Eulersche Substitutionen vom Typ I
Krystian Karczyński
Gründer und Chef des Dienstes eTrapez.
Master of Mathematics der Technischen Universität Pozen (Polen). Mathematik-Nachhilfelehrer mit langjähriger Erfahrung. Schöpfer der ersten eTrapez-Kurse, die bei Studenten in ganz Polen große Beliebtheit erlangten.
Lebt in Stettin (Polen). Mag Waldspaziergänge, Strandtage und Kajakfahren.
Eulersche Substitutionen – wem nützen sie?
Eulersche Substitutionen in unbestimmten Integralen sind das nächste Thema, das nach rationalen Integralen, trigonometrischen Integralen und Wurzelintegralen (oder nach einigen Klassifizierungen: “irrationalen Integralen”) eingeführt wird. Das bedeutet, dass die meisten Studenten nicht das Vergnügen haben werden, sie zu treffen, und ich habe sie auch nicht in meinem Kurs für unbestimmte Integrale aufgenommen.
Es bleibt jedoch eine ziemlich große Gruppe von Studenten in mathematischen Studiengängen oder in wirklich, wirklich “starken” mathematischen Bereichen, die sich mit Eulerschen Substitutionen auseinandersetzen müssen, und diese (sowie Interessierte) lade ich ein. Ich werde alle drei Arten von Eulerschen Substitutionen besprechen (in diesem Beitrag werde ich die erste Art behandeln) und für jede einen Beispiel durchführen.
Lass uns starten.
Welche Integrale lösen wir mit Eulerschen Substitutionen?
Mit Eulerschen Substitutionen knacken wir Integrale des Typs:
…also irgendwelche willkürlichen Beziehungen zwischen
Mit Eulerschen Substitutionen knacken wir Integrale, die nicht einfacher gelöst werden können, natürlich. Zum Beispiel das Integral:
Nehmen wir jedoch das Integral:
Wir sehen, dass die Situation ernster ist, die uns bisher bekannten Substitutionen
Wir brauchen eine neue Waffe.
Eulersche Substitutionen – erster Typ
Wenn wir ein Integral haben:
in dem ist,
wenden wir die Substitution an:
und quadrieren beide Seiten, die Terme
, ausgedrückt durch t, setzen wir in das ursprüngliche Integral ein:
und wir erhalten ein Integral in Bezug auf t (wenn wir darin noch x’s haben, haben wir einen Fehler gemacht) und es ist ein rationales Integral.
Hinweis
Es ist noch hinzuzufügen, dass in der Praxis viele Studenten nur Eulersche Substitutionen des ersten Typs kennen und nur für Integrale des Typs:
, also solche, in denen quasi
Lassen Sie uns Eulersche Substitutionen des ersten Typs in Aktion verfolgen, zum Beispiel:
Beispiel 1
Wir stellen fest, dass es sich um ein Integral handelt, in dem es eine Beziehung zwischen
Also werden wir Eulersche Substitutionen des ersten Typs anwenden.
Ich setze ein:
das heißt einfach:
ich quadriere beide Seiten:
Die Terme mit
Und jetzt müssen wir
Wir beginnen mit
Wir haben
Wir kehren zu unserer ersten Substitution zurück, bei der es war:
Jetzt kennen wir bereits
das heißt:
So haben wir
Zuletzt nehmen wir
Und so bestimmen wir
Wir setzen das alles in das ursprüngliche Integral ein:
Auf den ersten Blick sieht es wie ein langweiliges, mühsames, aber bereits bekanntes und schematisches rationales Integral aus (Zerlegung in Partialbrüche, der zweite Faktor im Nenner kann noch weiter zerlegt werden). In der Regel ist das so, aber in diesem speziellen Beispiel werden wir etwas Glück haben und uns das Durchkämpfen durch 3 Seiten A4 Berechnungen ersparen:
Wie kehren wir zur Substitution zurück? Wir hatten am Anfang:
Daraus folgt natürlich:
Unser Ergebnis ist also:
Fortsetzung folgt. (Wir haben noch zwei weitere Arten von Eulerschen Substitutionen, was ist, wenn der Koeffizient
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