DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Kalkulator do granic (funkcji, jednej zmiennej)

Krystian Karczyński

Przedstawiam kolejny kalkulator, tym razem do funkcji jednej zmiennej:

Zasada – prosta jak zawsze. Do pola „f(x) =” wpisujemy funkcję/wyrażenie, z którego chcemy policzyć granicę, zgodnie z ogólnymi zasadami wpisywania formuł matematycznych.

Do pola „x – >” wpisujemy, do czego dąży x.

Klikamy na „Oblicz”.

Uwaga 1 – jak wpisać nieskończoność  \infty ?

Nieskończoność wpisujemy:

  • albo wpisując dwa razy literkę małe o, czyli: „oo”
  • albo np. poprzez wpisanie słowa „infinity”
Uwaga 2 – jak wpisać granice lewo- lub prawostronną?
  • x\to {{0}^{+}}wpisujemy „0+”
  • x\to {{2}^{-}}wpisujemy „2-„

Przykład 1

Chcę policzyć granicę funkcji \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{{{x}^{2}}-1}.

Wpisuję w pole „f(x)=”:  (x-1) /(x^2-1)

Wpisuję w pole „x – >”: 1

Klikam na „Oblicz”.

Mam wynik:  \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{2}

Przykład 2

Chcę policzyć granicę funkcji  \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{7}}+5{{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+2x-1}{10{{x}^{7}}+{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1}

Wpisuję w pole „f(x)=”: (x^7+5x^5-4x^3+2x-1)/(10x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)

Wpisuję w pole „x – >”: oo

albo:

Wpisuję w pole „x – >”: infinity

Klikam na „Oblicz”.

Mam wynik:  \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{7}}+5{{x}^{5}}-4{{x}^{3}}+2x-1}{10{{x}^{7}}+{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1}=\frac{1}{10}

Przykład 3

Liczę granicę funkcji  \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{x}}}\left( {{\cos }^{2}}x-1 \right)

Wpisuję w pole „f(x)=”: e^(1/x)((cosx)^2-1)

Wpisuję w pole „x – >”: 0+

Klikam na „Oblicz”.

Mam wynik:  \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{1}{x}}}\left( {{\cos }^{2}}x-1 \right)=-\infty

Instrukcja Video

Króciutkie omówienie kalkulatorka także na tym video:

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. lukasz pisze:

    no dobrze a jak wprowadzić pierwiastek ?

    1. Przemek pisze:

      sqrt()

    2. marta pisze:

      czy można wprowadzić pierwiastek np. 3 stopnia?

    3. Tak, należy wpisać x^1/3 🙂

  2. lukasz pisze:

    ok, przepraszam znalazłem 🙂

  3. Ruda pisze:

    Przydatna sprawa 🙂 Jednak nie mogę rozwiązać jednej granicy:
    (e^(2x)-1)/ln(1+2x). Wiem, że powinno wyjść 1 (mi wychodzi 0), ale nie mam pojęcia skąd. Mógłbyś mi to wytłumaczyć ?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Rozumiem, że chodzi o granicę funkcji dla x dążącego do zera tak? 😉

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+(e%5E(2x)-1)%2Fln(1%2B2x)

      A zatem po podstawieniu w granicy \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{e}^{{2x}}}-1}}{{ln(1+2x)}} wartości zero za „x” mam:

      \displaystyle \left[ {\frac{{{{e}^{0}}-1}}{{\ln (1+0)}}=\frac{{1-1}}{{\ln 1}}=\frac{0}{0}} \right]

      Jest to symbol nieoznaczony, dlatego najlepiej jest tu zastosować regułę de l’Hospitala:

      \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{e}^{{2x}}}-1}}{{ln(1+2x)}}=\left[ {\frac{0}{0}} \right]\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left( {{{e}^{{2x}}}-1} \right)'}}{{\left( {ln(1+2x)} \right)'}}=\underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{e}^{{2x}}}\cdot 2-0}}{{\frac{1}{{1+2x}}\cdot 2}}=

      \displaystyle \underset{{x\to 0}}{\mathop{{\lim }}}\,{{e}^{{2x}}}\cdot (1+2x)=\left[ {{{e}^{{2\cdot 0}}}\cdot (1+2\cdot 0)=1\cdot (1+0)} \right]=1

  4. Karolina pisze:

    Jak wprowadzić symbol pi?

    1. Krzysiek pisze:

      PI, obie literki z wielkiej.

  5. myly pisze:

    wprowadziłam dla sprawdzenia granicę (x^2-9)/(x^2-3x) przy x dążącym do 3 mi wychodzi 0 natomiast tu pojawia się 2, dlaczego?

    1. Adam pisze:

      w tej granicy, jak się tego nie poprzekształca wychodzi na końcu 0/0. Trzeba policzyć pochodne z tych funkcji i dopiero liczyć granicę, czyli 2x/(2x-3).

    2. Ryhor Abramovich pisze:

      limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator x squared minus 9 over denominator x squared minus 3 x end fraction

      Rozwiązanie:

      Po sprawdzeniu. że mamy wyraz typu 0 over 0, licznik rozkładamy na mnożniki wg wzoru mnożenia skroconego a squared minus b squared equals open parentheses a minus b close parentheses open parentheses a plus b close parentheses, w mianowniku wynosimy x za nawiasy, potem ułamek skracamy i podstawiamy x equals 3 ponownie:

      limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator x squared minus 9 over denominator x squared minus 3 x end fraction equals open square brackets 0 over 0 close square brackets equals limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator open parentheses x minus 3 close parentheses open parentheses x plus 3 close parentheses over denominator x open parentheses x minus 3 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow 3 of fraction numerator x plus 3 over denominator x end fraction equals fraction numerator 3 plus 3 over denominator 3 end fraction equals 6 over 3 equals 2

  6. Miśka pisze:

    Co z granicą lim x->oo (1+4/n)^(n-1) ?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      \displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{4}{n}} \right)}^{{n-1}}}

      Wykorzystać chcę tu wzór:
      \displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{a}{\square }} \right)}^{\square }}={{e}^{a}}

      Dlatego przekształcam:
      \displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{4}{n}} \right)}^{{n-1}}}=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{4}{n}} \right)}}^{n}}} \right]}^{{\frac{{n-1}}{n}}}}

      Wyrażenie w nawiasie kwadratowym dąży do \displaystyle {{e}^{4}}.

      Na boku rozpisuję granicę potęgi
      \displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{n-1}}{n}=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{n\left( {1-\frac{1}{n}} \right)}}{n}=\underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\left( {1-\frac{1}{n}} \right)=1-0=1

      Mam więc ostatecznie:
      \displaystyle \underset{{n\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{4}{n}} \right)}}^{n}}} \right]}^{{\frac{{n-1}}{n}}}}={{\left[ {{{e}^{4}}} \right]}^{1}}={{e}^{4}}

  7. Paweł Muchorowski pisze:

    Czemu lim x^2/e^x jest równy 0?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      Podstawiając wartość \displaystyle \infty za x mam granicę \displaystyle \left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right], dlatego też stosuję regułę de l’Hospitala.

      \displaystyle \begin{array}{l}\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{{{x}^{2}}}}{{{{e}^{x}}}}=\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left( {{{x}^{2}}} \right)'}}{{\left( {{{e}^{x}}} \right)'}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{2x}}{{{{e}^{x}}}}=\left[ {\frac{\infty }{\infty }} \right]\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{\left( {2x} \right)'}}{{\left( {{{e}^{x}}} \right)'}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{2}{{{{e}^{x}}}}=\left[ {\frac{2}{\infty }} \right]=0\end{array}

      Wynik końcowy powstał wprost z zastosowania wzoru na granicę:

      \displaystyle \left[ {\frac{A}{{\pm \infty }}} \right]=0

  8. marta pisze:

    Lim x->-oo( (2x+1)^4-(2x+3)^4)/((x+3)^3-(3x-1)^3)=
    Obliczy ktos? 🙂 ma wyjść 32/13

    1. Joanna Grochowska pisze:

      \underset{{x \to \infty }}{\mathop{{\lim }}},\frac{{{{{(2x+1)}}^{4}}-{{{(2x+3)}}^{4}}}}{{{{{(x+3)}}^{3}}-{{{(3x-1)}}^{3}}}}

      Rozpisuję podane wyrażenia. O ile w mianowniku można by zastosować wzory skróconego mnożenia, poznane jeszcze w szkole w średniej, to w liczniku nie koniecznie znamy/ pamiętamy od razu gotowy wzór.

      Wykorzystuje więc wzór ogólny na n-tą potęgę sumy dwóch liczb (do doboru współczynników pomocny jest również tzw. Trójkąt Pascala)

      Stąd
      \displaystyle {{(a+b)}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}
      \displaystyle {{(a+b)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}
      \displaystyle {{(a-b)}^{3}}={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}

      No to rozpisując mam:

      \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}},\frac{{{{{(2x+1)}}^{4}}-{{{(2x+3)}}^{4}}}}{{{{{(x+3)}}^{3}}-{{{(3x-1)}}^{3}}}}=

      \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}},\frac{{16{{x}^{4}}+4\cdot 8{{x}^{3}}+6\cdot 4{{x}^{2}}+4\cdot 2x+1-(16{{x}^{4}}+4\cdot 8{{x}^{3}}\cdot 3+6\cdot 4{{x}^{2}}\cdot 9+4\cdot 2x\cdot 27+81)}}{{{{x}^{3}}+3\cdot {{x}^{2}}\cdot 3+3\cdot x\cdot 9+27-(27{{x}^{3}}-3\cdot 9{{x}^{2}}+3\cdot 3x-1)}}

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}},\frac{{16{{x}^{4}}+32{{x}^{3}}+24{{x}^{2}}+8x+1-16{{x}^{4}}-96{{x}^{3}}-216{{x}^{2}}-216x-81}}{{{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}+27x+27-27{{x}^{3}}+27{{x}^{2}}-9x+1}}=

      \displaystyle =\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}},\frac{{-64{{x}^{3}}-192{{x}^{2}}-208x-80}}{{-26{{x}^{3}}+36{{x}^{2}}+18x+28}}=\underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}},\frac{{{{x}^{3}}\cdot \left( {-64-\frac{{192}}{x}-\frac{{208}}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{80}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{{{x}^{3}}\cdot \left( {-26+\frac{{36}}{x}+\frac{{18}}{{{{x}^{2}}}}+\frac{{28}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}=

      \displaystyle \underset{{x\to \infty }}{\mathop{{\lim }}},\frac{{\left( {-64-\frac{{192}}{x}-\frac{{208}}{{{{x}^{2}}}}-\frac{{80}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}{{\left( {-26+\frac{{36}}{x}+\frac{{18}}{{{{x}^{2}}}}+\frac{{28}}{{{{x}^{3}}}}} \right)}}=\left[ {\frac{{-64-0-0-0}}{{-26+0+0+0}}} \right]=\frac{{32}}{{13}}

  9. pola pisze:

    Cześć . Ucze się do wrześniowego egzaminu i mam problem z jedym przykładem , za każdym razem wychodzi mi cos innego . Proszę o pomoc jak go rozwiązać po kolei bo coś na pewno robie źle .
    (1+3/x)^-x przy x-> oo

    1. Kamil Kocot pisze:

      Witam, granicę można rozwiązać korzystając ze wzoru

      limit as x rightwards arrow plus infinity of open parentheses 1 plus a over x close parentheses to the power of x equals e to the power of a

      Otrzymamy po drobnym przekształceniu 

      limit as x rightwards arrow plus infinity of open parentheses 1 plus 3 over x close parentheses to the power of negative x end exponent equals limit as x rightwards arrow plus infinity of open square brackets open parentheses 1 plus 3 over x close parentheses to the power of x close square brackets to the power of negative 1 end exponent equals open parentheses e cubed close parentheses to the power of negative 1 end exponent equals e to the power of negative 3 end exponent.

  10. mk pisze:

    Witam. Czy byłby mi ktoś w stanie pomóc z takim oto przykładem ? lim x-> -oo    ln(x^2+1) / 3-4x^2  

  11. k. pisze:

    Dzień dobry! Mam taki kłopot z granicą . W przypadku gdy funkcja dąży do -oo a wygląda tak: lim =2^x to jakim cudem wychodzi że jest to równe zero? Czy liczba podniesiona do potęgi -oo zawsze będzie zerem? Proszę o pomoc. Serdecznie pozdrawiam. K.

    1. Witam!

      Jeśli chodzi o taką granicę, przy x dążącym do negative infinity zależy jaką liczbę podnosisz do potęgi, większą od 1 czy ułamek.

      Bo ten minus w potędze jaki się pojawi (po podstawieniu granicy) – zamienia podstawę na odwrotną, to znaczy wykorzystuje się zależność potęg a to the power of negative x end exponent equals open parentheses 1 over a close parentheses to the power of x

      Stąd w takich granicach, jeśli liczba podniesiona do potęgi negative infinity  jest większa od 1, zamieni się na ułamek podnoszony do potęgi infinity , a to zawsze będzie zerem 🙂

      limit as x rightwards arrow negative infinity of 2 to the power of x equals open square brackets 2 to the power of negative infinity end exponent equals open parentheses 1 half close parentheses to the power of infinity close square brackets equals 0

      Wynik wziął się z wzoru limit as x rightwards arrow infinity of a to the power of x equals 0 space space space comma space g d z i e space open vertical bar a close vertical bar space less than 1

  12. lukasz pisze:

    Nie mogę rozwiązać tej granicy ( (x^(x)*2^(x))/(x!) a x dąży do nieskończoności)  mam wskazówkę, że 0<(ax+1)/(ax)<1 ale wychodzi mi 2e, więc murze udowodnić innym sposobem.. ale nie mam pojęcia jakim.. 

  13. Ola pisze:

    Mam obliczyc granice zmierzajaca do zera tgx/x^3   –    sinx/x^3.  W kalkulatorze wychodzi 1/2 a mi zero . Zrobilam z metody de’l Hospitala poniewaz na poczatku wychodzi indeks [0/0] i dalej z pochodnych . Dlaczego wyniki sie roznia ?

  14. ktoś pisze:

    Obliczy mi ktoś ? męcze się z tym od dwóch dni .. ;( ( 5(n+1)!-2(n-1)!)/(3n!-(n+1)! n->oo    oraz lim –>4 (x+x^1/2-6)/(x-(5*x^1/2)-6) liczylam z d’Hospitala i wyszlo mi -5  a tutaj na kalkulatorze wychodzi 0

    1. 2. limit as x rightwards arrow 4 of fraction numerator x plus square root of x minus 6 over denominator x minus 5 square root of x minus 6 end fraction equals fraction numerator 4 plus square root of 4 minus 6 over denominator 4 minus 5 square root of 4 minus 6 end fraction equals fraction numerator 4 plus 2 minus 6 over denominator 4 minus 5 times 2 minus 6 end fraction equals fraction numerator 0 over denominator negative 12 end fraction equals 0

      Najprawdopodobniej błąd w zapisach. Chyba powinno być tak:

      limit as x rightwards arrow 4 of fraction numerator x plus square root of x minus 6 over denominator x minus 5 square root of x plus 6 end fraction equals open square brackets 0 over 0 close square brackets equals open vertical bar table row cell square root of x equals t end cell row cell x equals t squared end cell row cell x rightwards arrow 4 space rightwards double arrow t rightwards arrow 2 end cell end table close vertical bar equals limit as t rightwards arrow 2 of fraction numerator t squared plus t minus 6 over denominator t squared minus 5 t plus 6 end fraction equals open square brackets 0 over 0 close square brackets equals

      limit as t rightwards arrow 2 of fraction numerator open parentheses t minus 2 close parentheses open parentheses t plus 3 close parentheses over denominator open parentheses t minus 2 close parentheses open parentheses t minus 3 close parentheses end fraction equals limit as t rightwards arrow 2 of fraction numerator t plus 3 over denominator t minus 3 end fraction equals fraction numerator 2 plus 3 over denominator 2 minus 3 end fraction equals fraction numerator 5 over denominator negative 1 end fraction equals negative 5

  15. Asia pisze:

    Mam problem z tą granicą, powinno wyjść chyba zero a ja nie wiem czemu.limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator x hat 2 over denominator \left parenthesis x plus 3 right parenthesis \left parenthesis 2 x hat 2 plus 1 right parenthesis end fraction

    1. Trzeba tak zadziałać:

      limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator x squared over denominator open parentheses x plus 3 close parentheses open parentheses 2 x squared plus 1 close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator x squared over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 3 over x end style close parentheses x squared open parentheses 2 plus begin display style 1 over x squared end style close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 1 over denominator x open parentheses 1 plus begin display style 3 over x end style close parentheses open parentheses 2 plus begin display style 1 over x squared end style close parentheses end fraction equals 0

      (bo open square brackets fraction numerator 1 over denominator infinity open parentheses 1 plus begin display style 3 over infinity end style close parentheses open parentheses 2 plus begin display style 1 over infinity squared end style close parentheses end fraction equals fraction numerator 1 over denominator infinity open parentheses 1 plus begin display style 0 end style close parentheses open parentheses 2 plus begin display style 0 end style close parentheses end fraction equals fraction numerator 1 over denominator infinity times 1 times 2 end fraction equals 1 over infinity equals 0 close square brackets)

      Polecam, przy okazji mój:

      Kurs Granic, https://etrapez.pl/produkt/kurs-granice/

  16. Wu pisze:

    Mam problem z taką granicą nie mam pojecia jak sie za nia zabrac, proszę o pomoc: stack l i m with x rightwards arrow 0 below space \left parenthesis t g x right parenthesis to the power of t g x end exponent

    1. Kamil Kocot pisze:

      W rozwiązaniu wykorzystamy regułę De l’Hospitala oraz własności logarytmów tzn.

      a to the power of log subscript a x end exponent equals x rightwards double arrow e to the power of ln x end exponent equals x
n times log subscript a x equals log subscript a x to the power of n

      Obliczymy granicę limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of (wydaję mi się, że granica w 0 to the power of minus jest ciążka do policzenia i tym samym granica obustronna w 0; po obliczeniu jeszcze powrócę do tego problemu).

      Zaczynamy

      limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of open parentheses t g x close parentheses to the power of t g x end exponent equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of e to the power of ln open parentheses t g x close parentheses to the power of t g x end exponent end exponent equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of e to the power of t g x ln open parentheses t g x close parentheses end exponent equals e to the power of limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of t g x ln open parentheses t g x close parentheses end exponent

      Dalej

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of t g x times ln open parentheses t g x close parentheses end cell equals cell open square brackets 0 to the power of plus times ln 0 to the power of plus equals 0 to the power of plus times open parentheses plus infinity close parentheses close square brackets equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator ln open parentheses t g x close parentheses over denominator begin display style bevelled fraction numerator 1 over denominator t g x end fraction end style end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator ln open parentheses t g x close parentheses over denominator begin display style c t g x end style end fraction end cell row blank equals cell open square brackets fraction numerator ln 0 to the power of plus over denominator plus infinity end fraction close square brackets equals open square brackets fraction numerator negative infinity over denominator plus infinity end fraction close square brackets to the power of H equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator t g x end fraction fraction numerator 1 over denominator cos squared x end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator 1 over denominator sin squared x end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator sin squared x over denominator t g x cos squared x end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator sin squared x over denominator begin display style fraction numerator sin x over denominator cos x end fraction cos squared x end style end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator sin x over denominator cos x end fraction equals 0 over 1 equals 0 end cell end table

      Powracając do limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of open parentheses t g x close parentheses to the power of t g x end exponent dostajemy

      limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of open parentheses t g x close parentheses to the power of t g x end exponent equals space horizontal ellipsis space equals e to the power of limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of t g x ln open parentheses t g x close parentheses end exponent equals e to the power of 0 equals 1.

      Granica w 0 to the power of minus tą metoda nie jest możliwa do policzenia ze względu na dziedzinę logarytmu naturalnego ln x semicolon space x greater than 0. Możemy liczyć tylko granicę prawostronną w zerze. Granica table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell limit as x rightwards arrow 0 minus of end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank ln end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open parentheses t g x close parentheses end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell open square brackets ln 0 to the power of minus close square brackets end cell end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank equals blank end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank cross times end table table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row blank blank end table nie ma sensu.

  17. Gabi pisze:

     

    limit as x rightwards arrow straight \pi minus of fraction numerator \left parenthesis sin x right parenthesis squared over denominator 2 x squared end fractionproszę o pomoc w policzeniu tej granicy, wg kalkulatora powinno wyjść 0  🙂

    1. Kamil Kocot pisze:

      W granicy wystarczy skorzystać z wartości funkcji sinus tzn. sinπ equals 0, dostaniemy

      limit as x rightwards arrow straight \pi to the power of minus of fraction numerator open parentheses sin x close parentheses squared over denominator 2 x squared end fraction equals open square brackets fraction numerator open parentheses sinπ close parentheses squared over denominator 2 straight \pi squared end fraction close square brackets equals 0

      Granica obustronna również wynosi zero.

  18. Ela pisze:

    Proszę pomóżcie:)Jak policzyć z d’H lim przy x dążącym do 0+ dla x*e^1/x. Wiem, że ma wyjść nieskończoność? Znalazłam, w Krysickim uzasadnienie, ale strasznie skomplikowane.  

    1. Kamil Kocot pisze:

      Wystarczy „wrzucić” x do mianownika, a dokładniej:

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of x e to the power of bevelled 1 over x end exponent end cell equals cell open square brackets 0 times e to the power of 1 over 0 to the power of plus end exponent equals 0 times e to the power of plus infinity end exponent equals 0 times infinity close square brackets equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator e to the power of 1 divided by x end exponent over denominator 1 divided by x end fraction equals open square brackets infinity over infinity close square brackets to the power of H end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator e to the power of 1 divided by x end exponent times open parentheses 1 divided by x close parentheses apostrophe over denominator open parentheses 1 divided by x close parentheses apostrophe end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of e to the power of 1 divided by x end exponent equals plus infinity end cell end table

  19. Gabi pisze:

    limit as x rightwards arrow infinity of \left parenthesis x to the power of 4 e to the power of negative 2 x squared end exponent right parenthesis spacejak obliczyć taką granicę?

    1. Pójdzie to tak (należy skorzystać z reguły de l’Hospitala):

      limit as x rightwards arrow infinity of x to the power of 4 e to the power of negative 2 x squared end exponent equals limit as x rightwards arrow infinity of x to the power of 4 1 over e to the power of 2 x squared end exponent equals limit as x rightwards arrow infinity of x to the power of 4 over e to the power of 2 x squared end exponent equals from H to open square brackets infinity over infinity close square brackets of limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses x to the power of 4 close parentheses apostrophe over denominator open parentheses e to the power of 2 x squared end exponent close parentheses apostrophe end fraction equals
equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 4 x cubed over denominator 4 x e to the power of 2 x squared end exponent end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of x cubed over e to the power of 2 x squared end exponent equals from H to open square brackets infinity over infinity close square brackets of equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses x cubed close parentheses apostrophe over denominator open parentheses e to the power of 2 x squared end exponent close parentheses apostrophe end fraction equals
equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 x squared over denominator 4 x e to the power of 2 x squared end exponent end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 x over denominator 4 e to the power of 2 x squared end exponent end fraction equals from H to open square brackets infinity over infinity close square brackets of equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open parentheses 3 x close parentheses apostrophe over denominator open parentheses 4 e to the power of 2 x squared end exponent close parentheses apostrophe end fraction equals
equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 3 over denominator 16 x e to the power of 2 x squared end exponent end fraction equals 0

    2. Gabi pisze:

      Dziękuję za pomoc 🙂 P.S. Wkradł się mały błąd, (x^4)’=4x^3

    3. Poprawione. Przepraszamy za ta „literówka”. Dalej już idzie poprawnie 🙂

  20. Ela pisze:

    Pomóżcie proszę! Znalazłam w znanym zbiorze bardzo skomplikowane rozwiązanie granicy. Czy to naprawdę taki trudny przypadek?stack lim space x e to the power of 1 over x end exponent with x rightwards arrow 0 plus below

    1. Nie, to niezbyt trudny przypadek. Należy skorzystać z reguły de Hospitala:

      limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of x e to the power of 1 over x end exponent

      Na początku sprawdzamy, co do czego zmierza:

      open square brackets 0 to the power of plus times e to the power of 1 over 0 to the power of plus end exponent close square brackets equals open square brackets 0 to the power of plus times e to the power of plus infinity end exponent close square brackets equals open square brackets 0 times infinity close square brackets

      Mamy więc symbol nieoznaczony.

      Przekształcamy go do symbolu nieoznaczonego, w którym można zastosować regułę de Hospitala (pokazałem jak to się robi w Kursie Granic: https://etrapez.pl/produkt/kurs-granice/ ), stosujemy regułę, wszystko ładnie się upraszcza i mamy wynik:

      limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of x e to the power of 1 over x end exponent equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator e to the power of 1 over x end exponent over denominator begin display style 1 over x end style end fraction equals from H to open square brackets infinity over infinity close square brackets of limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator open parentheses e to the power of 1 over x end exponent close parentheses apostrophe over denominator begin display style open parentheses 1 over x close parentheses apostrophe end style end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator e to the power of 1 over x end exponent open parentheses 1 over x close parentheses apostrophe over denominator negative begin display style 1 over x squared end style end fraction equals
equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of fraction numerator e to the power of 1 over x end exponent open parentheses negative 1 over x squared close parentheses over denominator negative begin display style 1 over x squared end style end fraction equals limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of e to the power of 1 over x end exponent equals plus infinity

    2. Ela pisze:

      Bardzo dziękuję za pomoc !!! 🙂

  21. Konrad pisze:

    Dzień Dobry!Chciałbym zapytać w jaki sposób mogę wpisać do kalkulatora wyrażenie cos(2x!)

  22. Kacper pisze:

    Czy mógłby ktoś mi wytłumaczyć dlaczego lim x-> -oo  z ln(x) jest równy nieskończoność?

    1. Kamil Kocot pisze:

      Witam 

      Logarytm naturalny jest określony tylko dla x greater than 0. Granice można odczytać z wykresu funkcji y equals ln x

      Na wykresie widać, że jeżeli x dąży do nieskończoności to wykres ucieka do góry czyli limit as x rightwards arrow plus infinity of ln x equals plus infinity; jeżeli natomiast x dąży do zera od prawej strony to wykres ucieka w dół czyli limit as x rightwards arrow 0 to the power of plus of ln x equals negative infinity.

      Nie ma natomiast granicy w negative infinity z uwagi na dziedzinę logarytmu.

    2. ak-47 pisze:

      Świetne wytłumaczenie, kula jest okrągła – bo koło jest okrągłe. Fajnie się argumentuje w tych ciemnych czasach historii… Pójdźmy dalej… Dlaczego masło smakuje masłem – bo jest maślane. Dziękuję za brawa – jestem tak zajebisty jak autor wpisu powyżej

  23. Patrycja pisze:

    Dzień dobry, Jak obliczyć taką granicę: lim x–> oo    ln(lnx)/xlnx Bardzo proszę o pomoc.  

    1. Dzień dobry,

      Trzeba pociągnąć regułą de l’Hospitala:

      limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator ln open parentheses ln x close parentheses over denominator x ln x end fraction large equals from H to open square brackets infinity over infinity close square brackets of limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator open square brackets ln open parentheses ln x close parentheses close square brackets apostrophe over denominator open parentheses x ln x close parentheses apostrophe end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator ln x end fraction end style open parentheses ln x close parentheses apostrophe over denominator open parentheses x close parentheses apostrophe ln x plus x open parentheses ln x close parentheses apostrophe end fraction equals
equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator ln x end fraction 1 over x end style over denominator ln x plus x times begin display style 1 over x end style end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style fraction numerator 1 over denominator x ln x end fraction end style over denominator ln x plus 1 end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 1 over denominator x ln x end fraction fraction numerator begin display style 1 end style over denominator ln x plus 1 end fraction equals
equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator 1 over denominator open parentheses ln x plus 1 close parentheses x ln x end fraction equals 0

  24. Kinga pisze:

    Jak obliczyć taką granicę bez używania pochodnych ?lim_(x->-1) (sqrt(4 x + 5) – x^2)/(x^2 – 1)

    1. Kamil Kocot pisze:

      W obliczeniach należy wykonać mnożenie przez sprzężenia tzn.

      limit as x rightwards arrow negative 1 of fraction numerator square root of 4 x plus 5 end root minus x squared over denominator x squared minus 1 end fraction equals open square brackets 0 over 0 close square brackets equals limit as x rightwards arrow negative 1 of fraction numerator square root of 4 x plus 5 end root minus x squared over denominator x squared minus 1 end fraction times fraction numerator square root of 4 x plus 5 end root plus x squared over denominator square root of 4 x plus 5 end root plus x squared end fraction
equals limit as x rightwards arrow negative 1 of fraction numerator open parentheses square root of 4 x plus 5 end root close parentheses squared minus x to the power of 4 over denominator open parentheses x squared minus 1 close parentheses open parentheses square root of 4 x plus 5 end root plus x squared close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow negative 1 of fraction numerator 4 x plus 5 minus x to the power of 4 over denominator open parentheses x squared minus 1 close parentheses open parentheses square root of 4 x plus 5 end root plus x squared close parentheses end fraction

      następnie rozkładamy 4 x plus 5 minus x to the power of 4 korzystając ze schematu Hornera dla x equals negative 1 i dostajemy 4 x plus 5 minus x to the power of 4 equals \left parenthesis x plus 1 right parenthesis \left parenthesis negative x cubed plus x squared minus x plus 5 right parenthesis.

      Dalej

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative 1 of fraction numerator square root of 4 x plus 5 end root minus x squared over denominator x squared minus 1 end fraction end cell equals cell horizontal ellipsis equals limit as x rightwards arrow negative 1 of fraction numerator 4 x plus 5 minus x to the power of 4 over denominator open parentheses x squared minus 1 close parentheses open parentheses square root of 4 x plus 5 end root plus x squared close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative 1 of fraction numerator \left parenthesis x plus 1 right parenthesis \left parenthesis negative x cubed plus x squared minus x plus 5 right parenthesis over denominator open parentheses x minus 1 close parentheses open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses square root of 4 x plus 5 end root plus x squared close parentheses end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative 1 of fraction numerator negative x cubed plus x squared minus x plus 5 over denominator open parentheses x minus 1 close parentheses open parentheses square root of 4 x plus 5 end root plus x squared close parentheses end fraction equals end cell row blank blank blank row blank equals cell fraction numerator 8 over denominator negative 2 times 2 end fraction equals negative 2 end cell end table

  25. Jan pisze:

    Dobry wieczór, chcąc policzyć granicę z f(x)=\sqrt(x(x+1))-x dążącą do nieskończoności kalkulator pokazuje mi wynik 1/2, z moich obliczeń wynika że jest to 2, proszę o pomoc..

    1. Jan pisze:

      Już znalazłem błąd w moich obliczeniach.

  26. ania pisze:

    jak obliczyć granicę lim_(x->-oo) (sqrt(1+x^2)+x)

    1. Kamil Kocot pisze:

      Granicę liczymy standardowo mnożąc przez sprzężenie, trzeba tylko uważać, że mamy do czynienia z negative infinity. Wygląda to następująco:

      table attributes columnalign right center \left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow negative infinity of open parentheses square root of 1 plus x squared end root plus x close parentheses end cell equals cell open square brackets infinity minus infinity close square brackets equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator square root of 1 plus x squared end root plus x over denominator 1 end fraction times fraction numerator square root of 1 plus x squared end root minus x over denominator square root of 1 plus x squared end root minus x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator open parentheses square root of 1 plus x squared end root close parentheses squared minus x squared over denominator square root of 1 plus x squared end root minus x end fraction equals limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 1 plus x squared minus x squared over denominator square root of 1 plus x squared end root minus x end fraction end cell row blank equals cell limit as x rightwards arrow negative infinity of fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus x squared end root minus x end fraction equals open square brackets fraction numerator 1 over denominator infinity plus infinity end fraction close square brackets equals 0 end cell end table

  27. Małgosia pisze:

    Witam serdecznie mam problem z taka granica lim x →∞ ((x-3)e^(x/(3-x))-x/e) ma wyjsc -6/e mi jakos wychodzi -3/e i nie wiem co zrobic 🙁

  28. WojciechK pisze:

    Witam! Potrzebuję natychmiastowej pomocy z jednym przykładem. Męczę się strasznie, lecz nie mogę go zrobić. Moja profesorka jest straszna. Z góry dziękuję za pomoc.limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator e to the power of x minus straight \pi to the power of x over denominator 2 to the power of x minus 3 e to the power of negative x end exponent minus straight \pi end fraction

    1. Granica ta tylko na pierwszy rzut oka wydaje się straszna 🙂

      Wystarczy zauważyć taki myk, że występują tutaj po prostu liczby do potęgi „x”. Liczbę e jak i bold pi można potraktować na równi jakby stała tam 4 czy 5. W takich sytuacjach postępuje typowo, czyli wyciągam przed nawias największe potęgi z licznika i mianownika, pamiętając, że e almost equal to 2 comma 72 oraz straight \pi almost equal to 3 comma 14

      limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator e to the power of x minus straight \pi to the power of x over denominator 2 to the power of x minus 3 e to the power of negative x end exponent minus straight \pi end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of fraction numerator straight \pi to the power of x times open parentheses begin display style straight e to the power of straight x over straight \pi to the power of straight x end style minus 1 close parentheses over denominator 2 to the power of x times open parentheses 1 minus begin display style fraction numerator 3 straight e to the power of negative straight x end exponent over denominator 2 to the power of straight x end fraction end style minus begin display style straight \pi over 2 to the power of straight x end style close parentheses end fraction equals limit as x rightwards arrow infinity of open parentheses straight \pi over 2 close parentheses to the power of x fraction numerator open parentheses begin display style open parentheses straight e over straight \pi close parentheses to the power of x minus 1 end style close parentheses over denominator open parentheses 1 minus begin display style 3 over open parentheses 2 e close parentheses to the power of straight x end style minus begin display style straight \pi over 2 to the power of straight x end style close parentheses end fraction

      Teraz straight \pi over 2 greater than 1 więc w granicy da infinity.  Pozostałe wyrażenia podniesione do potęgi x  dążą do 0 stąd ostateczna granica:

      limit as x rightwards arrow infinity of open parentheses straight \pi over 2 close parentheses to the power of x fraction numerator open parentheses begin display style open parentheses straight e over straight \pi close parentheses to the power of x minus 1 end style close parentheses over denominator open parentheses 1 minus begin display style 3 over open parentheses 2 e close parentheses to the power of straight x end style minus begin display style straight \pi over 2 to the power of straight x end style close parentheses end fraction equals open square brackets infinity times fraction numerator 0 minus 1 over denominator 1 minus 0 minus 0 end fraction equals infinity times \left parenthesis negative 1 right parenthesis close square brackets equals bold minus bold infinity 

  29. Ania pisze:

    Dzień dobry! Pilnie potrzebuję pomocy z jednym przykładem. Liczę i liczę, a doliczyć się nie mogę.Z gory dziękuję za pomoc 🙂 lim x->oo   (x-lnx) 

  30. Asia pisze:

    Witam! Potrzebuję pomocy : lim x->o  x^x

  31. Paweł pisze:

    Dobry Wieczór. Przygotowuje się do kolokwium i chciałbym policzyć jedną granicę, a na kalkulatorze wychodzi jakiś dziwny wynik. Raz zero, raz nieskończoność. Przykład:lim przy x -> nieskończoność (3n+7/3n-2)^-4n 

  32. wojtek pisze:

    A jak obliczyć granice lim x->0+  2x*ln(arcsinx)

  33. dm pisze:

    Czy ktoś pomoże z taką granicą: lim x->oo (((sinx)^2)*lnx)/(x^1/3)

  34. Kuba pisze:

     Witam pomoże ktoś z granicą:lim x->PI/2 (tgx)^1/(x-PI/2) ? 

  35. Natalia pisze:

    Czy da się wpisać w kalkulator PI/2? Bo samo PI działa, a przez 2 na żaden sposób nie chce obliczyć nie rozumie

    1. Mi PI/2 działa… A jaka jest cała formuła i do czego ma dążyć x?

  36. Błażej pisze:

    Mam problem z jedną granicą, wyszło mi  0 a robiłem ten przykład metodą mnożenia przez sprzężenie, natomiast na kalkulatorze pokazuje że dąży do nieskończoności.

    lim x->oo    x \sqrt(3) – \sqrt(3n^2+8)

  37. pisze:

    Bardzo proszę o rozwiązanie granicy funkcji: lim x->1  lnx * cos( π/x-1)

  38. pisze:

    f(x)=xarccos(x/(1-x)) x->1-

    co oznacza ioo w wyniku granicy