blog

Układy równań jednorodne (liczba rozwiązań przy użyciu rzędu macierzy)

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Układy równań liniowych jednorodne to taki układy, w których wszystkie wyrazy wolne równe są 0. Wyglądają one tak:

Postać ogólna układu równań jednorodnych

Na przykład:

Przykładowy jednorodny układ równań

Możliwe liczby rozwiązań w układach równań liniowych

Przypomnijmy się, że w każdym układzie równań liniowych możliwe są trzy sytuacje:

  1. Układ ma 1 rozwiązanie (kiedy rząd macierzy głównej = rząd macierzy uzupełnionej = liczba niewiadomych w układzie: rz(A)=rz(U)=n)
  2. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (kiedy rząd macierzy głównej = rząd macierzy uzupełnionej i jest mniejszy od liczby niewiadomych w układzierz(A)=rz(U)<n)
  3. Układ nie ma rozwiązań (kiedy rząd macierzy głównej nie jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej)

Macierz uzupełniona to macierz główna z dodaną kolumną wyrazów wolnych. W przypadku układu jednorodnego, będzie to kolumna z samymi zerami. Podczas liczenia rzędów można ją po prostu wykreślić i uzyskać w ten sposób samą macierz główną.

W naszym przykładzie rząd macierzy głównej równy jest:

Rząd macierzy głównej z przykładuA rząd macierzy uzupełnionej:

Rząd macierzy uzupełnionej z przykładu

Na przykładzie widać, że rz(A)=rz(U) i widać, że tak będzie zawsze, w każdym układzie jednorodnym.

Możliwe liczby rozwiązań w układzie jednorodnym

Skoro tak, to w układzie równań jednorodnych zachodzić będą tylko sytuacje 1 lub 2. Układ zawsze będzie miał rozwiązania, pytanie tylko czy będzie to 1 rozwiązanie, czy nieskończenie wiele rozwiązań.

Idźmy dalej.

Zdefiniujmy sobie coś takiego, jak “rozwiązanie zerowe”. Rozwiązaniem zerowym nazwiemy takie rozwiązanie, w którym wartości wszystkich niewiadomych równe są 0.

Mówiąc o układach równań jednorodnych, zauważyć można, że:

Rozwiązanie zerowe jest zawsze rozwiązaniem układu jednorodnego.

Łatwo to sprawdzić: jeżeli za wszystkie niewiadome w równaniach wstawimy zera widać jasno, że każde równanie układu jednorodnego będzie spełnione, zawsze i w każdym układzie jednorodnym.

Jeżeli wiemy więc, że jednorodny układ równań liniowych ma 1 rozwiązanie (a jest tak, kiedy rz(A)=rz(U)=n), to wiemy także, że jest to na pewno rozwiązanie zerowe.

Jeżeli zaś wiemy, że jednorodny układ równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań (a jest tak, kiedy rz(A)=rz(U)<n), to wiemy, że układ ma rozwiązanie zerowe, ale oprócz niego jakieś rozwiązania niezerowe.

Jeżeli w zadaniu mamy więc polecenie: “sprawdź, czy układ jednorodny ma rozwiązania niezerowe”, wystarczy wykazać, że jest to układ nieoznaczony, w którym rząd macierzy głównej i uzupełnionej jest mniejszy od liczby niewiadomych.

W niektórych układach jest to bardzo proste, na przykład tutaj:

Drugi przykład układu równań jednorodnychMacierz główna układu miała by 4 wiersze i 5 kolumn, zatem jej rząd wyjdzie co najwyżej 4. Rząd macierzy uzupełnionej tak samo – wiemy już dlaczego. Liczba niewiadomych jest zaś równa 5. Od razu więc można stwierdzić, że układ jest nieoznaczony i że istnieją jakieś rozwiązania niezerowe tego układu.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Asia pisze:

    Potrzbuje pomocy do dwoch zadan;
    1.
    czy punkty (1,2,2), (-1,1,1), (0,3/2, 1/2)
    a) należą do płaszczyzny P:2×1-x2-x3+2=0.
    b) P przechodzi przez początek układu współrzędnych.

    2.
    Dany jest jednorodny uklad równań Ax=0 o nieskończenie wielu rozwiązaniach
    a) czy suma dwóch rozwiązań szczególnych tego układu też jest rozwiązaniem układu?
    b) każde dwa rozwiązania szczególne są wektorami liniowo niezależnymi?
    c) A może być macierze jednostkowa?

    1. Krystian pisze:

      Na początek, polecam oczywiście mój Kurs Geometrii Analitycznej.

      1.

      Aby sprawdzić, czy punkt należy do płaszczyzny, wystarczy wstawić jego współrzędne do równania i sprawdzić, czy jest spełnione:

      a)

      Zaczynam od punktu open parentheses 1 comma 2 comma 2 close parentheses, którego współrzędne wstawiam do płaszczyzny 2 x subscript 1 minus x subscript 2 minus x subscript 3 plus 2 equals 0 i mam:

      2 times 1 minus 2 minus 2 plus 2 equals 0
0 equals 0

      Równanie spełnione, zatem punkt open parentheses 1 comma 2 comma 2 close parentheses należy do płaszczyzny.

      Dalej punkt open parentheses negative 1 comma 1 comma 1 close parentheses:

      2 times open parentheses negative 1 close parentheses minus 2 minus 2 plus 2 equals 0
minus 4 not equal to 0

      Zatem punkt nie należy do płaszczyzny.

      Na końcu punkt open parentheses 0 comma 3 over 2 comma 1 half close parentheses:

      2 times 0 minus 3 over 2 minus 1 half plus 2 equals 0
0 equals 0

      Zatem punkt należy do płaszczyzny.

      b)

      Zadanie sprowadza się do sprawdzenia, czy początek układu współrzędnych, tzn. punkt open parentheses 0 comma 0 comma 0 close parentheses należy do płaszczyzny:

      2 times 0 minus 0 minus 0 plus 2 equals 0
2 not equal to 0 

      Czyli nie należy, czyli płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych.

  2. pisze:

    Chcialbym sie upewnic ze dobrze zrozumialem.

    Czy to oznacza , ze jesli znamy jedynie rozwiazania macierzy to mozemy bez wyliczen ustalic czy macierz jest oznaczona czy nie?
    Czy jesli zbior rozwiazan macierzy wynosi dla czterech niewiadomych (0,0,0,0) to uklad (jednorodny) jest zawsze oznaczony?
    A gdy zbior ten wynosi np. (1, 7, 0, 9) to zawsze mamy do czynienia z ukladem nieoznaczonym?

    Czy uklad jednorodny zawsze ma w tym zbiorze min 1 rozwiazanie ktore wynosi 0?

  3. Ola pisze:

    Witam, mam takie zadanie:
    Aby jednorodne układ równań Anxn X=0 miał niezerowe rozwiązania macierz Anxn musi być ….

  4. Matizz pisze:

    Cześć, mam taki problem w zadaniu.Treść: Zbadaj ilość rozwiązań i jeśli istnieją to je wskaż:2 x subscript 1 minus 4 x subscript 2 plus 8 x subscript 3 minus 6 x subscript 4 equals 7
5 x subscript 1 minus 10 x subscript 2 plus 20 x subscript 3 equals 12 comma 5

  5. Kordian pisze:

    Mam problem z dwoma zadaniami w jedej z książek z matematyki
    Udowodnij, że jeśli X1 i X2 są rozwiązaniami jednorodnego układu równań liniowych, to także wektor X1+X2 jest jego rozwiązaniem – nie wiem czy dobrze zrobiłem bo otrzymałem rozwiązanie zerowe.
    Podaj przykład układu dwóch równań o 4 niewiadomych, który ma tylko jedno rozwiązanie bazowe – nie wiem od czego zacząć.

  6. MT pisze:

    Witam,

    Mając zadanie brzmiące: “W jakim przypadku układ równań jednorodny ma rozwiązanie niezerowe?”
    Odpowiedź (po części zacytowana od Pana 🙂 ) będzie według Pana uznana za pełną?
    “Układ ma rozwiązanie niezerowe gdy jest to układ nieoznaczony, w którym rząd macierzy głównej i uzupełnionej jest mniejszy od liczby niewiadomych”

    Serdecznie pozdrawiam.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak.

  7. Just pisze:

    Witam,
    aby istniały rozwiązania niezerowe układu jednorodnego AX=0 i A(nxn)… nie rozumiem kompletnie nic, proszę o pomoc

  8. Asia pisze:

    Witam, bardzo proszę o odpowiedź.
    A co jeśli mam układ 6 równań liniowych jednorodnych i 4 niewiadome? Ile rozwiązań może mieć ten układ i dlaczego?

  9. Marcin pisze:

    Witam mam takie pytanie jak mam rozwiązać taki typ zadania.
    Sprawdz (przy pomocy macierzy), czy podany układ równań liniowych jest sprzeczny.

    przykład a) x + y =2
    4x – y =5
    3x – 7y =2

    przykład b) x + y + 3z =2
    4x – y -z =5
    3x – 2y – 4z =3

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, sprawdzić, czy rzędy macierzy głównej i uzupełnionej dla tego układu są równe (jak nie są, to jest sprzeczny).

      Co to są te macierze opisałem tutaj:

      https://blog.etrapez.pl/macierze/rzad-macierzy-w-twierdzeniu-kroneckera-capellego/

  10. Linkj pisze:

    Witam, prosiłbym o podpowiedź jak ugryźć zadanie typu:
    1) Dla jakich wartości parametru podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie
    2) Znajdź wszystkie wartości parametru, dla których podany układ niejednorodny ma tylko jedno rozwiązanie ( 1) i 2) są “rozmiarów” cramera)
    i trudniejsze: 3) Znaleźć dodatnie rozwiązania układu równań:

    [latex] x*(y^2)*(z^3)=2
    (x^2)*(y^3)*(z^4)=4
    (x^2)*y*z=2[/latex]

  11. XXXXX pisze:

    Mam problem z zadaniem ” wyznacz zmienną y z układu równań:
    x-4y-z=-3
    2x-y+3z=4
    4x+y+5z=6 ”
    Czy mogę prosić o sposób rozwiązania tego zadania ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne, do układu:

      \{ \begin{matrix}
      & x-4y-z=-3 \\
      & 2x-y+3z=4 \\
      & 4x+y+5z=6 \end{matrix}

      wystarczą zwykłe wzory Cramera.

      Liczę wyznacznik główny (pokazuję, jak to się robi w moim Kursie, a liczę w WolframAlpha):

      W=| \begin{matrix}
      1 & -4 & -1 \\
      2 & -1 & 3 \\
      4 & 1 & 5 \end{matrix} |=-22

      Ponieważ mam wyznaczyć tylko zmienną y, liczę tylko {{W}_{y}}:

      {{W}_{y}}=| \begin{matrix}
      1 & -3 & -1 \\
      2 & 4 & 3 \\
      4 & 6 & 5 \end{matrix} |=0

      Czyli moje rozwiązanie to: y=\frac{{{W}_{y}}}{W}=\frac{0}{-22}=0, co potwierdza WolframAlpha.

  12. Maciek pisze:

    Sory, ale mam pytanie mam układ równań niejednorodny
    3×1-x2+x3-x4=2
    2×1-3×2-x3+x4=3
    x1+7×3-6×4=5
    Obliczyłem że r(W)=r(U)
    i że r<n
    i został mi taki układ równań
    3×1-x2+x3=2+alfa
    2×1-3×2-x3=3-alfa
    x1+7×3=5+6alfa
    Mogę to rozwiązać dalej cramerem?

  13. Piter pisze:

    Czy układ jednorodny może być sprzeczny ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki za pytanie 🙂

      Nie, nie może być. Będzie miał zawsze conajmniej jedno rozwiązanie – takie, w którym wszystkie zmienne równają się zero (rozwiązanie zerowe).

  14. Michał pisze:

    Mam nadzieje, ze moge liczyc na rozwiazanie ogolnie przykladowego rzedu macierzy..;)
    1,3,-1,3=-1
    2,7,0,1=2
    -4,-14,0,-2=-4

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dobra.

      Na wstępie doprecyzujmy, bo “rozwiązanie ogólne rzędu macierzy” to trochę pomieszanie pojęć, chodzi nam o “rozwiązanie ogólne UKŁADU RÓWNAŃ przy zastosowaniu rzędu macierzy” – prawda?

      To jedziemy metodami z mojego Kursu Macierzy i z mojego Wykładu o liczeniu układów przy użyciu Twierdzenia Kroneckera – Capellego ).

      Liczę rząd macierzy głównej:

      Rząd macierzy głównej

      Liczę rząd macierzy uzupełnionej:

      Rząd macierzy uzupełnionej

      Rzędy są sobie równe (zatem układ ma rozwiązania) i są równe 2. Bierzemy zatem macierz główną i wybieramy z niej “podmacierz” stopnia 2:

      Podmacierz macierzy głównej

      Jej wyznacznik jest różny od zera, czyli może być:

      Wyznacznik podmacierzy

      Tworzę nowy układ równań. Trzecie równanie, które nie załapało się do podmacierzy wywalam, a zmienne trzecią i czwartą (jak się kurka w ogóle nazywają zmienne w tym układzie? – zdecyduję się na x_1,x_2,x_3,x_4) zastępuję parametrami {alpha}_1,{alpha}_2.

      Mam więc układ:

      Nowy układ równań

      No i skoro wyszedł taki prosty i tylko z dwoma niewiadomymi, nie rozwiązuję go wzorami Cramera, tylko metodami z gimnazjum:

      Rozwiązywanie nowego układu równań

      Mam w ten sposób rozwiązanie ogólne układu:

      Rozwiązanie ogólne układu równań

  15. Michał pisze:

    Witam serdecznie, mam mały problem mam nadzieje, ze otrzymam tu pomoc 😉
    Mianowicie, nie mam zielonego pojecia jak określić dokladnie ile wynosi rzad macierzy glownej a ile uzupełnionej, z tego co dowiedziałem się z tej stronki zależy to od ilości wierszy wiec potrafie określić ile rząd może wynosić maksymalnie ale nie wiem jak określic doklady wynik.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam, to trochę złożona sprawa, ale zapraszam do swojego Kursu:

      https://etrapez.pl/produkt/kurs-macierze/

      Na Lekcji 5 w prezentacjach Video tłumaczę tam, jak konkretnie obliczać rząd macierzy (ja to robię przez wykreślanie “wyzerowanych” wierszy lub/i kolumn).

  16. Martyna pisze:

    Czym w takim razie jest układ niejednorodny?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      To taki układ, który nie jest jednorodny 🙂 To znaczy, że ma co najmniej jedną liczbę różną od zera jako wyraz wolny.

  17. Janusz pisze:

    Dziękuję, teraz wszystko zrozumiałem (przynajmniej takie odnoszę wrażenie). Chciałbym też podziękować Panu za prowadzenie tego bloga i za fragmenty kursów jakie pojawiły się na youtube. Sposób, w jaki przekazuje Pan wiedzę jest przystępny dla każdego i mimo niektórych uproszczeń (nieformalnych definicji) zawsze robi Pan to tak, aby zachować poprawność merytoryczną jakiegoś twierdzenia, wzoru. To jest świetne. Szkoda, że nie mam środków, aby wykupić całość kursów. Myślę, że to doskonała pomoc dla wszystkich chcących nauczyć się matematyki. A przede wszystkim ją zrozumieć.
    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dziękuję, pozdrawiam.

  18. Janusz pisze:

    Wciąż mam problem z tym zdaniem:

    “Jeżeli za wszystkie niewiadome w równaniach wstawimy zera widać jasno, że każde równanie układu jednorodnego będzie spełnione, zawsze i w każdym układzie jednorodnym.”

    Bo dla układu jednorodnego
    2x + 3y + 4z + 5t = 0
    3x + 4t + 5z + 6t = 0
    Wstawimy zero za każdą zmienną i mamy….? 😉

    Ale skoro tak nie jest, to źle rozumiem.

    Dzięki bardzo za pomoc!

    1. Krystian Karczyński pisze:

      “Wstawimy zero za każdą zmienną i mamy….? ;)”

      …i mamy sprawdzenie, że rozwiązanie zerowe jest faktycznie rozwiązaniem tego układu 🙂

      Trudno jednak nazwać takie “sprawdzenie” – “rozwiązaniem”.

      “Rozwiązanie” to wartości zmiennych:
      x=0
      y=0
      z=0
      t=0

      Równania, jakie powstaną po podstawieniu “rozwiązania” (w układzie jednorodnym każde równanie wtedy przyjmie postać 0=0) to NIE JEST “rozwiązanie”.

  19. Krystian Karczyński pisze:

    Dzięki za pytanie.

    Nie, nie, nie – “rozwiązanie zerowe” to coś zupełnie innego.

    Mając układ równań ze zmiennymi na przykład: x,y,z,t jego rozwiązanie to takie rozwiązanie, w którym:
    x=0
    y=0
    z=0
    t=0

    Rozwiązanie “niezerowe” to było by na przykład rozwiązanie:
    x=1
    y=2
    z=0
    t=-5

    Chodzi o to, że WSZYSTKIE wartości zmiennych spełniające układ równań muszą być równe 0 – wtedy rozwiązanie jest “zerowe”.

    Sprawa jest jasna, czy mam trochę to rozwinąć?

    1. Renata pisze:

      Pomocy:Mam rozwiązać taki układ równań i mi w ogóle to nie wychodzi: x+2y-3z=42x+y+z=93x+3y-2z=13x-y+4z=5  

  20. Janusz pisze:

    Wobec tego, że
    “Rozwiązaniem zerowym nazwiemy takie rozwiązanie, w którym wartości wszystkich niewiadomych równe są 0”,
    to
    czy jest to rozwiązanie postaci 0=0 w każdym wierszu macierzy (układu równań)?