Jak poradzić sobie z wartościami bezwzględnymi w całkach (i nie tylko)

Co robić z wartościami bezwzględnymi w całkach? Co robić z wartościami bezwzględnymi w ogóle?

Odpowiedź jest dosyć prosta i wynikająca z ogólnej definicji wartości bezwzględnej.

No dobra,  no to co to jest ta wartość bezwzględna?

Oczywiście, żeby coś włożyć, trzeba najpierw wyjąć.

Wyrzuć więc z głowy wszystkie podstawówkowe „regułki” i skojarzenia typu: „wartość bezwzględna to jest takie coś, że się pisze coś zawsze z plusem i się nie pisze minusa”.

Nie.

Poprawnie rzecz biorąc, wartość bezwzględna to funkcja, która może przyjmować różne wartości (także, co jest dla niektórych szokujące, wartości „z minusem”), w zależności od argumentu, według „przepisu”:

\left| x \right|=\left\{ \begin{matrix}& x\quad dla\ x\ge 0 \\& -x\ \,dla\ x<0 \end{matrix} \right.

Czyli:

1. Jeżeli wartość bezwzględna jest liczona z czegoś (bardziej fachowo: z argumentu) nieujemnego, jest równa temu czemuś (argumentowi).
2. Jeżeli wartość bezwzględna jest liczona z czegoś ujemnego, jest równa temu czemuś ze znakiem minus.

Przykłady

\left| 5 \right|=5, bo 5 jest nieujemne.

\left| -1 \right|=-\left( -1 \right), bo -1 jest ujemne.

 

A co jeśli wartość bezwzględna jest liczona z  \left| x+1 \right|?

Wartość bezwzględna liczona ze zmiennych

Czy możesz, sobie „przyjąć”, że x+1 jest „dodatnie” (bo ma plus z przodu), czyli, że  \left| x+1 \right|=x+1?

No oczywiście, że nie.

Wyrażenie x+1 jest raz dodatnie (jeśli za x podstawimy np. 20 i będziemy mieli  x+1=20+1=21), a dla innych wartości x ujemne (jeśli za x podstawimy np. -2 i będziemy mieli  -2+1=-2+1=-1).

Wychodzi więc, że wartość bezwzględna z  x+1 dla jednych argumentów x przyjmuje wartość x+1, a dla innych przyjmuje wartość -(x+1).

Czyli:

• Jeżeli  x+1\ge 0, to  \left| x+1 \right|=x+1.
• Jeżeli  x+1<0, to  \left| x+1 \right|=-\left( x+1 \right)

Określenie natomiast, gdzie  x+1\ge 0, a gdzie  x+1<0 nie stanowi – od czasów podstawówki – problemu:

x+1\ge 0 x\ge -1

oraz:

x+1<0 x<-1

Czyli:

• Jeżeli x\ge -1, to  \left| x+1 \right|=x+1.
• Jeżeli x<-1, to  \left| x+1 \right|=-\left( x+1 \right)

Co można podsumować zgrabnym wzorem:

\left| x+1 \right|=\left\{ \begin{matrix}& x+1\quad dla\ x\ge -1 \\& -\left( x+1 \right)\ \,dla\ x<1 \end{matrix} \right.

Jeżeli teraz ta wartość bezwzględna  \left| x+1 \right| była nam do czegoś potrzebna (np. była wyrażeniem podcałkowym w całce), należy rozbić dalsze zadanie na przypadki. Pierwszy przypadek to ten, w którym zakładasz, że  x\ge -1 i odpowiednio „opuszczamy” wartość bezwzględną. Drugi przypadek to ten, w którym zakładasz, że  x<-1 i również odpowiednio „opuszczamy” wartość bezwzględną.

Na końcu ładnie spinasz oba przypadki – ale nie na siłę, tylko wtedy, gdy jest to możliwe.

Podsumowanie – ogólny schemat

Ogólny schemat wyglądał by więc tak:

1. Określasz, w jakich przedziałach wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartości nieujemne, a w jakich ujemne.
2. Rozbijasz zadanie na przypadki i odpowiednio pomijasz wartość bezwzględną (ze znakiem + lub -).
3. Piszesz odpowiedź.

Uwaga

Krok 1 nie musi być wcale taki prosty, jak powyżej, niestety…

Przykład 1

Masz do policzenia całkę:  \int{\left| x-2 \right|dx}.

Krok 1

Określasz, gdzie  x-2\ge 0, a gdzie  x-2<0.

\begin{matrix}& x-2\ge 0 \\& x\ge 2 \end{matrix}

No i:

\begin{matrix}& x-2<0 \\& x<2 \end{matrix}

Krok 2

Twoje przypadki, na które musisz rozbić zadanie to:

Przypadek 1

Zakładam, że  x\ge 2, czyli, że:  x\in <2,\infty ). Przy tym założeniu:

\int{\left| x-2 \right|dx}=\int{\left( x-2 \right)dx}=\int{xdx}-\int{2dx}=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+C (jak liczy się całki możesz nauczyć się z mojego Kursu Video o całkach nieoznaczonych)

Przypadek 2

Zakładam, że  x< 2, czyli, że: x\in <-\infty ,2). Przy tym założeniu:

\int{\left| x-2 \right|dx}=\int{-\left( x-2 \right)dx}=-\int{xdx}+\int{2dx}=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+C

Krok 3

Odpowiedzi w obu przypadkach możesz zgrabnie „spiąć” wzorem:

\int{\left| x-2 \right|dx=\left\{ \begin{matrix}& \frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x+C\quad dla\ x\in <2,\infty ) \\& -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+C\quad dla\ x\in <-\infty ,2) \end{matrix} \right.}

Albo jeszcze bardziej zaszpanować i użyć funkcji "sgn":

\int{\left| x-2 \right|dx}=sgn \left( x-2 \right)\left( \frac{1}{2}{{x}^{2}}-2x \right)+C

…która zwraca wartość +1, lub -1, w zależności od znaku argumentu.

Przykład 2

Policz całkę:  \int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}.

Krok 1

Określasz, gdzie  x-1\ge 0, a gdzie  x-1<0.

x-1\ge 0 x\ge 1

oraz:

x-1<0 x<1

Krok 2

Jak już na pewno rozumiesz, wartość bezwzględną musisz „opuścić” ze znakiem + tam, gdzie  x\ge 1 i ze znakiem – tam, gdzie  x<1.

Całka oznaczona jednak ma swoją specyfikę, różni się od nieoznaczonej. Liczysz ją w konkretnym przedziale x-sów. W tym przykładzie:

\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}

Całkę oznaczoną liczysz dla  x\in \left\langle 0,2 \right\rangle . Powstaje problem, jak właściwie masz „opuścić” znak wartości bezwzględnej, bo dla pewnych x-sów z tego przedziału musisz to zrobić tak, a dla innych inaczej. Rozwiązaniem jest rozbicie całki oznaczonej na dwie całki:

\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|dx}

Teraz wiadomo, że pierwszą z tych całek liczę TYLKO dla  x\in \left\langle 0,1 \right\rangle , a dla takich x-sów, jak wiem z Kroku 1, argumenty wartości bezwzględnej są ujemne, mogę więc „opuścić” ją ze znakiem -.

Wiadomo też, że drugą z tych całek liczę TYLKO dla  x\in \left\langle 1,2 \right\rangle , a dla tych x-sów, zgodnie z obliczeniami z Kroku 1, argumenty wartości bezwzględnej są dodatnie, „opuszczam” więc ją ze znakiem +.

Mam więc:

\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ -\left( x-1 \right) \right]dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)dx}

Obie te całki to proste, zwykłe, całki oznaczone, licząc je tak, jak się powinno, otrzymam:

\int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left| x-1 \right|dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left| x-1 \right|dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left[ -\left( x-1 \right) \right]dx}+\int\limits_{1}^{2}{\left( x-1 \right)dx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

Krok 3

Odpowiedź to właśnie ta policzona całka wyżej 🙂

Przykład 3

Do policzenia jest całka:  \int\limits_{-2}^{-1}{\left| -{{x}^{2}}+3x-2 \right|dx}

Krok 1

Określasz, gdzie  -{{x}^{2}}+3x-2\ge 0, a gdzie  -{{x}^{2}}+3x-2<0. Tym razem nie będzie tak z górki, bo są to nierówności kwadratowe. Czyli już szkoła średnia, delty, te sprawy.

-{{x}^{2}}+3x-2\ge 0 \Delta ={{3}^{2}}-4\cdot \left( -1 \right)\cdot \left( -2 \right)=1 {{x}_{1}}=\frac{-3-\sqrt{1}}{2\cdot \left( -1 \right)}=\frac{-4}{-2}=2 {{x}_{2}}=\frac{-3+\sqrt{1}}{2\cdot \left( -1 \right)}=\frac{-2}{-2}=1

Szkicuję przybliżony wykres funkcji kwadratowej (zgodnie zasadami ze szkoły średniej):

Z wykresu odczytuję, że  -{{x}^{2}}+3x-2\ge 0 dla  x\in \left\langle 1,2 \right\rangle , a  -{{x}^{2}}+3x-2<0 dla  x\in \left( -\infty ,1 \right)\cup ( 2,\infty ).

Krok 2

Całka, którą masz policzyć jest liczona dla x-sów od -2 do -1. Zgodnie z Krokiem 1 w tym przedziale pod wartością bezwzględną są tylko argumenty ujemne. Nie ma więc potrzeby rozbijania całki na dwie, albo liczenia jakiś przypadków. Po prostu akurat tutaj:

\int\limits_{-2}^{-1}{\left| -{{x}^{2}}+3x-2 \right|dx}=\int\limits_{-2}^{-1}{\left[ -\left( -{{x}^{2}}+3x-2 \right) \right]dx}=8\tfrac{5}{6}

 

Krok 3

Już jest 🙂

Przykład 3

Policzyć całkę:  \int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{e}{\left| \ln x \right|dx}.

Krok 1

Sprawdzamy, gdzie  \ln x\ge 0, a gdzie  \ln x<0.

Nierówność  \ln x\ge 0 można „rozwiązać”, szkicując po prostu wykres funkcji \ln x, albo „mykiem” jak w nierównościach logarytmicznych:

\ln x\ge 0  /{{e}^{( )}}

{{e}^{\ln x}}\ge {{e}^{0}} x\ge 1

Analogicznie też,  \ln x<0 dla  x<1, a pamiętając o dziedzinie logarytmu (może być liczony tylko z liczb dodatnich), dla  x\in \left( 0,1 \right).

Wiem zatem, że  \ln x\ge 0 dla  x\in <1,\infty >, a  \ln x<0 dla  x\in \left( 0,1 \right).

Krok 2

Moja całka to:  \int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{e}{\left| \ln x \right|dx} i jest liczona w przedziale od  \frac{1}{2} do e. W tym przedziale wyrażenie pod wartością bezwględną \ln x jest raz dodatnie, a raz ujemne. Muszę więc rozbić całkę na dwie:

\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{e}{\left| \ln x \right|dx}=\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{1}{-\ln x}dx+\int\limits_{1}^{e}{\ln x}dx

Licząc odpowiednio i osobno obie całki, otrzymuję wynik:

\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{e}{\left| \ln x \right|dx}=\int\limits_{\tfrac{1}{2}}^{1}{-\ln x}dx+\int\limits_{1}^{e}{\ln x}dx=\frac{3}{2}-\frac{\ln 2}{2}

Krok 3

Zrobione 🙂

Zakończenie

To by było chyba na tyle, mam nadzieję, że po przeczytaniu tego posta złapałeś ogólny kierunek, w którym trzeba dążyć mając wartości bezwzględne w całkach, czy innych zadaniach. Najpierw analiza tego, jaki znak przyjmuje argument wartości bezwzględnej, a później umiejętne jej „opuszczenie”, co wiąże się najczęściej z rozbiciem zadania na przypadki.

Dzięki.

Jak zawsze – jeśli masz jakieś pytania, lub przykłady z wartościami bezwzględnymi, wrzucaj je śmiało w komentarzach pod tym postem.

A przy okazji – internetowy kalkulator Wolfram|Alpha radzi sobie świetnie także z całkami z wartościami bezwzględnymi, w sekundę podając gotowy wynik. Wpisywanie do niego całek jest również bardzo proste. Jeśli chcesz, zobacz jak z niego skorzystać w moim darmowym Poradniku do WolframAlpha.