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矩阵的特征值和特征向量

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。


特征向量和特征值 — 这是什么?

特征值和特征向量在大学里可能会作为矩阵主题的一个扩展出现(或者不出现)。我没有在我的课程中包括它们,所以对这个主题感兴趣的人可能会发现这篇文章真的很有用。

你需要知道什么?

  • 矩阵
  • 中等水平的多项式方程(通常只是二次和三次)

逐步计算特征值和特征向量

  1. 首先,你有一个方阵只有,比如说 A。就这样。
  2. 你计算矩阵 {{A}_{\lambda }}=A-\lambda I ,其中 \lambda 是某个数字,它是一个未知数,而 I 单位矩阵(即方阵,对角线上是1,其他都是0)。
  3. 你计算矩阵 {{A}_{\lambda }}的行列式。
  4. 这个行列式就是所谓的矩阵的特征方程。你将其等于零并计算其根。这些根正是矩阵的特征值。你将它们标记为 {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}},\ldots
  5. 然后你将这些根依次代入方程: {{A}_{\lambda }}X=0,其中 X 是未知的向量(即单列矩阵)。你解这个方程。解将是一组向量 X,每个都可以称为特征向量

例 1(二阶方阵)

计算矩阵 A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]的特征向量和特征值。

按照上面的步骤一步一步来解这个问题。

1.

A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]

2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3 & 2 \\4 & 1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 \\0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right]

3.
\left| \begin{matrix}3-\lambda & 2 \\4 & 1-\lambda \end{matrix} \right|=\left( 3-\lambda \right)\left( 1-\lambda \right)-2\cdot 4=3-3\lambda -\lambda +{{\lambda }^{2}}-8={{\lambda }^{2}}-4\lambda -5


4.
{{\lambda }^{2}}-4\lambda -5=0
\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot \left( -5 \right)=16+20=36
{{\lambda }_{1}}=\frac{-\left( -4 \right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1
{{\lambda }_{2}}=\frac{-\left( -4 \right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5
矩阵的特征值是: -1 5

对于 {{\lambda }_{1}}=-1 的特征向量

对于 {{\lambda }_{1}}=-1:


{{A}_{{{\lambda }_{1}}}}=\left[ \begin{matrix}3-\left( -1 \right) & 2 \\4 & 1-\left( -1 \right) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}4 & 2 \\4 & 2 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]


所以(通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素):
\left\{ \begin{matrix}&4x+2y=0\\&4x+2y=0\\\end{matrix} \right.


这意味着必须满足关系:
4x+2y=0


这个方程对于无数对 x y 都成立,因此它有无数解。

所以对于特征值 {{\lambda }_{1}}=-1 有无限多的特征向量

例如,设定 x=1 得到 4\cdot 1+2y=0,即 y=-2

因此一个示例特征向量为:

\left[ \begin{matrix}1 \\-2 \end{matrix} \right]

一般来说,特征向量的坐标为:

\left[ \begin{matrix}x \\-2x \end{matrix} \right]

因为从关系 4x+2y=0 可以推出 y=-2x

对于 {{\lambda }_{2}}=5 的特征向量

对于 {{\lambda }_{ 2}}=5:


{{A}_{{{\lambda }_{2}}}}=\left[ \begin{matrix}3-5 & 2 \\4 & 1-5\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}-2 & 2 \\4 & -4 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \end{matrix} \right]


现在(再次通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素):
\left\{ \begin{matrix}&-2x+2y=0\\&4x-4y=0\\\end{matrix} \right.


这个系统 — 如同这里通常一样 — 是不确定的(有无限多解),但我们有关系:

-2x+2y=0 x=y


这个方程对于无数对,其中 x=y,都成立,因此它有无数解。

所以对于特征值 {{\lambda }_{2}}=5 有无限多的特征向量,它们一般的方程为:

\left[ \begin{matrix}x \\x \end{matrix} \right]

例如,设定 x=1 得到一个特征向量

\left[ \begin{matrix}1 \\1 \end{matrix} \right]

例 2(三阶方阵)

计算矩阵 A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]的特征向量和特征值。

按照同样的步骤逐步解决。

1.

A=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]


2.
{{A}_{\lambda }}= \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\lambda \cdot\left[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2 & 1 & 0 \\-6 & 1 & -6 \\-3 & 1 & -1 \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix}\lambda & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right]


3.

\left| \begin{matrix}2-\lambda& 1 & 0 \\-6 & 1-\lambda & -6 \\-3 & 1 & -1-\lambda \end{matrix} \right|

我用萨鲁斯规则计算,得到:

\left| A \right| = -{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22


4.
-{{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}-11\lambda +22=0

现在用分组技巧(就像在高中一样):
{{\lambda }^{2}}\left( -\lambda +2 \right)+11\left( -\lambda +2 \right)=0


\left( {{\lambda }^{2}}+11 \right)\left( -\lambda +2 \right)=0

所以:

{{\lambda }^{2}}+11=0 -\lambda +2=0

{{\lambda }^{2}}+11 = 0 实数中没有解(但如果你的教授要求在复数中也计算特征值,那么你这里会有两个复数根)。

-\lambda +2 = 0 \ lambda = 2


矩阵的实数特征值是: 2

对于 {{\lambda }}=2 的特征向量

对于 \lambda=2:


\left[ \begin{matrix}2-2& 1 & 0 \\-6 & 1-2 & -6 \\-3 & 1 & -1-2\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]X=0


\left[ \begin{matrix}0& 1 & 0 \\-6 & -1 & -6 \\-3 & 1 & -3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\z \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}0 \\0 \\0 \end{matrix} \right]


所以(通过矩阵相乘左边并等于右边的对应矩阵元素):


\left\{ \begin{matrix}y=0\\-6x-y-6z=0\\-3x+y-3z=0\\ \end{matrix} \right.


记住,这总是一个不确定系统,它有无限多个解决方案。要解决它,你可以使用克罗内克-卡佩利定理,但这个案例特别简单。

考虑到我一开始就有 y=0 ,我从其他两个方程得到:

\left\{ \begin{matrix}-6x-6z=0\\-3x-3z=0\\ \end{matrix} \right.

从这些方程中,我得到了 z=-x 的关系。

所以对于特征值 \lambda=2 有无限多个特征向量,它们可以用以下关系描述:

\left[ \begin{matrix}x \\0 \\-x \end{matrix} \right]

一个示例特征向量可能是:

\left[ \begin{matrix}1 \\0 \\-1 \end{matrix} \right]

如何在WolframAlpha中计算特征向量和特征值?

如果你只需要现成的解决方案,或者想要检查你的结果,你可以使用Wolfram的在线计算器。访问网站:

www.wolframalpha.com

然后在搜索框中输入你想要计算其特征值和特征向量的矩阵,方式如下:

{{第一行的元素用逗号分隔},{第二行的元素用逗号分隔},…}

例如:

Wolfram搜索中输入的矩阵示例

然后只需按下ENTER键确认。

特征多项式 – 你可以从Characteristic polynomial字段中读取

特征值 – 你可以从Eigenvalues字段中读取

特征向量 – 你可以从Eigenvectors字段中读取

视频

另一个帖子中,我还录制了一个视频,在视频中,我展示了如何计算3个示例的特征值和特征向量,欢迎观看:

特征值和特征向量 – 3个示例视频

谢谢

我希望读完这篇文章并做几个示例后,你在学习中计算特征值和特征向量时不会遇到问题。

如果你有任何疑问,或者有些示例你不理解 – 请在帖子下面的评论中告诉我。

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