DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAK REDBULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Podstawienia Eulera I rodzaju

Krystian Karczyński

Podstawienia Eulera – komu to potrzebne?

Podstawienia Eulera w całkach nieoznaczonych są następną rzeczą, którą wprowadza się po całkach wymiernych, całkach trygonometrycznych i całkach z pierwiastkami (albo według niektórych klasyfikacji: „całkach niewymiernych”). Co oznacza, że większość studentów nie będzie miała przyjemności się z nimi spotkać, nie ująłem ich także w moim Kursie Całek Nieoznaczonych .

Pozostaje jednak całkiem spora grupa studentów na kierunkach matematycznych, albo naprawdę, naprawdę „mocnych” matematycznie, którzy z podstawieniami Eulera muszą się zmierzyć i tych (a także ciekawych) zapraszam. Omówię wszystkie trzy rodzaje podstawień Eulera (w tym poście wezmę się za I rodzaj) i do każdego zrobię po jednym przykładzie.

Jedziemy.

Jakie całki rozwiązujemy podstawieniami Eulera?

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

…czyli jakieś dowolne związki x i sqrt{ax^2+bx+c}. Można je więc potraktować jako pewne „przedłużenie” tematu całek z pierwiastkami („niewymiernych”).

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki, których nie da się rozwiązać prościej, oczywiście. Na przykład całka:

int{}{}{x/{sqrt{x^2+1}}} to jest całka, w której mamy związek x i sqrt{ax^2+bx+c}, ale można ją rozwiązać bardzo prosto przez głupie podstawienie: t=x^2+1. Nie strzelamy więc z armaty do wróbla i w takich prostych całkach nie męczymy się Eulerem.

Weźmy jednak całkę:

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}

Widzimy, że sytuacja jest poważniejsza, sprawy nie rozwiążą nam znane wcześniej podstawienia t=x^2+4x-4, czy t^2=x^2+4x-4 (nie wyznaczymy z nich x).

Potrzebujemy nowej broni.

 

Podstawienia Eulera – I rodzaj

Mając całkę:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

w której a greater than 0,

stosujemy podstawienie:

t-sqrt{a}x=sqrt{ax^2+bx+c}

, podnosimy obie strony do kwadratu, składniki ax^2 się skracają (i o to chodzi), wyznaczamy (w kolejności):

x=

sqrt{ax^2+bx+c}=

dx=

, wyrażone związkami t, podstawiamy do całki wyjściowej:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

i mamy całkę zmiennej t (jeśli ostały nam się w niej jakieś x-sy, to popełniliśmy błąd) i jest to całka wymierna.

 

Uwaga

Warto jeszcze dodać, że w praktyce wielu studentów ma wprowadzone podstawienia Eulera tylko I rodzaju i tylko do całek typu:

int{}{}{F(x,sqrt{x^2+bx+c})dx}

, czyli takich, w których jakby a=1

 

 

Prześledźmy podstawienia Eulera I rodzaju w akcji,  na przykładzie:

Przykład 1

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}

Stwierdzamy, że jest to całka, w której jest związek x i sqrt{ax^2+bx+c}. Że nie da się rozwiązać ją prosto. Że a greater than 0 (a to oczywiście współczynnik przy x^2, w naszym przykładzie jest on równy 1).

Czyli brykać będziemy podstawieniem Eulera I rodzaju.

Podstawiam:

t-sqrt{1}x=sqrt{x^2+4x-4}

czyli po prostu:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

podnoszę obie strony do kwadratu:

(t-x)^2=(sqrt{x^2+4x-4})^2

t^2-2tx+x^2=x^2+4x-4

Składniki z x^2 po obu stronach się skracają (i tak ma właśnie być za każdym razem):

t^2-2tx=4x-4

No i teraz właśnie trzeba wyznaczyć x, sqrt{ax^2+bx+c} i dx (w tej kolejności).

Zaczniemy od x:

t^2-2tx=4x-4

t^2+4=4x+2tx

4x+2tx=t^2+4

x(4+2t)=t^2+4

x={t^2+4}/{2t+4}

Mamy x wyrażone zmienną t. Teraz kolej na sqrt{ax^2+bx+c}, czyli w naszym przykładzie: sqrt{x^2+4x-4}.

Wracamy się do naszego pierwszego podstawienia, w którym było:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

Teraz znamy już x (widać, dlaczego ważna jest kolejność, prawda?), możemy więc napisać:

t-{t^2+4}/{2t+4}=sqrt{x^2+4x-4}

czyli:

sqrt{x^2+4x-4}=t-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t(2t+4)}/{2t+4}-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={2t^2+4t}/{2t+4}-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t^2+4t-4}/{2t+4}

Mamy więc sqrt{x^2+4x-4} wyrażone zmienną t.

Na koniec dx, które bierzemy już po prostu różniczkując obie strony wyznaczonego x:

x={t^2+4}/{2t+4}

dx={(t^2+4){prime}(2t+4)-(t^2+4)(2t+4){prime}}/{(2t+4)^2}dt

dx={2t(2t+4)-(t^2+4)2}/{(2t+4)^2}dt

dx={4t^2+8t-2t^2-8}/{(2t+4)^2}dt

dx={2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt

I w ten sposób wyznaczamy dx. Mamy więc:

x={t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t^2+4t-4}/{2t+4}

dx={2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt

Wstawiamy to wszystko do całki wyjściowej:

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt}/{{{t^2+4}/{2t+4}}{{t^2+4t-4}/{2t+4}}}}=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}/{(2t+4)^2}}}

~=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}

Na pierwszy rzut oka wygląda nam to na nudną, żmudną, ale już znana i schematyczna całka wymierna (rozkład na ułamki proste, drugi czynnik w mianowniku da się jeszcze bardziej rozłożyć). Na ogół tak jest, ale w tym konkretnym przykładzie będziemy mieli trochę szczęścia i przebijanie się przez 3 strony a4 obliczeń zostanie nam oszczędzone:

int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}=int{}{}{{2(t^2+4t-4)/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}=int{}{}{{2/{t^2+4}}dt}

~=2*{1/2}arctg{t/2}+C=arctg{t/2}+C

Jak wrócić się podstawieniem? Mieliśmy na początku:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

Stąd oczywiście:

t=sqrt{x^2+4x-4}+x

Czyli nasz wynik to:

~=2*{1/2}arctg{t/2}+C=arctg{t/2}+C=arctg{{sqrt{x^2+4x-4}+x}/2}+C

CDN. (mamy jeszcze dwa rodzaje podstawień Eulera, co jeśli współczynnik a nie jest większy od zera?).

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Janusz pisze:

    Fajne, więcej takich. Dzięki.

  2. Ania pisze:

    Super są te Pana kursy:) Można zapytać czy ma Pan w planie jeszcze jakieś kursy? A jeśli tak, to jaki temat będzie obejmował następny :)?

    Pozdrawiam,
    Ania

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki 🙂 Tak, będę tworzył następne Kursy. Co do następnego myślałem o Statystyce, ale można najpierw zrobię Prawdopodobieństwo, nie zdecydowałem się jeszcze…

  3. Mateusz pisze:

    krystian, dawaj na pg flache obalic!

  4. Dominik pisze:

    Ja proponuje prawdopodobieństwo jest na każdym profilu studiów matematycznych a statystyka nie

  5. Mateusz pisze:

    Witam. Zbiór elementarnych kursów, które są realizowane na każdej uczelni, już zagościł w tym serwisie:) Zostało prawdopodobieństwo, statystyka ale z tym jest różnie na uczelniach. Ja miałem jeszcze na koniec ostatniego semestru (kier. energetyka) takie zagadnienia jak: funkcje zespole, całki funkcji zespolonych, badanie holomorficzności funkcji. Kursy można oczywiście rozszerzać. Wszystko zależy od chęci Pana Krystiana. Może w przyszłości jakiś podstawowy kurs z 3DGrapher’a albo MATLABA? Pozdrawiam

  6. Mariusz pisze:

    Całki postaci [latex] \int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\mbox{d}x}[/latex]
    można przedstawic jako sumę trzech całek [latex] \int{R_{1}\left(x\right)\mbox{d}x}+\int{R_{2}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}\sqrt{ax^2+bx+c}}+\int{R_{3}{\left(\frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\right)}\mbox{d}\frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}[/latex]
    Podobno można tego dokonac drogą algebraiczną

  7. Ik pisze:

    Spotkałam się z takim zapisem podstawienia Eulera I rodzaju: [/latex]\sqrt{ax^{2}+bx+c}\=\pm [/latex]\sqrt{a}\+t
    Kiedy używamy „+” a kiedy „-„?

    1. Ik pisze:

      [/latex]\sqrt{ax^{2}+bx+c}\=\pm[/latex]\sqrt{a}\x+t
      Nie wiem dlaczego nie wyświetla się poprawnie :/

  8. Mariusz pisze:

    Mógłbyś napisać coś o \interpretacji geometrycznej tych podstawień
    chociażby na wypadek gdyby ktoś je zapomniał

  9. wojtek pisze:

    Jak policzyć taką całkę:
    Integral(1/[x+(x^2+x+1)^1/2])dx

  10. całki są super pisze:

    Ale to podstawienie nie jest głupie ;-; 

  11. Integral Love pisze:

    integral fraction numerator x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction d xCzemu ta całka obok napisu „to jest całka, w której mamy związek” nie ma różniczki? 🙁

  12. student pisze:

    mam nadzieję że zarabia pan na swojej działalności kupę kasy, bo naprawdę pomaga pan masie osób