Тема: Теорема про похідну оберненої функції. Застосування теореми для виведення декількох формул похідних.
Резюме
На нашій лекції ми зануримося в цю круту теорему про похідну оберненої функції. Ми її доведемо і побачимо, як використовувати її для визначення цілого ряду формул похідних. Без цієї теореми виведення цих формул (як ми робили це безпосередньо з визначень на попередній лекції) було б, м’яко кажучи, складним.
Перш ніж братися за теорему, було б чудово знати, що таке обернена функція, чому оберненою до є функція і чому ми повинні обмежити себе в цьому випадку до інтервалу аргументів, наприклад, …
Виведення формул за допомогою теореми про похідну оберненої функції є досить частим завданням з математичного аналізу на рівні університету, тому ця лекція може стати в нагоді в університетських битвах.
Теорему та доказ я взяв з книги Фіхтенгольца, розширив, скоротив, виправив помилки та переробив у декількох місцях.
Теорема про похідну оберненої функції
Якщо функція має обернену функцію, та в точці має скінченну і відмінну від нуля похідну , то в відповідній точці існує похідна оберненої функції і її значення в точці дорівнює .
Заплуталися в цьому ланцюжку символів? Спочатку це дуже ймовірно, але давайте глибше зануримося в цю теорему за допомогою кількох простих, конкретних прикладів.
Приклад 1
Якщо функція має обернену функцію,
1. Візьмемо функцію в інтервалі
2. Обернена функція до неї існує та дорівнює – я не пояснюю чому та навіщо це обмеження в інтервалі x, вибачте…
та в точці має скінченну та відмінну від нуля похідну ,
3. Візьмемо точку . Похідна функції існує () та в точці її значення відрізняється від нуля ().
тоді у відповідній точці точка
4. Відповідна точці точка є значенням функції у точці , тобто .
Отже, в нашому прикладі:
існує похідна оберненої функції
5. Дійсно, обернена функція є , її похідна дорівнює: (за основними формулами похідних) і в точці вона існує і дорівнює:
і її значення в точці дорівнює .
6. Дійсно, розраховане в пункті 5. дорівнює:
( – я розрахував це в пункті 3.)
Отже, Теорема “працює” 🙂
Приклад 2
Якщо функція має обернену функцію,
1. Візьмемо експоненціальну функцію
2. Обернена до неї функція існує і дорівнює – це було у середній школі, тому не буду знову пояснювати (логарифмічна та експоненціальна функції є оберненими)
та в точці має скінченну та відмінну від нуля похідну ,
3. Візьмемо точку . Похідна функції існує ( – основні формули для похідних) та у точці її значення відрізняється від нуля ().
тоді в відповідній точці точка
4. Відповідна точці точка є значенням функції у точці , а саме .
Отже:
існує похідна оберненої функції
5. Справді, обернена функція є , її похідна дорівнює: (за основними формулами похідних). У точці похідна існує і дорівнює:
і її значення у точці дорівнює .
6. Дійсно, обчислене в пункті 5. дорівнює:
( – я обчислив це в пункті 3.)
Отже, Теорема знову “працює” 🙂
Доведення теореми про похідну оберненої функції
Доведемо цю теорему, посилаючись на геометричне трактування похідної функції в точці. Як пам’ятаємо, значення похідної функції в точці – це тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці.
На графіку це виглядало б так:
Значення похідної в точці ми визначили на попередніх лекціях як тангенс кута
Тепер зауважимо цікаву річ: графік оберненої функції до можна представити на точно такому ж графіку, тільки треба пам’ятати, що читаємо його “навпаки” – тобто, начебто аргументам y призначаємо значення x (таким чином, приростом аргументів оберненої функції є , а приростом відповідних їй значень є ):
Зауважимо, що значення похідної цієї оберненої функції в точці дорівнює:
Отже, можна бачити, що значення похідної з функції та значення похідної її оберненої функції це тангенси кутів у тому самому прямокутному трикутнику.
А такі тангенси кутів у прямокутному трикутнику (як ми пам’ятаємо зі школи) пов’язані залежністю:
Тобто (після поділу з обох сторін на ):
І з цього випливає висновок нашої теореми, а саме:
🙂
КІНЕЦЬ ДОВЕДЕННЯ
Виведення формул для похідних за допомогою теореми про похідну оберненої функції
Приклад 3
Виведіть формулу для похідної функції .
Формула, яку ми маємо вивести, це: .
Наша функція f(x) – це функція arccosx. Обернена до неї функція – це функція . Похідна з оберненої функції – це .
Згідно з теоремою про похідну оберненої функції, значення похідної з оберненої функції в точці дорівнює зворотності значення похідної з функції в точці :
Таким чином, у будь-якій точці :
Після перетворення:
Використовуючи тригонометричну одиницю, можемо вивести, що: , отже, маємо:
Тепер увага: це значення функції у точці , тобто . Отже:
– оскільки косинус і арккосинус – це обернені функції, отже, маємо:
у будь-якій точці (звичайно, виконуючи умови з областю визначення, яке я знехтував), отже, наша формула була таким чином доведена.
Приклад 4
Виведіть формулу для похідної функції .
Формула, яку ми маємо вивести, це: .
Наша функція f(x) – це функція arctgx. Обернена до неї функція – це функція . Похідна з оберненої функції – це .
Згідно з теоремою про похідну оберненої функції, значення похідної з оберненої функції в точці дорівнює зворотності значення похідної з функції в точці :
Таким чином, у будь-якій точці :
Після перетворення:
Використовуючи тригонометричну одиницю, можемо перетворити це далі:
Тепер увага: це значення функції в точці , а саме . Отже: – оскільки тангенс і арктангенс є оберненими функціями, отже, маємо:
у будь-якій точці (звичайно, виконуючи умови з областю визначення, яке я знехтував), отже, наша формула була таким чином доведена.
КІНЕЦЬ
Пишучи цей пост, я використовував…
1. “Рахунок диференціальний і інтегральний. Том І.” G.M. Фіхтенгольц. Вид. 1966.
Ми використовуємо файли cookie для адаптації її вмісту, якщо ви повернетеся; використання аналітичних інструментів (Google Analytics, Crazyegg); маркетингових інструментів (Google Ads, Facebook Ads); математичних віджетів (Wolfram|Alpha) та вбудовування вмісту з зовнішніх сайтів (YouTube, Vimeo). Cookies функціонують протягом до 24 місяців, якщо ви не видалите їх раніше. Доступ до cookies мають треті сторони, вказані в дужках. Натискаючи "Прийняти всі", ви виражаєте згоду на використання ВСІХ cookies. Ви також можете налаштувати свої згоди, модифікуючи Налаштування. Читати більше
Ми використовуємо файли cookie, щоб покращити функціонування сайту eTrapez. Ми поділили ці файли cookie на категорії. Деякі з них ми вважаємо "необхідними". Ми зберігаємо їх у вашому браузері, оскільки вони забезпечують основні функціональні можливості сайту. Інші файли cookie ми вважаємо менш важливими і зберігаємо їх у вашому браузері лише за вашою згодою. У вас є можливість заблокувати ці файли cookie. Крім того, окрім наших власних, внутрішніх файлів cookie, ми також використовуємо зовнішні файли cookie від таких компаній, як Facebook, Google, Vimeo. Перегляньте Політику Приватності & Cookies на сайті eTrapez
Необхідні файли cookie потрібні для основного функціонування сайту. Вони забезпечують найважливіші функціональні можливості, безпеку та відповідність законодавчим вимогам.
Всі інші файли cookie, які не є необхідними для функціонування сайту, особливо ті, що збирають особисті дані для аналітичних, рекламних та інших цілей. Вимагають згоди користувача веб-сайту.
Статистичні файли cookie використовуються для дослідження поведінки користувачів на веб-сайті. Вони допомагають надавати інформацію про такі показники, як кількість візитів на сайт, коефіцієнт відмов, джерела візитів тощо.
Рекламні файли cookie використовуються для маркетингових цілей. Вони відстежують візити користувачів на вебсайти та збирають інформацію про їхні поведінки, аби досягти їх із відповідними рекламами.
Файли cookie продуктивності використовуються для розуміння та аналізу ключових показників продуктивності сайту, таких як швидкість завантаження контенту, кількість переглядів відео тощо. За їх допомогою ми можемо покращувати сайт, роблячи його більш зручним для користувачів.
Функціональні файли cookie допомагають виконувати певні функції, такі як поширення контенту сайту на платформах соціальних медіа, збір відгуків та інші функції третіх сторін.