Формули для похідних
Тема: Теорема про похідну оберненої функції. Застосування теореми для виведення декількох формул похідних.
Резюме
На нашій лекції ми зануримося в цю круту теорему про похідну оберненої функції. Ми її доведемо і побачимо, як використовувати її для визначення цілого ряду формул похідних. Без цієї теореми виведення цих формул (як ми робили це безпосередньо з визначень на попередній лекції) було б, м’яко кажучи, складним.
Перш ніж братися за теорему, було б чудово знати, що таке обернена функція, чому оберненою до є функція
і чому ми повинні обмежити себе в цьому випадку до інтервалу аргументів, наприклад,
…
Виведення формул за допомогою теореми про похідну оберненої функції є досить частим завданням з математичного аналізу на рівні університету, тому ця лекція може стати в нагоді в університетських битвах.
Теорему та доказ я взяв з книги Фіхтенгольца, розширив, скоротив, виправив помилки та переробив у декількох місцях.
Теорема про похідну оберненої функції
Якщо функція має обернену функцію
, та в точці
має скінченну і відмінну від нуля похідну
, то в відповідній точці
існує похідна оберненої функції
і її значення в точці
дорівнює
.
Заплуталися в цьому ланцюжку символів? Спочатку це дуже ймовірно, але давайте глибше зануримося в цю теорему за допомогою кількох простих, конкретних прикладів.
Приклад 1
Якщо функція
має обернену функцію
,
1. Візьмемо функцію в інтервалі
2. Обернена функція до неї існує та дорівнює – я не пояснюю чому та навіщо це обмеження в інтервалі x, вибачте…
та в точці
має скінченну та відмінну від нуля похідну
,
3. Візьмемо точку . Похідна функції
існує (
) та в точці
її значення відрізняється від нуля (
).
тоді у відповідній точці
точка
4. Відповідна точці точка
є значенням функції
у точці
, тобто
.
Отже, в нашому прикладі:
існує похідна оберненої функції
5. Дійсно, обернена функція є , її похідна дорівнює:
(за основними формулами похідних) і в точці
вона існує і дорівнює:
і її значення в точці
дорівнює
.
6. Дійсно, розраховане в пункті 5. дорівнює:
(
– я розрахував це в пункті 3.)
Отже, Теорема “працює” 🙂
Приклад 2
Якщо функція
має обернену функцію
,
1. Візьмемо експоненціальну функцію
2. Обернена до неї функція існує і дорівнює – це було у середній школі, тому не буду знову пояснювати (логарифмічна та експоненціальна функції є оберненими)
та в точці
має скінченну та відмінну від нуля похідну
,
3. Візьмемо точку . Похідна функції
існує (
– основні формули для похідних) та у точці
її значення відрізняється від нуля (
).
тоді в відповідній точці
точка
4. Відповідна точці точка
є значенням функції
у точці
, а саме
.
Отже:
існує похідна оберненої функції
5. Справді, обернена функція є , її похідна дорівнює:
(за основними формулами похідних). У точці
похідна існує і дорівнює:
і її значення у точці
дорівнює
.
6. Дійсно, обчислене в пункті 5. дорівнює:
(
– я обчислив це в пункті 3.)
Отже, Теорема знову “працює” 🙂
Доведення теореми про похідну оберненої функції
Доведемо цю теорему, посилаючись на геометричне трактування похідної функції в точці. Як пам’ятаємо, значення похідної функції в точці – це тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці.
На графіку це виглядало б так:
Значення похідної в точці
ми визначили на попередніх лекціях як тангенс кута
Тепер зауважимо цікаву річ: графік оберненої функції до можна представити на точно такому ж графіку, тільки треба пам’ятати, що читаємо його “навпаки” – тобто, начебто аргументам y призначаємо значення x (таким чином, приростом аргументів оберненої функції є
, а приростом відповідних їй значень є
):
Зауважимо, що значення похідної цієї оберненої функції в точці
дорівнює:
Отже, можна бачити, що значення похідної з функції та значення похідної її оберненої функції це тангенси кутів у тому самому прямокутному трикутнику.
А такі тангенси кутів у прямокутному трикутнику (як ми пам’ятаємо зі школи) пов’язані залежністю:
Тобто (після поділу з обох сторін на ):
І з цього випливає висновок нашої теореми, а саме:
🙂
КІНЕЦЬ ДОВЕДЕННЯ
Виведення формул для похідних за допомогою теореми про похідну оберненої функції
Приклад 3
Виведіть формулу для похідної функції .
Формула, яку ми маємо вивести, це: .
Наша функція f(x) – це функція arccosx. Обернена до неї функція – це функція . Похідна з оберненої функції – це
.
Згідно з теоремою про похідну оберненої функції, значення похідної з оберненої функції в точці дорівнює зворотності значення похідної з функції в точці
:
Таким чином, у будь-якій точці :
Після перетворення:
Використовуючи тригонометричну одиницю, можемо вивести, що: , отже, маємо:
Тепер увага: це значення функції
у точці
, тобто
. Отже:
– оскільки косинус і арккосинус – це обернені функції, отже, маємо:
у будь-якій точці
(звичайно, виконуючи умови з областю визначення, яке я знехтував), отже, наша формула
була таким чином доведена.
Приклад 4
Виведіть формулу для похідної функції .
Формула, яку ми маємо вивести, це: .
Наша функція f(x) – це функція arctgx. Обернена до неї функція – це функція . Похідна з оберненої функції – це
.
Згідно з теоремою про похідну оберненої функції, значення похідної з оберненої функції в точці дорівнює зворотності значення похідної з функції в точці
:
Таким чином, у будь-якій точці :
Після перетворення:
Використовуючи тригонометричну одиницю, можемо перетворити це далі:
Тепер увага: це значення функції
в точці
, а саме
. Отже:
– оскільки тангенс і арктангенс є оберненими функціями, отже, маємо:
у будь-якій точці
(звичайно, виконуючи умови з областю визначення, яке я знехтував), отже, наша формула
була таким чином доведена.
КІНЕЦЬ
Пишучи цей пост, я використовував…
1. “Рахунок диференціальний і інтегральний. Том І.” G.M. Фіхтенгольц. Вид. 1966.
Натисніть тут, щоб згадати, як виводити формули для похідних з визначення (попередня Лекція) <–
Натисніть тут, щоб побачити, як можна довести властивості похідних (наступна Лекція) –>
Натисніть тут, щоб повернутися на головну сторінку з лекціями про похідні