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欧拉第一类替换

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。


欧拉替换 – 这对谁有用?

不定积分中的欧拉替换是在有理积分、三角积分根式积分(或者按照某些分类:“非有理积分”)之后介绍的下一个主题。这意味着大多数学生可能不会有机会遇到它们,我在我的不定积分课程中也没有包括它们。

然而,仍然有相当一部分数学专业的学生,或者真的在数学上非常“强”的学生,需要面对欧拉替换,我邀请这些(以及感兴趣的)学生加入。我将讨论欧拉替换的所有三种类型(在这篇帖子中我将处理第一种类型),并为每一种做一个示例。

让我们开始吧。

我们用欧拉替换解决哪些积分?

我们用欧拉替换来解决以下类型的积分:

…即一些任意的关系。所以可以将它们视为根式积分(“非有理积分”)的一种“延伸”。

我们用欧拉替换来解决那些无法更简单地解决的积分,当然。例如,积分:

是一个涉及 的关系的积分可以通过一个简单的替换 来非常容易地解决。所以在这些简单的积分中,我们不需要费劲用欧拉替换。

但让我们来看这个积分:

我们看到情况更为严重,先前熟悉的替换(不能从中确定)不能解决问题。

我们需要新的武器。

欧拉替换 – 第一类

考虑到这个积分:

其中a greater than 0

我们使用替换:

,然后对两边都进行平方,项相互抵消(这正是我们的目的),我们依次确定:

,用t表示,然后将其代入原积分中:

我们得到一个关于t的积分(如果里面还有任何x的话,那就是我们犯了错误),这是一个有理积分

注意

值得一提的是,实际上许多学生只被教授了第一类欧拉替换,且仅用于以下类型的积分:

,即那些似乎

让我们通过一个例子来跟踪欧拉第一类替换的应用:

例子 1

我们发现这是一个积分,涉及 的关系。不能简单地解决。而且a greater than 0 是在 旁边的系数,在我们的例子中它等于 1)。

所以我们将使用欧拉第一类替换

我替换:

也就是:

然后对两边都进行平方:

两边的 项相互抵消(这是每次都应该发生的):

现在我们需要确定 , (按这个顺序)。

我们从 开始:

我们有 用变量 t 表示。现在轮到 ,即在我们的例子中:

我们回到我们的第一个替换,其中有:

现在我们已经知道 (可以看出,顺序很重要,对吧?),因此我们可以写:

也就是:

所以我们有 用变量 表示。

最后,我们通过对确定的 进行微分来得到

这样我们就确定了 。所以我们有:

我们将这一切放入原始积分中:

乍一看,这看起来像是无聊、繁琐但已知和有模式的有理积分(分解为简单分数,分母中的第二项还可以进一步分解)。通常情况下是这样,但在这个具体例子中,我们将有一些运气,避免了穿越3页A4纸的计算:

如何通过替换回到原来的表达式?我们一开始有:

因此显然:

所以我们的结果是:

待续。 (我们还有其他两种欧拉替换,如果系数 不大于零会怎样?)。

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