fbpx
blog

Podstawienia Eulera I rodzaju

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.


Podstawienia Eulera – komu to potrzebne?

Podstawienia Eulera w całkach nieoznaczonych są następną rzeczą, którą wprowadza się po całkach wymiernych, całkach trygonometrycznych i całkach z pierwiastkami (albo według niektórych klasyfikacji: “całkach niewymiernych”). Co oznacza, że większość studentów nie będzie miała przyjemności się z nimi spotkać, nie ująłem ich także w moim Kursie Całek Nieoznaczonych .

Pozostaje jednak całkiem spora grupa studentów na kierunkach matematycznych, albo naprawdę, naprawdę “mocnych” matematycznie, którzy z podstawieniami Eulera muszą się zmierzyć i tych (a także ciekawych) zapraszam. Omówię wszystkie trzy rodzaje podstawień Eulera (w tym poście wezmę się za I rodzaj) i do każdego zrobię po jednym przykładzie.

Jedziemy.

Jakie całki rozwiązujemy podstawieniami Eulera?

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki typu:

[pmath]int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}[/pmath]

…czyli jakieś dowolne związki [pmath]x[/pmath] i [pmath]sqrt{ax^2+bx+c}[/pmath]. Można je więc potraktować jako pewne “przedłużenie” tematu całek z pierwiastkami (“niewymiernych”).

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki, których nie da się rozwiązać prościej, oczywiście. Na przykład całka:

[pmath]int{}{}{x/{sqrt{x^2+1}}}[/pmath] to jest całka, w której mamy związek [pmath]x[/pmath] i [pmath]sqrt{ax^2+bx+c}[/pmath], ale można ją rozwiązać bardzo prosto przez głupie podstawienie: [pmath]t=x^2+1[/pmath]. Nie strzelamy więc z armaty do wróbla i w takich prostych całkach nie męczymy się Eulerem.

Weźmy jednak całkę:

[pmath]int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}[/pmath]

Widzimy, że sytuacja jest poważniejsza, sprawy nie rozwiążą nam znane wcześniej podstawienia [pmath]t=x^2+4x-4[/pmath], czy [pmath]t^2=x^2+4x-4[/pmath] (nie wyznaczymy z nich [pmath]x[/pmath]).

Potrzebujemy nowej broni.

 

Podstawienia Eulera – I rodzaj

Mając całkę:

[pmath]int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}[/pmath]

w której a greater than 0,

stosujemy podstawienie:

[pmath]t-sqrt{a}x=sqrt{ax^2+bx+c}[/pmath]

, podnosimy obie strony do kwadratu, składniki [pmath]ax^2[/pmath] się skracają (i o to chodzi), wyznaczamy (w kolejności):

[pmath]x=[/pmath]

[pmath]sqrt{ax^2+bx+c}=[/pmath]

[pmath]dx=[/pmath]

, wyrażone związkami t, podstawiamy do całki wyjściowej:

[pmath]int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}[/pmath]

i mamy całkę zmiennej t (jeśli ostały nam się w niej jakieś x-sy, to popełniliśmy błąd) i jest to całka wymierna.

 

Uwaga

Warto jeszcze dodać, że w praktyce wielu studentów ma wprowadzone podstawienia Eulera tylko I rodzaju i tylko do całek typu:

[pmath]int{}{}{F(x,sqrt{x^2+bx+c})dx}[/pmath]

, czyli takich, w których jakby [pmath]a=1[/pmath]

 

 

Prześledźmy podstawienia Eulera I rodzaju w akcji,  na przykładzie:

Przykład 1

[pmath]int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}[/pmath]

Stwierdzamy, że jest to całka, w której jest związek [pmath]x[/pmath] i [pmath]sqrt{ax^2+bx+c}[/pmath]. Że nie da się rozwiązać ją prosto. Że a greater than 0 ([pmath]a[/pmath] to oczywiście współczynnik przy [pmath]x^2[/pmath], w naszym przykładzie jest on równy 1).

Czyli brykać będziemy podstawieniem Eulera I rodzaju.

Podstawiam:

[pmath]t-sqrt{1}x=sqrt{x^2+4x-4}[/pmath]

czyli po prostu:

[pmath]t-x=sqrt{x^2+4x-4}[/pmath]

podnoszę obie strony do kwadratu:

[pmath](t-x)^2=(sqrt{x^2+4x-4})^2[/pmath]

[pmath]t^2-2tx+x^2=x^2+4x-4[/pmath]

Składniki z [pmath]x^2[/pmath] po obu stronach się skracają (i tak ma właśnie być za każdym razem):

[pmath]t^2-2tx=4x-4[/pmath]

No i teraz właśnie trzeba wyznaczyć [pmath]x[/pmath], [pmath]sqrt{ax^2+bx+c}[/pmath] i [pmath]dx[/pmath] (w tej kolejności).

Zaczniemy od [pmath]x[/pmath]:

[pmath]t^2-2tx=4x-4[/pmath]

[pmath]t^2+4=4x+2tx[/pmath]

[pmath]4x+2tx=t^2+4[/pmath]

[pmath]x(4+2t)=t^2+4[/pmath]

[pmath]x={t^2+4}/{2t+4}[/pmath]

Mamy [pmath]x[/pmath] wyrażone zmienną t. Teraz kolej na [pmath]sqrt{ax^2+bx+c}[/pmath], czyli w naszym przykładzie: [pmath]sqrt{x^2+4x-4}[/pmath].

Wracamy się do naszego pierwszego podstawienia, w którym było:

[pmath]t-x=sqrt{x^2+4x-4}[/pmath]

Teraz znamy już [pmath]x[/pmath] (widać, dlaczego ważna jest kolejność, prawda?), możemy więc napisać:

[pmath]t-{t^2+4}/{2t+4}=sqrt{x^2+4x-4}[/pmath]

czyli:

[pmath]sqrt{x^2+4x-4}=t-{t^2+4}/{2t+4}[/pmath]

[pmath]sqrt{x^2+4x-4}={t(2t+4)}/{2t+4}-{t^2+4}/{2t+4}[/pmath]

[pmath]sqrt{x^2+4x-4}={2t^2+4t}/{2t+4}-{t^2+4}/{2t+4}[/pmath]

[pmath]sqrt{x^2+4x-4}={t^2+4t-4}/{2t+4}[/pmath]

Mamy więc [pmath]sqrt{x^2+4x-4}[/pmath] wyrażone zmienną [pmath]t[/pmath].

Na koniec [pmath]dx[/pmath], które bierzemy już po prostu różniczkując obie strony wyznaczonego [pmath]x[/pmath]:

[pmath]x={t^2+4}/{2t+4}[/pmath]

[pmath]dx={(t^2+4){prime}(2t+4)-(t^2+4)(2t+4){prime}}/{(2t+4)^2}dt[/pmath]

[pmath]dx={2t(2t+4)-(t^2+4)2}/{(2t+4)^2}dt[/pmath]

[pmath]dx={4t^2+8t-2t^2-8}/{(2t+4)^2}dt[/pmath]

[pmath]dx={2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt[/pmath]

I w ten sposób wyznaczamy [pmath]dx[/pmath]. Mamy więc:

[pmath]x={t^2+4}/{2t+4}[/pmath]

[pmath]sqrt{x^2+4x-4}={t^2+4t-4}/{2t+4}[/pmath]

[pmath]dx={2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt[/pmath]

Wstawiamy to wszystko do całki wyjściowej:

[pmath]int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt}/{{{t^2+4}/{2t+4}}{{t^2+4t-4}/{2t+4}}}}=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}/{(2t+4)^2}}}[/pmath]

[pmath]~=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}[/pmath]

Na pierwszy rzut oka wygląda nam to na nudną, żmudną, ale już znana i schematyczna całka wymierna (rozkład na ułamki proste, drugi czynnik w mianowniku da się jeszcze bardziej rozłożyć). Na ogół tak jest, ale w tym konkretnym przykładzie będziemy mieli trochę szczęścia i przebijanie się przez 3 strony a4 obliczeń zostanie nam oszczędzone:

[pmath]int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}=int{}{}{{2(t^2+4t-4)/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}=int{}{}{{2/{t^2+4}}dt}[/pmath]

[pmath]~=2*{1/2}arctg{t/2}+C=arctg{t/2}+C[/pmath]

Jak wrócić się podstawieniem? Mieliśmy na początku:

[pmath]t-x=sqrt{x^2+4x-4}[/pmath]

Stąd oczywiście:

[pmath]t=sqrt{x^2+4x-4}+x[/pmath]

Czyli nasz wynik to:

[pmath]~=2*{1/2}arctg{t/2}+C=arctg{t/2}+C=arctg{{sqrt{x^2+4x-4}+x}/2}+C[/pmath]

CDN. (mamy jeszcze dwa rodzaje podstawień Eulera, co jeśli współczynnik [pmath]a[/pmath] nie jest większy od zera?).

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. student pisze:

    mam nadzieję że zarabia pan na swojej działalności kupę kasy, bo naprawdę pomaga pan masie osób

  2. Integral Love pisze:

    integral fraction numerator x over denominator square root of x squared plus 1 end root end fraction d xCzemu ta całka obok napisu “to jest całka, w której mamy związek” nie ma różniczki? 🙁

  3. całki są super pisze:

    Ale to podstawienie nie jest głupie ;-; 

  4. wojtek pisze:

    Jak policzyć taką całkę:
    Integral(1/[x+(x^2+x+1)^1/2])dx

  5. Mariusz pisze:

    Mógłbyś napisać coś o \interpretacji geometrycznej tych podstawień
    chociażby na wypadek gdyby ktoś je zapomniał

  6. Ik pisze:

    Spotkałam się z takim zapisem podstawienia Eulera I rodzaju: [/latex]sqrt{ax^{2}+bx+c}=\pm [/latex]sqrt{a}+t
    Kiedy używamy “+” a kiedy “-“?

    1. Ik pisze:

      [/latex]sqrt{ax^{2}+bx+c}=\pm[/latex]sqrt{a}x+t
      Nie wiem dlaczego nie wyświetla się poprawnie :/

  7. Mariusz pisze:

    Całki postaci \int{Rleft(x,sqrt{ax^2+bx+c}mbox{d}x}
    można przedstawic jako sumę trzech całek \int{R_{1}\left(xright)mbox{d}x}+\int{R_{2}\left(sqrt{ax^2+bx+c}right)mbox{d}\sqrt{ax^2+bx+c}}+\int{R_{3}{\left(frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}right)}mbox{d}\frac{x+\frac{b}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}
    Podobno można tego dokonac drogą algebraiczną

  8. Mateusz pisze:

    Witam. Zbiór elementarnych kursów, które są realizowane na każdej uczelni, już zagościł w tym serwisie:) Zostało prawdopodobieństwo, statystyka ale z tym jest różnie na uczelniach. Ja miałem jeszcze na koniec ostatniego semestru (kier. energetyka) takie zagadnienia jak: funkcje zespole, całki funkcji zespolonych, badanie holomorficzności funkcji. Kursy można oczywiście rozszerzać. Wszystko zależy od chęci Pana Krystiana. Może w przyszłości jakiś podstawowy kurs z 3DGrapher’a albo MATLABA? Pozdrawiam

  9. Dominik pisze:

    Ja proponuje prawdopodobieństwo jest na każdym profilu studiów matematycznych a statystyka nie

  10. Mateusz pisze:

    krystian, dawaj na pg flache obalic!

  11. Ania pisze:

    Super są te Pana kursy:) Można zapytać czy ma Pan w planie jeszcze jakieś kursy? A jeśli tak, to jaki temat będzie obejmował następny :)?

    Pozdrawiam,
    Ania

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dzięki 🙂 Tak, będę tworzył następ\ne Kursy. Co do następ\nego myślałem o Statystyce, ale można najpierw zrobię Prawdopodobieństwo, nie zdecydowałem się jeszcze…

  12. Janusz pisze:

    Fajne, więcej takich. Dzięki.