Krystian Karczyński pisze:

To dosyć proste. Żeby policzyć np. całkę “poczwórną” po x,y,z,t można policzyć całkę po zmiennej x w jej granicach całkowania. Pozostałe, czyli y,z,t traktujemy jako stałe. Wynik jest funkcją zmiennych y,z,t. Potem z tej funkcji liczymy całkę po zmiennej np. y (po granicach całkowania y). Wynik jest funkcją zmiennych z i t. Z wyniku liczymy całkę np. po z. Wynik jest funkcją zmiennej t. Z wyniku liczymy całkę po t i mamy wynik jako liczbę.

Całki poczwórne i dalej jednak – z tego co wiem – nie mają na dzisiaj praktycznego zastosowania, dlatego kończymy edukację na potrójnych.

Krystian Karczyński pisze:

No to jeżeli chodzi o tą ćwiartkę koła to jest powiedziane, że jest ona JEDNORODNA, przyjmuję więc za \rho =1i podstawiam tylko do odpowiednich wzorów na całki podwójne:

Najpierw masa M:

M=\iint\limits_{D}{\rho \left( x,y \right)dxdx}=\iint\limits_{D}{dxdy}

Żeby policzyć tą całkę korzystam z pewnego patentu, opisanego w moim Kursie . Wiem, że całka podwójna z samego dxdy, “bez” funkcji podcałkowej z jakiegoś obszaru równa jest POLU tego obszaru (czyli ćwiartce koła), zatem:

M=\iint\limits_{D}{dxdy}=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot {{1}^{2}}=\frac{1}{4}pi

Liczę momenty statyczne z wzorów:

{{M}_{x}}=\iint\limits_{D}{ydxdy}

{{M}_{y}}=\iint\limits_{D}{xdxdy}

Oczywiście ze względu na obszar całkowania przechodzę na współrzędne biegunowe: x=r cos \varphi , y=r sin \varphi , gdzie:

\{ \begin{matrix}
&0\le r\le 1 \\
&0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}
\end{matrix}

Czyli mam:

{M}_{x}=\iint\limits_{D}{ydxdy}=\int\limits_{0}^{1}{{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{sin \varphi d\varphi } }rdr}=\ldots =\frac{1}{2}

{{M}_{y}}=\iint\limits_{D}{xdxdy}=\int\limits_{0}^{1}{{ \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{cos \varphi d\varphi } }rdr}=\ldots =\frac{1}{2}

Czyli współrzędne środka ciężkości to:

\left( \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\pi }{4}},\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\pi }{4}} \right)=\left( \frac{2}{\pi },\frac{2}{\pi } \right)