blog

Jak poradzić sobie z wartościami bezwzględnymi w całkach (i nie tylko)

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


LiczydłoCo robić z wartościami bezwzględnymi w całkach? Co robić z wartościami bezwzględnymi w ogóle?

Odpowiedź jest dosyć prosta i wynikająca z ogólnej definicji wartości bezwzględnej.

No dobra,  no to co to jest ta wartość bezwzględna?

Oczywiście, żeby coś włożyć, trzeba najpierw wyjąć.

Wyrzuć więc z głowy wszystkie podstawówkowe “regułki” i skojarzenia typu: “wartość bezwzględna to jest takie coś, że się pisze coś zawsze z plusem i się nie pisze minusa”.

Nie.

Poprawnie rzecz biorąc, wartość bezwzględna to funkcja, która może przyjmować różne wartości (także, co jest dla niektórych szokujące, wartości “z minusem”), w zależności od argumentu, według “przepisu”:

\left| x \right|=\left\{ \begin{matrix}& x\quad dla\ x\ge 0 \\& -x\ \,dla\ x<0 \end{matrix} \right.

Czyli:

  1. Jeżeli wartość bezwzględna jest liczona z czegoś (bardziej fachowo: z argumentu) nieujemnego, jest równa temu czemuś (argumentowi).
  2. Jeżeli wartość bezwzględna jest liczona z czegoś ujemnego, jest równa temu czemuś ze znakiem minus.

Przykłady

\left| 5 \right|=5, bo 5 jest nieujemne.

\left| -1 \right|=-\left( -1 \right), bo -1 jest ujemne.

 

A co jeśli wartość bezwzględna jest liczona z  \left| x+1 \right|?

Wartość bezwzględna liczona ze zmiennych

Czy możesz, sobie “przyjąć”, że x+1 jest “dodatnie” (bo ma plus z przodu), czyli, że  \left| x+1 \right|=x+1?

No oczywiście, że nie.

Wyrażenie x+1 jest raz dodatnie (jeśli za x podstawimy np. 20 i będziemy mieli  x+1=20+1=21), a dla innych wartości x ujemne (jeśli za x podstawimy np. -2 i będziemy mieli  -2+1=-2+1=-1).

Wychodzi więc, że wartość bezwzględna z  x+1 dla jednych argumentów x przyjmuje wartość x+1, a dla innych przyjmuje wartość -(x+1).

Czyli:

  • Jeżeli  x+1\ge 0, to  \left| x+1 \right|=x+1.
  • Jeżeli  x+1<0, to  \left| x+1 \right|=-\left( x+1 \right)

Określenie natomiast, gdzie  x+1\ge 0, a gdzie  x+1<0 nie stanowi – od czasów podstawówki – problemu:

x+1\ge 0 x\ge -1

oraz:

x+1<0 x<-1

Czyli:

  • Jeżeli x\ge -1, to  \left| x+1 \right|=x+1.
  • Jeżeli x<-1, to  \left| x+1 \right|=-\left( x+1 \right)

Co można podsumować zgrabnym wzorem:

\left| x+1 \right|=\left\{ \begin{matrix}& x+1\quad dla\ x\ge -1 \\& -\left( x+1 \right)\ \,dla\ x<1 \end{matrix} \right.

Jeżeli teraz ta wartość bezwzględna  \left| x+1 \right| była nam do czegoś potrzebna (np. była wyrażeniem podcałkowym w całce), należy rozbić dalsze zadanie na przypadki. Pierwszy przypadek to ten, w którym zakładasz, że  x\ge -1 i odpowiednio “opuszczamy” wartość bezwzględną. Drugi przypadek to ten, w którym zakładasz, że  x<-1 i również odpowiednio “opuszczamy” wartość bezwzględną.

Na końcu ładnie spinasz oba przypadki – ale nie na siłę, tylko wtedy, gdy jest to możliwe.

Podsumowanie – ogólny schemat

Ogólny schemat wyglądał by więc tak:

  1. Określasz, w jakich przedziałach wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartości nieujemne, a w jakich ujemne.
  2. Rozbijasz zadanie na przypadki i odpowiednio pomijasz wartość bezwzględną (ze znakiem + lub -).
  3. Piszesz odpowiedź.

Uwaga

Krok 1 nie musi być wcale taki prosty, jak powyżej, niestety…

Przykład 1

Masz do policzenia całkę:  \int{\left| x-2 \right|dx}.

Krok 1

Określasz, gdzie  x-2\ge 0, a gdzie  x-2<0.

\begin{matrix}& x-2\ge 0 \\& x\ge 2 \end{matrix}

No i:

\begin{matrix}& x-2<0 \\& x<2 \end{matrix}

Krok 2

Twoje przypadki, na które musisz rozbić zadanie to:

Przypadek 1

Zakładam, że  x\ge 2, czyli, że:  x\in <2,\infty ). Przy tym założeniu:

\int{\left| x-2 \right|dx}=\int{\left( x-2 \right)dx}=\int{xdx}-\int{2dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+C (jak liczy się całki możesz nauczyć się z mojego Kursu Video o całkach nieoznaczonych)

Przypadek 2

Zakładam, że  x< 2, czyli, że: x\in <-\infty ,2). Przy tym założeniu:

\int{\left| x-2 \right|dx}=\int{-\left( x-2 \right)dx}=-\int{xdx}+\int{2dx}=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+C

Krok 3

Odpowiedzi w obu przypadkach możesz zgrabnie “spiąć” wzorem:

\int{\left| x-2 \right|dx=\left\{ \begin{matrix}& \frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+C\quad dla\ x\in <2,\infty ) \\& -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+C\quad dla\ x\in <-\infty ,2) \end{matrix} \right.}

Albo jeszcze bardziej zaszpanować i użyć funkcji "sgn":

\int{\left| x-2 \right|dx}=sgn \left( x-2 \right)\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x \right)+C

…która zwraca wartość +1, lub -1, w zależności od znaku argumentu.

Przykład 2

Policz całkę:  \int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}.

Krok 1

Określasz, gdzie  x-1\ge 0, a gdzie  x-1<0.

x-1\ge 0 x\ge 1

oraz:

x-1<0 x<1

Krok 2

Jak już na pewno rozumiesz, wartość bezwzględną musisz “opuścić” ze znakiem + tam, gdzie  x\ge 1 i ze znakiem – tam, gdzie  x<1.

Całka oznaczona jednak ma swoją specyfikę, różni się od nieoznaczonej. Liczysz ją w konkretnym przedziale x-sów. W tym przykładzie:

\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}

Całkę oznaczoną liczysz dla  x\in \left\langle 0,2 \right\rangle . Powstaje problem, jak właściwie masz “opuścić” znak wartości bezwzględnej, bo dla pewnych x-sów z tego przedziału musisz to zrobić tak, a dla innych inaczej. Rozwiązaniem jest rozbicie całki oznaczonej na dwie całki:

\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|dx}

Teraz wiadomo, że pierwszą z tych całek liczę TYLKO dla  x\in \left\langle 0,1 \right\rangle , a dla takich x-sów, jak wiem z Kroku 1, argumenty wartości bezwzględnej są ujemne, mogę więc “opuścić” ją ze znakiem -.

Wiadomo też, że drugą z tych całek liczę TYLKO dla  x\in \left\langle 1,2 \right\rangle , a dla tych x-sów, zgodnie z obliczeniami z Kroku 1, argumenty wartości bezwzględnej są dodatnie, “opuszczam” więc ją ze znakiem +.

Mam więc:

\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ -\left( x-1 \right) \right]dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)dx}

Obie te całki to proste, zwykłe, całki oznaczone, licząc je tak, jak się powinno, otrzymam:

\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ -\left( x-1 \right) \right]dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)dx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

Krok 3

Odpowiedź to właśnie ta policzona całka wyżej 🙂

Przykład 3

Do policzenia jest całka:  \int\limits_{-2}^{-1}{\left| -{{x}^{2}}+3x-2 \right|dx}

Krok 1

Określasz, gdzie  -{{x}^{2}}+3x-2\ge 0, a gdzie  -{{x}^{2}}+3x-2<0. Tym razem nie będzie tak z górki, bo są to nierówności kwadratowe. Czyli już szkoła średnia, delty, te sprawy.

-{{x}^{2}}+3x-2\ge 0 \Delta ={{3}^{2}}-4\cdot \left( -1 \right)\cdot \left( -2 \right)=1 {{x}_{1}}=\frac{-3-\sqrt{1}}{2\cdot \left( -1 \right)}=\frac{-4}{-2}=2 {{x}_{2}}=\frac{-3+\sqrt{1}}{2\cdot \left( -1 \right)}=\frac{-2}{-2}=1

Szkicuję przybliżony wykres funkcji kwadratowej (zgodnie zasadami ze szkoły średniej):

Funkcja kwadratowa z przykładu 3 - przybliżony wykres

Z wykresu odczytuję, że  -{{x}^{2}}+3x-2\ge 0 dla  x\in \left\langle 1,2 \right\rangle , a  -{{x}^{2}}+3x-2<0 dla  x\in \left( -\infty ,1 \right)\cup ( 2,\infty ).

Krok 2

Całka, którą masz policzyć jest liczona dla x-sów od -2 do -1. Zgodnie z Krokiem 1 w tym przedziale pod wartością bezwzględną są tylko argumenty ujemne. Nie ma więc potrzeby rozbijania całki na dwie, albo liczenia jakiś przypadków. Po prostu akurat tutaj:

\int\limits_{-2}^{-1}{\left| -{{x}^{2}}+3x-2 \right|dx}=\int\limits_{-2}^{-1}{\left[ -\left( -{{x}^{2}}+3x-2 \right) \right]dx}=8\tfrac{5}{6}

 

Krok 3

Już jest 🙂

Przykład 3

Policzyć całkę:  \int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{e}{\left| \ln x \right|dx}.

Krok 1

Sprawdzamy, gdzie  \ln x\ge 0, a gdzie  \ln x<0.

Nierówność  \ln x\ge 0 można “rozwiązać”, szkicując po prostu wykres funkcji \ln x, albo “mykiem” jak w nierównościach logarytmicznych:

\ln x\ge 0  /{{e}^{( )}}

{{e}^{\ln x}}\ge {{e}^{0}} x\ge 1

Analogicznie też,  \ln x<0 dla  x<1, a pamiętając o dziedzinie logarytmu (może być liczony tylko z liczb dodatnich), dla  x\in \left( 0,1 \right).

Wiem zatem, że  \ln x\ge 0 dla  x\in <1,\infty >, a  \ln x<0 dla  x\in \left( 0,1 \right).

Krok 2

Moja całka to:  \int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{e}{\left| \ln x \right|dx} i jest liczona w przedziale od  \frac{1}{2} do e. W tym przedziale wyrażenie pod wartością bezwględną \ln x jest raz dodatnie, a raz ujemne. Muszę więc rozbić całkę na dwie:

\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{e}{\left| \ln x \right|dx}=\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{1}{-\ln x}dx+\int\limits_{1}^{e}{\ln x}dx

Licząc odpowiednio i osobno obie całki, otrzymuję wynik:

\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{e}{\left| \ln x \right|dx}=\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{1}{-\ln x}dx+\int\limits_{1}^{e}{\ln x}dx=\frac{3}{2}-\frac{\ln 2}{2}
Wykres funkcji |lnx|

Wykres funkcji |lnx|. Pole pod nią to liczona całka.

Krok 3

Zrobione 🙂

Zakończenie

To by było chyba na tyle, mam nadzieję, że po przeczytaniu tego posta złapałeś ogólny kierunek, w którym trzeba dążyć mając wartości bezwzględne w całkach, czy innych zadaniach. Najpierw analiza tego, jaki znak przyjmuje argument wartości bezwzględnej, a później umiejętne jej “opuszczenie”, co wiąże się najczęściej z rozbiciem zadania na przypadki.

Dzięki.

Jak zawsze – jeśli masz jakieś pytania, lub przykłady z wartościami bezwzględnymi, wrzucaj je śmiało w komentarzach pod tym postem.

A przy okazji – internetowy kalkulator Wolfram|Alpha radzi sobie świetnie także z całkami z wartościami bezwzględnymi, w sekundę podając gotowy wynik. Wpisywanie do niego całek jest również bardzo proste. Jeśli chcesz, zobacz jak z niego skorzystać w moim darmowym Poradniku do WolframAlpha.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Adam pisze:

    Czy stałe całkowania w poszczególnych przedziałach mogą się różnić? Czy np. w dla |x| funkcja pierwotna może mieć postać F \left parenthesis x \right parenthesis space equals space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x squared over 2 plus 1 space d l a space greater or equal than 0 end cell row cell negative x squared over 2 plus 3 space d l a space x less than 0 end cell end table close?

  2. Adam pisze:

    Czy stałe całkowania w poszczególnych przedziałach mogą się różnić? Czy np. w dla |x| funkcja pierwotna może mieć postać F \left parenthesis x \right parenthesis space equals space open curly brackets table attributes columnalign \left end attributes row cell x squared over 2 plus 1 end cell row cell negative x squared over 2 plus 3 end cell end table close?

  3. Asia pisze:

    Witam,
    Mam pytanie odnośnie przypadku f(x) = ln|x| gdy moduł znajduje się w środku logarytmu naturalnego. Mam za zadanie obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y=ln|x| y=0 x=-e^2 oraz x=-e i wykres zrobiłam wszystko ładnie, pięknie i mam całkę oznaczoną od -e^2 do -e z ln|x|dx i na prawdę nie mam pojęcia jak to rozbić, na jakie całki, że ln(-x) i lnx? i w jakim przedziale, bo nie mam pomysłu co może być między -e^2 a -e. Byłabym wdzięczna za jakiekolwiek rozjaśnienie mi takiego przypadku jeśli to nie problem 🙂
    Pozdrawiam serdecznie

    1. Asia pisze:

      Już mnie olśniło 🙂 Zamiast pomyśleć dwa razy to zawsze dopatruję się trudności w czymś banalnie prostym (ale chyba zazwyczaj tak jest, że to co najprostsze sprawia największą trudność a nie powinno 🙂 ). Bo ln(x) zawsze jest dodatni więc w całce oznaczonej wstawiając -e czy -e^2 będzie ln(e) i ln(e^2) 🙂 i wszystko ładnie wychodzi tak jak powinno. Także przepraszam i pozdrawiam :).

  4. kanapka94 pisze:

    Jasno, klarownie, pięknie! 🙂

  5. Patrycja pisze:

    skąd wiadomo jak rozbić przedziały całek? w Przykładzie 2 było (0,2) a rozbiliśmy to na (0,1) i (1,2)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Wyznaczyłem to w kroku 1 tego przykładu.