeba zwracać uwagę (chociaż wobec dowolności punktu x_0z kryterium nie ma to w praktyce aż tak dużego znaczenia). Jeszcze raz dziękuję.

  9. Krystian pisze:

    heh panie Krystianie post fajny ale filmy jakoś lepiej się ogląda hehe nie trzeba czytać tak dużo haha. Jestem leniem a leniom czytać się nie chce a pana wiedza cenniejsza od złota