Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion

Formeln für Ableitungen

Thema: Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Anwendung des Satzes zur Ableitung einiger Ableitungsformeln.

Zusammenfassung

In dieser Vorlesung werden wir uns mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion befassen, ihn beweisen und sehen, wie er zur Bestimmung verschiedener Ableitungsformeln verwendet werden kann. Ohne diesen Satz (zum Beispiel direkt aus der Definition, wie in der vorherigen Vorlesung) wäre es, vorsichtig ausgedrückt – schwierig.

Leider muss man, bevor man sich dem Satz nähert, wissen, was eine Umkehrfunktion ist, warum die Funktion die Umkehrfunktion zu ist und warum wir uns in diesem Fall auf einen Argumentbereich wie beschränken müssen…

Das Ableiten von Formeln mithilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion ist eine recht häufige Aufgabe in der mathematischen Analyse an der Universität, also könnte dir diese Vorlesung in deinen akademischen Kämpfen nützlich sein.

Den Satz und den Beweis stelle ich unter Verwendung des Buches von Fichtenholz vor, indem ich ihn erweitere, einschränke, Tippfehler korrigiere und an einigen Stellen überarbeite.

Der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion

Wenn die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt, und im Punkt eine endliche und von null verschiedene Ableitung hat, dann existiert im entsprechenden Punkt die Ableitung der Umkehrfunktion , und ihr Wert im Punkt entspricht .

Unverständliche Zeichenfolge? Am Anfang sehr möglich, lasst uns also in dieses Theorem eintauchen, indem wir zwei einfache, konkrete Beispiele verwenden.

Beispiel 1

Wenn die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt,

1. Nehmen wir die Funktion im Intervall .

2. Die Umkehrfunktion dazu existiert und ist gleich – ich erkläre nicht mehr, warum und wozu diese Einschränkung im Intervall x, sorry…

und im Punkt eine endliche und von null verschiedene Ableitung hat,

3. Nehmen wir den Punkt . Die Ableitung der Funktion existiert () und ihr Wert im Punkt ist von null verschieden ().

entsprechend dem Punkt ist der Punkt

4. Der dem Punkt entsprechende Punkt ist der dem Punkt entsprechende Wert der Funktion , also .

In unserem Beispiel also:

existiert die Ableitung der Umkehrfunktion

5. In der Tat, die Umkehrfunktion ist , ihre Ableitung ist: (aus den Grundformeln für Ableitungen) und im Punkt existiert sie definitiv und ist gleich:

und ihr Wert im Punkt entspricht .

6. Tatsächlich ist die in Punkt 5 berechnete gleich:

( – das habe ich in Punkt 3 berechnet.)

Also funktioniert der Satz 🙂

Beispiel 2

Wenn die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt,

1. Nehmen wir die Exponentialfunktion .

2. Die Umkehrfunktion dazu existiert und ist gleich – das war in der Schule, ich erkläre auch nicht (die logarithmische und die Exponentialfunktion sind Umkehrfunktionen zueinander).

und im Punkt hat sie eine endliche und von null verschiedene Ableitung ,

3. Nehmen wir den Punkt . Die Ableitung der Funktion existiert ( – Grundformeln der Ableitung) und ist im Punkt von null verschieden ().

dann existiert im entsprechenden Punkt die Ableitung der Umkehrfunktion,

4. Der dem Punkt entsprechende Punkt ist der Wert der Funktion im Punkt , also .

Also:

existiert die Ableitung der Umkehrfunktion

5. Tatsächlich ist die Umkehrfunktion , ihre Ableitung ist: (aus den Grundformeln für Ableitungen). Im Punkt existiert sie und ist gleich:

und ihr Wert im Punkt entspricht .

6. Tatsächlich ist die in Punkt 5 berechnete gleich:

( – berechnet in Punkt 3.)

Also funktioniert der Satz wieder 🙂

Beweis des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion

Wir werden diesen Satz beweisen, indem wir uns auf die geometrische Interpretation der Ableitung einer Funktion an einem Punkt beziehen. Wie wir uns erinnern, ist der Wert der Ableitung einer Funktion an einem Punkt der Tangens des Neigungswinkels der Tangente an die Funktionskurve an diesem Punkt.

Im Diagramm würde das so aussehen:

Der Wert der Ableitung am Punkt haben wir in früheren Vorlesungen als Tangens des Winkels definiert

Lassen Sie uns nun etwas Interessantes bemerken: Das Diagramm der Umkehrfunktion zu kann auf genau demselben Diagramm dargestellt werden, nur dass man sich daran erinnern muss, es “umgekehrt” zu lesen – d.h., als ob wir den y-Werten die x-Werte zuordnen (also ist die Zunahme der Argumente der Umkehrfunktion , und die Zunahme der entsprechenden Werte ist ):

Beachten Sie, dass der Wert der Ableitung dieser Umkehrfunktion am Punkt gleich ist:

Man sieht also, dass der Wert der Ableitung der Funktion und der Wert der Ableitung ihrer Umkehrfunktion die Tangenswerte der Winkel im selben rechtwinkligen Dreieck sind.

Solche Tangenswerte von Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck (wie wir uns aus der Mittelschule erinnern) sind durch die Beziehung verbunden:

Also (nach dem Teilen beider Seiten durch ):

Daraus ergibt sich die Schlussfolgerung unseres Satzes, nämlich:

🙂

ENDE DES BEWEISES

Ableitungen mithilfe des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion herleiten

Beispiel 3

Leite die Formel für die Ableitung der Funktion her.

Die Formel, die wir herleiten sollen, lautet: .

Unsere Funktion f(x) ist die Funktion arccosx. Die Umkehrfunktion dazu ist die Funktion . Die Ableitung der Umkehrfunktion ist .

Laut dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Wert der Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle gleich dem Kehrwert des Wertes der Ableitung der Funktion an der Stelle :

Also in jedem Punkt :

Nach Umformung:

Mithilfe der trigonometrischen Identität können wir folgern, dass: , also haben wir:

Achtung: ist der Wert der Funktion am Punkt , also . Daher:

– da Kosinus und Arkuskosinus Umkehrfunktionen sind, haben wir also:

in jedem Punkt (natürlich unter Berücksichtigung der Bedingungen des Definitionsbereichs, die ich vernachlässigt habe), somit wurde unsere Formel auf diese Weise nachgewiesen.

Beispiel 4

Leite die Formel für die Ableitung der Funktion her.

Die Formel, die wir herleiten sollen, lautet: .

Unsere Funktion f(x) ist die Funktion arctgx. Die Umkehrfunktion dazu ist die Funktion . Die Ableitung der Umkehrfunktion ist .

Laut dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Wert der Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle gleich dem Kehrwert des Wertes der Ableitung der Funktion an der Stelle :

Also in jedem Punkt :

Nach Umformung:

Mithilfe der trigonometrischen Identität können wir weiter umformen:

Achtung: ist der Wert der Funktion am Punkt $x subscript 0$ , also . Daher:

– da Tangens und Arkustangens Umkehrfunktionen sind, haben wir also:

in jedem Punkt (natürlich unter Berücksichtigung der Bedingungen des Definitionsbereichs, die ich vernachlässigt habe), somit wurde unsere Formel auf diese Weise nachgewiesen.