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यूलर प्रतिस्थापन प्रकार I
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Krystian Karczyński
कृष्टियन कार्चिंस्की
eTrapez सेवा के संस्थापक और प्रमुख।
पोलैंड के पोज़्नान तकनीकी विश्वविद्यालय के गणित में मास्टर। वर्षों से गणित के निजी शिक्षक। पोलैंड के सभी छात्रों के बीच बहुत लोकप्रिय हो चुके eTrapez के पहले कोर्सेज के निर्माता।
स्ज़ेचिन (पोलैंड) में रहते हैं। जंगल में टहलना, समुद्र तट पर आराम करना और कयाकिंग करना पसंद है।
यूलर की प्रतिस्थापना – इसकी आवश्यकता किसे है?
अनिश्चित इंटिग्रलों में यूलर की प्रतिस्थापना एक अगला कदम है, जो कि तर्कसंगत इंटिग्रलों, त्रिकोणमितीय इंटिग्रलों और मूल इंटिग्रलों के बाद आता है (या कुछ के अनुसार: “अतर्कसंगत इंटिग्रल”)। इसका मतलब है कि ज्यादातर छात्रों को इससे सामना नहीं करना पड़ेगा, मैंने भी इसे अपने अनिश्चित इंटिग्रलों के कोर्स में नहीं डाला है।
हालांकि, गणितीय विषयों में या सच में, सच में “मजबूत” गणितिक वाले छात्रों का एक बड़ा समूह है, जिन्हें यूलर की प्रतिस्थापना से निपटना होगा और उनके (और उत्सुक लोगों के) लिए मैं आमंत्रित करता हूं। मैं यूलर की सभी तीन प्रकार की प्रतिस्थापनाओं को चर्चा करूंगा (इस पोस्ट में मैं पहले प्रकार पर ध्यान दूंगा) और प्रत्येक के लिए एक उदाहरण दूंगा।
चलो शुरू करते हैं।
किन इंटिग्रलों को हम यूलर की प्रतिस्थापना से हल करते हैं?
यूलर की प्रतिस्थापना से हम इस तरह के इंटिग्रलों को हल करते हैं:
…यानी कुछ ऐसे संबंध जो
यूलर की प्रतिस्थापना से हम वे इंटिग्रल हल करते हैं, जिन्हें साधारण तरीके से हल नहीं किया जा सकता, ज़ाहिर है। उदाहरण के लिए, इंटिग्रल:
लेकिन अब इस इंटिग्रल को देखें:
हम देखते हैं कि स्थिति थोड़ी जटिल है, पहले से जानी गई प्रतिस्थापनाएँ
हमें एक नया हथियार चाहिए।
यूलर की प्रतिस्थापना – प्रथम प्रकार
जब हमारे पास ऐसा इंटिग्रल हो:
जिसमें ,
हम यह प्रतिस्थापना करते हैं:
, फिर दोनों तरफ को वर्ग में बदलते हैं, और तत्व
, t के संबंधों के साथ व्यक्त करते हैं, और उसे मूल इंटिग्रल में डालते हैं:
और हमारे पास t का इंटिग्रल है (अगर इसमें कोई x-sy बची हैं, तो हमने गलती की है) और यह एक तर्कसंगत इंटिग्रल है।
ध्यान दें
इसके अलावा, यह जोड़ना भी महत्वपूर्ण है कि व्यवहार में, कई छात्रों को केवल प्रथम प्रकार की यूलर प्रतिस्थापनाएँ सिखाई जाती हैं, और केवल उन इंटिग्रलों के लिए:
, यानी ऐसे, जहाँ मानो
आइए यूलर की प्रथम प्रकार की प्रतिस्थापना को एक उदाहरण के माध्यम से समझें:
उदाहरण 1
हम पाते हैं कि यह एक ऐसा इंटिग्रल है जिसमें है (जहां
तो हम यूलर की प्रथम प्रकार की प्रतिस्थापना का प्रयोग करेंगे।
मैं प्रतिस्थापित करता हूँ:
यानी सीधे तौर पर:
फिर मैं दोनों तरफ को वर्ग में बदलता हूँ:
और अब हमें
आइए
हमारे पास
हम वापस जाते हैं अपनी पहली प्रतिस्थापना की ओर, जिसमें था:
अब हमें पता चला है
यानी:
इसलिए हमारे पास
अंत में
और इस तरह हम
हम इस सब को मूल इंटिग्रल में डालते हैं:
पहली नजर में, यह उबाऊ, थकाने वाला, लेकिन पहले से जाना पहचाना तर्कसंगत इंटिग्रल प्रतीत होता है (सरल भिन्नों में विभाजन, मियानों का दूसरा घटक और अधिक विभाजित हो सकता है)। आम तौर पर यह सही है, लेकिन इस विशेष उदाहरण में हमें थोड़ी किस्मत मिलेगी और 3 पृष्ठों के A4 गणनाओं से गुजरने से हमें बचाया जाएगा:
प्रतिस्थापन से वापस कैसे आएं? हमने शुरुआत में क्या किया था:
इससे स्पष्ट है:
तो हमारा परिणाम है:
CDN. (अभी भी दो और प्रकार की यूलर प्रतिस्थापनाएँ बाकी हैं, क्या होगा अगर गुणांक
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