blog

Podstawienia Eulera I rodzaju

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Podstawienia Eulera – komu to potrzebne?

Podstawienia Eulera w całkach nieoznaczonych są następną rzeczą, którą wprowadza się po całkach wymiernych, całkach trygonometrycznych i całkach z pierwiastkami (albo według niektórych klasyfikacji: “całkach niewymiernych”). Co oznacza, że większość studentów nie będzie miała przyjemności się z nimi spotkać, nie ująłem ich także w moim Kursie Całek Nieoznaczonych .

Pozostaje jednak całkiem spora grupa studentów na kierunkach matematycznych, albo naprawdę, naprawdę “mocnych” matematycznie, którzy z podstawieniami Eulera muszą się zmierzyć i tych (a także ciekawych) zapraszam. Omówię wszystkie trzy rodzaje podstawień Eulera (w tym poście wezmę się za I rodzaj) i do każdego zrobię po jednym przykładzie.

Jedziemy.

Jakie całki rozwiązujemy podstawieniami Eulera?

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

…czyli jakieś dowolne związki x i sqrt{ax^2+bx+c}. Można je więc potraktować jako pewne “przedłużenie” tematu całek z pierwiastkami (“niewymiernych”).

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki, których nie da się rozwiązać prościej, oczywiście. Na przykład całka:

int{}{}{x/{sqrt{x^2+1}}} to jest całka, w której mamy związek x i sqrt{ax^2+bx+c}, ale można ją rozwiązać bardzo prosto przez głupie podstawienie: t=x^2+1. Nie strzelamy więc z armaty do wróbla i w takich prostych całkach nie męczymy się Eulerem.

Weźmy jednak całkę:

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}

Widzimy, że sytuacja jest poważniejsza, sprawy nie rozwiążą nam znane wcześniej podstawienia t=x^2+4x-4, czy t^2=x^2+4x-4 (nie wyznaczymy z nich x).

Potrzebujemy nowej broni.

 

Podstawienia Eulera – I rodzaj

Mając całkę:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

w której a greater than 0,

stosujemy podstawienie:

t-sqrt{a}x=sqrt{ax^2+bx+c}

, podnosimy obie strony do kwadratu, składniki ax^2 się skracają (i o to chodzi), wyznaczamy (w kolejności):

x=

sqrt{ax^2+bx+c}=

dx=

, wyrażone związkami t, podstawiamy do całki wyjściowej:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

i mamy całkę zmiennej t (jeśli ostały nam się w niej jakieś x-sy, to popełniliśmy błąd) i jest to całka wymierna.

 

Uwaga

Warto jeszcze dodać, że w praktyce wielu studentów ma wprowadzone podstawienia Eulera tylko I rodzaju i tylko do całek typu:

int{}{}{F(x,sqrt{x^2+bx+c})dx}

, czyli takich, w których jakby a=1

 

 

Prześledźmy podstawienia Eulera I rodzaju w akcji,  na przykładzie:

Przykład 1

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}

Stwierdzamy, że jest to całka, w której jest związek x i sqrt{ax^2+bx+c}. Że nie da się rozwiązać ją prosto. Że a greater than 0 (a to oczywiście współczynnik przy x^2, w naszym przykładzie jest on równy 1).

Czyli brykać będziemy podstawieniem Eulera I rodzaju.

Podstawiam:

t-sqrt{1}x=sqrt{x^2+4x-4}

czyli po prostu:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

podnoszę obie strony do kwadratu:

(t-x)^2=(sqrt{x^2+4x-4})^2

t^2-2tx+x^2=x^2+4x-4

Składniki z x^2 po obu stronach się skracają (i tak ma właśnie być za każdym razem):

t^2-2tx=4x-4

No i teraz właśnie trzeba wyznaczyć x, sqrt{ax^2+bx+c} i dx (w tej kolejności).

Zaczniemy od x:

t^2-2tx=4x-4

t^2+4=4x+2tx

4x+2tx=t^2+4

x(4+2t)=t^2+4

x={t^2+4}/{2t+4}

Mamy x wyrażone zmienną t. Teraz kolej na sqrt{ax^2+bx+c}, czyli w naszym przykładzie: sqrt{x^2+4x-4}.

Wracamy się do naszego pierwszego podstawienia, w którym było:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

Teraz znamy już x (widać, dlaczego ważna jest kolejność, prawda?), możemy więc napisać:

t-{t^2+4}/{2t+4}=sqrt{x^2+4x-4}

czyli:

sqrt{x^2+4x-4}=t-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t(2t+4)}/{2t+4}-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={2t^2+4t}/{2t+4}-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t^2+4t-4}/{2t+4}

Mamy więc sqrt{x^2+4x-4} wyrażone zmienną t.

Na koniec dx, które bierzemy już po prostu różniczkując obie strony wyznaczonego x:

x={t^2+4}/{2t+4}

dx={(t^2+4){prime}(2t+4)-(t^2+4)(2t+4){prime}}/{(2t+4)^2}dt

dx={2t(2t+4)-(t^2+4)2}/{(2t+4)^2}dt

dx={4t^2+8t-2t^2-8}/{(2t+4)^2}dt

dx={2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt

I w ten sposób wyznaczamy dx. Mamy więc:

x={t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t^2+4t-4}/{2t+4}

dx={2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt

Wstawiamy to wszystko do całki wyjściowej:

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt}/{{{t^2+4}/{2t+4}}{{t^2+4t-4}/{2t+4}}}}=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}/{(2t+4)^2}}}

~=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}

Na pierwszy rzut oka wygląda nam to na nudną, żmudną, ale już znana i schematyczna całka wymierna (rozkład na ułamki proste, drugi czynnik w mianowniku da się jeszcze bardziej rozłożyć). Na ogół tak jest, ale w tym konkretnym przykładzie będziemy mieli trochę szczęścia i przebijanie się przez 3 strony a4 obliczeń zostanie nam oszczędzone:

int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}=int{}{}{{2(t^2+4t-4)/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}=int{}{}{{2/{t^2+4}}dt}

~=2*{1/2}arctg{t/2}+C=arctg{t/2}+C

Jak wrócić się podstawieniem? Mieliśmy na początku:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

Stąd oczywiście:

t=sqrt{x^2+4x-4}+x

Czyli nasz wynik to:

~=2*{1/2}arctg{t/2}+C=arctg{t/2}+C=arctg{{sqrt{x^2+4x-4}+x}/2}+C

CDN. (mamy jeszcze dwa rodzaje podstawień Eulera, co jeśli współczynnik a nie jest większy od zera?).

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nie wyobrażam sobie już studiowania bez eTrapez ! Nareszcie kończą się moje problemy z matematyką.. Na studiach wykładowca tłumaczy szybko i często niezrozumiałym językiem. Tutaj wszystko jest wytłumaczone PROSTYM/ LUDZKIM JĘZYKIEM i na spokojnie Żałuję, że nie znalazłam kursu wcześniej, pomógł mi zrozumieć wiele rzeczy. Szczerze polecam wszystkim, którym matematyka spędza sen z powiek !

Klaudia

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. student pisze:

    mam nadzieję że zarabia pan na swojej działalności kupę kasy, bo naprawdę pomaga pan masie osób

  2. Integral Love pisze:

    integral fraction numerator x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction d xCzemu ta całka obok napisu “to jest całka, w której mamy związek” nie ma różniczki? :(e0/41/1cb56540dd0e194beea97addc616.png” alt=”horizontal ellipsis equals negative 2 integral fraction numerator d t over denominator t squared minus 1 squared end fraction equals negative 2 times fraction numerator 1 over denominator 2 times 1 end fraction ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction close vertical bar plus C equals negative ln open vertical bar fraction numerator t minus 1 over denominator t plus 1 end fraction plus C close vertical bar equals negative ln open vertical bar fraction numerator t g begin display style x over 2 end style minus 1 over denominator t g x over 2 plus 1 end fraction close vertical bar plus C

    ” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8230;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»t«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfrac»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mrow»«mfrac»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»t«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mfrac»«mrow»«mi»t«/mi»«mi»g«/mi»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«mrow»«mi»t«/mi»«mi»g«/mi»«mfrac»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mfenced»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»” />

    KONIEC

    Całą metodę na innych przykładach pokazuję w moim Kursie Całki Nieoznaczone, zapraszam!
     48/df/46c5d3a3fd017569f7b49b400bcb.png” alt=”straight real numbers” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi mathvariant=¨normal¨»§#8477;«/mi»«/math»” />, ponieważ można obliczyć pierwiastek nieparzystego stopnia również z liczby ujemnej. Jednak definiuje się czasem, że dziedziną wyrażenia x to the power of begin inline style 1 third end style end exponent jest zbiór straight real numbers subscript plus union left curly bracket 0 right curly bracket, ze względu na postać ułamkową wykładnika. Tak też liczą dziedzinę niektóre algorytmy.

    Zapewne powyższy kalkulator wziął pod uwagę warunki: 2 minus x greater or equal than 0 oraz x squared plus x minus 6 not equal to 0. Otrzymujemy open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x less or equal than 2 end cell row cell x not equal to negative 3 logical and x not equal to 2 end cell end table close, czyli D equals open parentheses negative infinity comma negative 3 close parentheses union open parentheses negative 3 comma 2 close parentheses

    Gdybyśmy brali pod uwagę faktyczne własności pierwiastka nieparzystego stopnia, ograniczymy się do warunku x squared plus x minus 6 not equal to 0 i otrzymamy dziedzinę D equals straight real numbers backslash left curly bracket negative 3 comma 2 right curly bracket

    Trzeba przyznać, że jest to zagadnienie wyjątkowo nieprecyzyjne, jak na matematykę 😉

    07/74/4cde70440796ab21c77a684f4eb8.png” alt=”open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 1 equals 0 space logical or space y minus 4 equals 0 space logical or space y equals 0 end cell row cell x equals 0 space logical or space x plus 2 equals 0 space logical or space y minus 2 equals 0 end cell end table close” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»” />

    open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative 1 space logical or space y equals 4 space logical or space y equals 0 end cell row cell x equals 0 space logical or space x equals negative 2 space logical or space y equals 2 end cell end table close

    x equals negative 1 colon space minus 2 times open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses negative 1 plus 2 close parentheses open parentheses y minus 2 close parentheses equals 0 rightwards double arrow y equals 2
    y equals 4 colon space minus 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 4 minus 2 close parentheses equals 0 space rightwards double arrow space x equals 0 space logical or space x equals negative 2
    y equals 0 colon space minus 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 0 minus 2 close parentheses equals 0 space rightwards double arrow space x equals 0 space logical or space x equals negative 2

    x equals 0 colon space minus 2 open parentheses 0 plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 space rightwards double arrow space y equals 4 space logical or y equals 0x equals negative 2 colon space minus 2 open parentheses negative 2 plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 space rightwards double arrow space y equals 4 space logical or y equals 0
    y equals 2 colon space minus 2 open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses 2 minus 4 close parentheses 2 equals 0 space rightwards double arrow space x equals negative 1

    Zatem punkty podejrzane o ekstremum to: open parentheses negative 1 comma 2 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 4 close parentheses comma space open parentheses negative 2 comma 4 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses negative 2 comma 0 close parentheses

  3. całki są super pisze:

    Ale to podstawienie nie jest głupie ;-; 

  4. wojtek pisze:

    Jak policzyć taką całkę:
    Integral(1/[x+(x^2+x+1)^1/2])dx

  5. Mariusz pisze:

    Mógłbyś napisać coś o \interpretacji geometrycznej tych podstawień
    chociażby na wypadek gdyby ktoś je zapomniał

  6. Ik pisze:

    Spotkałam się z takim zapisem podstawienia Eulera I rodzaju: [/latex]\sqrt{ax^{2}+bx+c}\=\pm [/latex]\sqrt{a}\+t
    Kiedy używamy “+” a kiedy “-“?

    1. Ik pisze:

      [/latex]\sqrt{ax^{2}+bx+c}\=\pm[/latex]\sqrt{a}\x+t
      Nie wiem dlaczego nie wyświetla się poprawnie :/

  7. Mariusz pisze:

    Całki postaci [latex] \int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\mbox{d}x}[/latex]
    można przedstawic jako sumę trzech całek [latex] \int{R_{1}\left(x\right)\mbox{d}x}+\int{R_{2}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}\sqrt{ax^2+bx+c}}+\int{R_{3}{\left(\frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\right)}\mbox{d}\frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}[/latex]
    Podobno można tego dokonac drogą algebraiczną

  8. Mateusz pisze:

    Witam. Zbiór elementarnych kursów, które są realizowane na każdej uczelni, już zagościł w tym serwisie:) Zostało prawdopodobieństwo, statystyka ale z tym jest różnie na uczelniach. Ja miałem jeszcze na koniec ostatniego semestru (kier. energetyka) takie zagadnienia jak: funkcje zespole, całki funkcji zespolonych, badanie holomorficzności funkcji. Kursy można oczywiście rozszerzać. Wszystko zależy od chęci Pana Krystiana. Może w przyszłości jakiś podstawowy kurs z 3DGrapher’a albo MATLABA? Pozdrawiam

  9. Dominik pisze:

    Ja proponuje prawdopodobieństwo jest na każdym profilu studiów matematycznych a statystyka nie

  10. Mateusz pisze:

    krystian, dawaj na pg flache obalic!

  11. Ania pisze:

    Super są te Pana kursy:) Można zapytać czy ma Pan w planie jeszcze jakieś kursy? A jeśli tak, to jaki temat będzie obejmował następny :)?

    Pozdrawiam,
    Ania

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki 🙂 Tak, będę tworzył następne Kursy. Co do następnego myślałem o Statystyce, ale można najpierw zrobię Prawdopodobieństwo, nie zdecydowałem się jeszcze…

  12. Janusz pisze:

    Fajne, więcej takich. Dzięki.