Zobacz Sam, Czym Jest Pochodna na Interaktywnym Wykresie

---

W tym poście zbadam różniczkowalność funkcji:

$f\left( x \right)=x\cdot \left| x \right|$

Po przerobieniu wraz ze mną tego pouczającego przykładu dowiesz się:

• jak podejść w ogóle do wartości bezwzględnej w różnych przykładach (niekoniecznie tylko z pochodnych);
• jak się bada, czy pochodna istnieje.

A dla nielubiących czytać nagrałem video:

Na początek przypomnij sobie podstawy:

Co to w ogóle jest różniczkowalność?

• funkcja jest “różniczkowalna” w jakimś punkcie, kiedy ma pochodną w tym punkcie
• funkcja ma pochodną w tym punkcie, jeżeli jej pochodne prawo- i lewostronna są równe w tym punkcie
• funkcja jest “różniczkowalna” w jakimś przedziale, kiedy jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału
• “zbadać różniczkowalność” – to znaczy określić, gdzie funkcja jest różniczkowalna (w jakich punktach/przedziałach), a gdzie nie jest

Więcej podbudowy teoretycznej znajdziesz w moich “Wykładach”:

Pochodne jednostronne funkcji

Badanie istnienia pochodnej funkcji

W skrócie: w zadaniu chodzi o to, żeby sprawdzić, w jakich punktach funkcja $f\left( x \right)=x\cdot \left| x \right|$ ma pochodną.

O co chodzi z tą wartością bezwzględną?

Na ten temat możesz poczytać sobie więcej tutaj:

Jak poradzić sobie z wartościami bezwzględnymi?

W skrócie: wartość bezwzględna “rozbija” na ogół wzór funkcji na dwa przypadki.

Do roboty, krok po kroku

1. Radzę sobie z wartością bezwzględną

Mamy funkcję: $f\left( x \right)=x\cdot \left| x \right|$.

Ponieważ w zadaniu jest wartość bezwzględna, musisz rozbić je na przypadki, zgodnie z ogólnym schematem wartości bezwzględnej:

Określasz, jak wyglądać będzie funkcja w zależności od przedziałów $x$.

Brzmi to strasznie zawile, ale w przypadku naszej prościutkiej funkcji (wartość bezwzględna jest liczona po prostu z $x$), będziesz miał:

$f\left( x \right)=x\left| x \right|=x\cdot x={{x}^{2}}$, ale tylko dla $x\ge 0$.

$f\left( x \right)=x\left| x \right|=x\cdot \left( -x \right)=-{{x}^{2}}$, ale tylko dla $x<0$

UWAGA: Rozbijanie funkcji na przypadki w sytuacji, gdy w jej wzorze jest wartość bezwzględna, opisałem na kilku przykładach w innym artykule, jeśli zgubiłeś się w tym momencie, to zapraszam:

Jak poradzić sobie z wartościami bezwzględnymi w całkach (i nie tylko)

Możesz to podsumować ładnym wzorem:

$f\left( x \right)=x\left| x \right|=\left\{ \begin{matrix}& {{x}^{2}}\quad \ dla\ x\ge 0 \\& -{{x}^{2}}\ \ \,dla\ x<0 \end{matrix} \right.$

2. Określam różniczkowalność funkcji

Mam funkcję:

$f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}& {{x}^{2}}\quad \ dla\ x\ge 0 \\& -{{x}^{2}}\ \ \,dla\ x<0 \end{matrix} \right.$

Czas na przejście do badania jej różniczkowalności. “Zbadać różniczkowalność” to znaczy: sprawdzić, gdzie funkcja posiada pochodną (dla jakich $x$), a gdzie nie.

Sam rzut oka na wzór funkcji podpowiada nam, gdzie ewentualnie moglibyśmy mieć jakieś wątpliwości.

We wszystkich punktach $x$, z wyjątkiem $0$, mamy do czynienia z ładnymi wyrażeniami $x^2$, albo $-x^2$

Oczywiście pochodne w tych punktach istnieją i są równe odpowiednio $2x$, albo $-2x$, zgodnie z elementarnymi wzorami na pochodne.

Jedyny problem, to kwestia, czy pochodna istnieje w punkcie $x=0$.

Trzeba zauważyć, że funkcja “na lewo” od tego punktu (bardziej fachowo: w dowolnym lewostronnym otoczeniu tego punktu) ma inny wzór ($-x^2$), niż “na prawo” od tego punktu ($x^2$).

Pochodna funkcji w punkcie ${{x}_{0}}$, jak wiadomo, to nic innego, jak pewna granica:

$\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}$

…a granica w punkcie istnieje wtedy, kiedy granice lewo- i prawostronna funkcji w tym punkcie są sobie równe.

W tym jednym, jedynym punkcie funkcji zachodzi ryzyko, że granice lewo- i prawostronna funkcji nie będą równe – bo przy ich obliczaniu użyjemy zupełnie innych wzorów na funkcję.

W tym jednym, jedynym punkcie pochodną funkcji nie obliczymy ze znanego wzoru na pochodną z $x^2$, trzeba będzie wysilić się i zrobić to z definicji.

Po podstawieniu punktu ${{x}_{0}}=0$ do definicji otrzymasz:

${f}'\left( 0 \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 0+\Delta x \right)-f\left( \Delta x \right)}{\Delta x}$

Niestety na tym etapie nie można powiedzieć, czy $f\left( x \right)={{x}^{2}}$, czy $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}$, bo nie wiemy, czy tej funkcji argumentem jest liczba ujemna, czy nieujemna. $\Delta x$ może przecież dążyć do zera i być dodatnie, albo może dążyć do zera i być ujemne.

Musisz rozpatrzyć oba przypadki i policzyć granice jednostronne.

Lewostronną, czyli przy $\Delta x$ dążącym do zera, ale ujemnym. Korzystasz ze wzoru $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}$.

$\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 0+\Delta x \right)-f\left( 0 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{\left( 0+\Delta x \right)}^{2}}-{{ 0}^{2}} }{\Delta x}=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{\left( \Delta x \right)}^{2}}}{\Delta x}=$ $=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -\Delta x \right)=0$

Prawostronną, czyli przy $\Delta x$ dążącym do zera, ale dodatnim. Korzystasz ze wzoru $f\left( x \right)={{x}^{2}}$.

$\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 0+\Delta x \right)-f\left( 0 \right)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 0+\Delta x \right)}^{2}}-{{0}^{2}}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \Delta x \right)}^{2}}}{\Delta x}=$ $=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \Delta x \right)=0$

Wniosek

Pochodne lewo- i prawostronne w punkcie $x=0$ wyszły równe. Zatem pochodna w tym punkcie istnieje. Zatem funkcja jest różniczkowalna w tym punkcie. Skoro jest różniczkowalna także w każdym innym punkcie…

Odpowiedź

Funkcja jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie. W skrócie: funkcja jest różniczkowalna.

Sprawdź to sam na wykresie funkcji

Na koniec zapraszam Cię do samodzielnego sprawdzenia wyniku (przed zabawą z wykresem musisz zainstalować darmowy program Wolfram CDF Player ).

Samodzielnie możesz ustalać współrzędną $x_0$ (w granicach od -2 do 2). Pochodna w tym punkcie, to z definicji tangens kąta pomiędzy styczną tej funkcji w tym punkcie, a osią OX.

Zwróć uwagę, że zbliżając się do $0$ zarówno z lewej, jak i prawej strony, tangensy tego kąta dążą do tej same liczby (do $0$). Oznacza to, że funkcja ma w tym punkcie pochodną, czyli jest w nim różniczkowalna.