blog

Ogólna instrukcja wpisywania formuł matematycznych

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Gdy przychodzi do korzystania z wielu matematycznych narzędzi (takich jak np. kalkulatory ONLINE) powstaje nam wcale niemały problem, jak napisać takie coś…

{e^x}/{e^x^2+1}

…”żeby komputer zrozumiał”. Czyli nauczenie się wpisywania formuł i wzorów matematycznych z klawiatury komputera.

Nie jest to ani łatwe, ani przyjemne. Nie nastawiajmy się na szybkie sukcesy, a raczej przygotujmy do sporej dawki frustracji, zwłaszcza przy starcie z bardziej złożonymi wyrażeniami.

Podstawowe działania

Zaczynamy od rzeczy prostych. Podstawowe operacje matematyczne oznaczamy jako:

+ dodawanie

odejmowanie

* mnożenie

/ dzielenie

^ potęgowanie

Chcąc więc zapisać wyrażenie: x^2+y^2+z^2, wpisał bym w kalkulator:

x^2+y^2+z^2

A jeśli miałbym do wpisania: (x^2+sin(xy))*z, wpisał bym:

(x^2+sin(xy))*z

Wyrażenia bardziej skomplikowane

Trudniej nam się robi, gdy nasze wyrażenie jest jakby bardziej skomplikowane. Weźmy: {x+y}/x

Jeśli wpiszemy tą formułę “z palca”, jak leci, czyli:

x+y/x

Kalkulator “zrozumie” ją jako: x+y/x, co jest nawet logiczne, bo mądrala zna kolejność działań (najpierw dzielenie, później dodawanie). Trzeba więc samemu wykombinować, żeby cały licznik wziąść w nawias przy wpisywaniu w kalkutor:

(x+y)/x

…choć przecież na wejściu: {x+y}/x tego nawiasu nie było.

Co do pierwiastków: sqrt{x^3+1} wpiszemy jako:

sqrt(x^3+1) , albo jako: (x^3+1)^(1/2) (bo ze średniej pamiętamy, jak to z tymi wykładnikami ułamkowymi było)

Na i na razie chyba tyle, bardzo proszę, zadawajcie pytania w komentarzach i wpisujcie tam wyrażenia, których nie umiecie wpisać poprawnie – będę pomagał i zrobi się z tego z czasem fajny materiał.

No i najważniejsze – NIE PRZEJMUJCIE SIĘ, że idzie to ciężko na początku. Gra jest warta świeczki – a gramy o dostęp do bardziej nowoczesnych matematycznych narzędzi niż kartka papieru i długopis. One naprawdę ułatwiają życie. Wyobraź sobie, że kiedyś w pracy musisz policzyć 10 całek potrójnych – ile czasu zajmie Ci to ręcznym tłuczeniem, a ile kalkulatorem?

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Agnieszka pisze:

    Dzień Dobry.

    Jak w kalkulatorze pochodnych cząstkowych wpisać funkcję z 4 zmiennymi, jakim symbolem oznaczyć czwartą zmienną ?

  2. Witam,

    jak obliczyc równianie różniczkowe y′+y^2⋅sinx=0 ?

    Pozdrawiam i proszę o pomoc.

  3. pisze:

    Jak wpisać wartość bezwzględną ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Po prostu z klawiatury: |…|

      Można też użyć funkcji ‘abs’, na przykład: abs(x-1)

  4. Krystian Karczyński pisze:

    limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator 2 n plus 5 over denominator square root of n squared plus n plus 1 end root end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style n open parentheses 2 plus begin inline style fraction numerator begin display style 5 end style over denominator n end fraction end style close parentheses end style over denominator begin display style square root of n squared open parentheses 1 plus begin inline style 1 over n end style plus begin inline style 1 over n squared end style close parentheses end root end style end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style n open parentheses 2 plus begin inline style fraction numerator begin display style 5 end style over denominator n end fraction end style close parentheses end style over denominator begin display style square root of n squared end root square root of 1 plus begin inline style 1 over n end style plus begin inline style 1 over n squared end style end root end style end fraction equals
equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style n open parentheses 2 plus begin inline style fraction numerator begin display style 5 end style over denominator n end fraction end style close parentheses end style over denominator begin display style open vertical bar n close vertical bar square root of 1 plus begin inline style 1 over n end style plus begin inline style 1 over n squared end style end root end style end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style n open parentheses 2 plus begin inline style fraction numerator begin display style 5 end style over denominator n end fraction end style close parentheses end style over denominator begin display style n square root of 1 plus begin inline style 1 over n end style plus begin inline style 1 over n squared end style end root end style end fraction equals limit as n rightwards arrow infinity of fraction numerator begin display style 2 plus begin inline style fraction numerator begin display style 5 end style over denominator n end fraction end style end style over denominator begin display style square root of 1 plus begin inline style 1 over n end style plus begin inline style 1 over n squared end style end root end style end fraction equals
equals fraction numerator 2 plus 0 over denominator square root of 1 plus 0 plus 0 end root end fraction equals 2dd/a3/9e076ec52d214cd614720d170177.png” alt=”times open parentheses negative 1 close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#183;«/mo»«mfenced»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»” />

    x greater or equal than 1 (znak nierówności się zmienił po pomnożeniu obu stron przez liczbę ujemną)

     

    zakładam że miał Pan na myśli   –x less or equal than negative 1 na samym początku prawda ?83/8b/a40fbf04d8fbbd6bbdd9e916cfb5.png” alt=”A subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential x squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 5 times 0 squared minus 1 squared plus 2 times 0 to the power of 4 plus 2 times 0 squared times 1 squared close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times 0 equals 0″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»A«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«mfenced»«msub»«mi»P«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«mfenced»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»0«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math»” />

    B subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals negative 4 times 0 times 1 times open parentheses 2 minus 0 squared minus 1 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent equals 0

    C subscript 2 equals fraction numerator partial differential squared f open parentheses P subscript 2 close parentheses over denominator partial differential y squared end fraction equals 2 e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 1 squared close parentheses end exponent open parentheses 1 minus 0 squared minus 5 times 1 squared plus 2 times 0 squared times 1 squared plus 2 times 1 to the power of 4 close parentheses equals 2 e to the power of negative 1 end exponent times open parentheses negative 2 close parentheses equals negative 4 over e

    Ponieważ P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses comma space P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses , a funkcja

    f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent jest parzysta, to

    A subscript 3 equals A subscript 2 equals 0

    B subscript 3 equals B subscript 2 equals 0

    C subscript 3 equals C subscript 2 equals negative 4 over e

    Dalej liczymy hesjan:

    H equals open vertical bar table row A B row B C end table close vertical bar equals A times C minus B squared

    H subscript 1 equals A subscript 1 times C subscript 1 minus B subscript 1 superscript 2 equals 2 times 2 minus 0 squared equals 4

    H subscript 2 equals A subscript 2 times C subscript 2 minus B subscript 2 superscript 2 equals 0 times open parentheses negative 4 over e close parentheses minus 0 squared equals 0

    H subscript 3 equals H subscript 2 equals 0

    Ponieważ

    H subscript 1 equals 4 greater than 0 comma space A subscript 1 equals 2 greater than 0,

    to w punkcie P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja osiąga minimum lokalne, i

    f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0

    Ponieważ

    H subscript 2 equals H subscript 3 equals 0

    to w punktach P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses oraz P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses sytuacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań). 

     

    Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek 

    x squared plus y squared equals 1

    dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.

    Odpowiedź:

    f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 0

    5b/4e/4a87bb1fa7976d920fd270009d4b.png” alt=”fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y partial differential x end fraction equals 4″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math»” />

    fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals 12 y squared minus 4

     

    Macierz Hessego ma postać:

    H subscript f left parenthesis x comma y right parenthesis equals open square brackets table row cell 12 x squared minus 4 end cell 4 row 4 cell 12 y squared minus 4 end cell end table close square brackets

     

    H subscript f left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals H subscript f left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals open square brackets table row 20 4 row 4 20 end table close square brackets

    M subscript 1 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 1 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 greater than 0

    M subscript 2 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 2 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 times 20 minus 4 times 4 equals 384 greater than 0

    Zatem w punktach open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses oraz open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses podana funkcja ma minima lokalne właściwe. 

     

    H subscript f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open square brackets table row cell negative 4 end cell 4 row 4 cell negative 4 end cell end table close square brackets

    M subscript 2 left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative 4 close parentheses minus 4 times 4 equals 0

    Na razie nie wiemy, czy w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f ma ekstremum. 

    Dla x equals 0 mamy: f left parenthesis 0 comma y right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared. Wtedy punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to maksimum lokalne funkcji f.

    Dla y equals x mamy:
     f left parenthesis x comma x right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4. Wtedy
    punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to minimum lokalne.

    Zatem w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f nie posiada ekstremum.

     

    Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi: x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5.

     

  5. student pisze:

    Witam,

    Jak obliczyć taką granicę funkcji zmierzającą do nieskończoności (2n+5)/sqrt(n^2+n+1) ?

  6. Szymon364 pisze:

    Witam jak wprowadzić pierwiastek 3 stopnia?

    1. Najlepiej będzie wpisać: sqrt(…)^(1/3) 🙂

  7. karolina pisze:

    Czy można wprowadzić pochodną po lambda?

    1. Najlepiej będzie wpisać funkcję w kalkulator ze zmienioną literką (np. zamiast lambdy wpisać “z” lub dowolną inną). I wtedy, w zależności od kalkulatora można wybrać opcje:

      a) Wpisać cały wzór funkcji wielu zmiennych. Wyskoczą wszystkie proponowane pochodne i wśród nich wybrać tą odpowiednią (np fraction numerator partial differential blank over denominator partial differential z end fraction)

       

      b) wpisać wprost, że potrzebna jest pochodna po konkretnej zmiennej, np “dx (FUNKCJA)”

       

      20/f8/ac8d5e8f241d98bb3025a456efd5.png” alt=”f colon space X rightwards arrow Y” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mo»:«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»X«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mi»Y«/mi»«/math»” />” oznacza, że funkcja f ma dziedzinę w zbiorze X i zbiór wartości w zbiorze Y

      rightwards double arrow: taka strzałka jest jednym ze spójników logicznych i oznacza wynikanie. Przykład:  Zdanie “Jeśli x equals 2, to  x squared equals 4 .” można zapisać następująco “x equals 2 space rightwards double arrow space x squared equals 4“. Jest to wynikanie w jedną stronę, zgodną ze zwrotem strzałki.

      left right double arrow: taka obustronna strzałka jest również spójnikiem logicznym i oznacza tyle, co “wtedy i tylko wtedy”. Z lewej strony wynika prawa, a z prawej lewa. Przykład: x equals 2 space logical or space x equals negative 2 space left right double arrow space x squared equals 4 

      logical or: alternatywa – kolejny spójnik logiczny, odpowiednik słowa “lub”

      logical and: koniunkcja – spójnik logiczny, odpowiednik słowa “i”

      tilde: negacja – spójnik logiczny oznaczający zaprzeczenie

      for all: kwantyfikator duży, ogólny oznaczający “dla każdego … zachodzi …”

      there exists: kwantyfikator mały, szczegółowy oznaczający “istnieje …, takie że …”

      Więcej informacji o spójnikach logicznych można znaleźć w lekcji:
      https://online.etrapez.pl/lesson/lekcja-2-tabele-i-spojniki-logiczne-przypisywanie-wartosci-zdaniom-zlozonym/

       

      Więcej informacji o kwantyfikatorach można znaleźć w lekcji:
      https://online.etrapez.pl/wybor-kursu/matematyka-dyskretna/lekcja-29-kwantyfikatory/

  8. Ella pisze:

    Jak zapisać granice całki?

    1. Jeśli chodzi np o WolframAlphe, to najlepiej jest posłużyć się formułą:

      “integrate((WYRAŻENIE),DOLNA GRANICA CAŁKOWANIA, GÓRNA GRANICA CAŁKOWANIA) ”

      Taka uwaga, słówko “integrate” można również skrócić i wpisać zwykłe “int”, też pójdzie jako całka.

      Czyli np.  ” \int ((2x^3), 0, 7) “

       

      Innym sposobem zapisania granic jest np: “integrate (WYRAŻENIE) from …DOLNA GRANICA.. to ..GÓRNA GRANICA..”

      Np. ” \int (2x^3) from 0 to 7 “

  9. hsj pisze:

    Jak wprowadzić liczby zespolone?

    1. A co dokładnie potrzebujesz wprowadzić? 🙂

       

  10. Robert pisze:

    Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji:

    (x)= licznik pod pierwiastkiem -x^2+2x+15/w mianowniku In(7x -4)

    1. Dziedzina tej funkcji została wyznaczona w tym przykładzie:

  11. Maxi pisze:

    jak wprowadzić log o podstawie 1/2 z (x^2)

  12. Ag pisze:

    tangens hiperboliczny:)

  13. Dawid Rokosz pisze:

    Witam a w jaki sposób mam zapisać takie wyrażenie: ln(x+ √1-3x^2) +e^((x-2)/(3-x)) tam gdzie jest pierwiastek to tyczy się całego wyrażenia (1-3x^2)

    1. J-kob pisze:

      to będzie: ln(x+(1-3*(x)^2)^(1/2))+e^((x-2)/(3-x)) 😉

  14. Natalia pisze:

    Skoro jest to również dla całek niewłaściwych to jak zapisać nieskończoność?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Np. wpisać dwa razy literkę małe o, czyli:

      oo

      Albo angielski wyraz ‘infinity’

  15. Ania pisze:

    “cały licznik wziąść w nawias ”
    nic nie trzeba ‘braść’, wystarczy “wziąĆ” 🙂

  16. Bartek pisze:

    Witam jak wprowadzic lim x-> 0 ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Np. tak: lim_(x->0)

  17. alutka pisze:

    jak wprowadzić ln x?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Normalnie: ‘lnx’. A co, nie wchodzi gdzieś?

    2. Karol pisze:

      wpisując lnx program uznaje to jako logarytm dziesiętny ( tak mi się wydaje bo wpisując: x^y*lnx program pokazuje (x^y log(x)

    3. Akurat WolframAlpha tak ma już zakodowane, że logarytm naturalny wyświetla jako log(x) (czyli po naszemu jakby logarytm dziesiętny).

      Aby wprowadzić do kalkulatora logarytm dziesiętny, trzeba wyjątkowo wyraźnie tą podstawę napisać.

  18. Patryk Rosołowicz pisze:

    Witam, jak w programie 3D Grapher wprowadzić wykres z=x^2+y^2 ?

  19. Milena pisze:

    jak wpisać arctangensa?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Normalnie: arctg(…).

      WolframAlpha odpisze, że zrozumiał to jako t{{g}^{-1}}\left( \ldots \right)i to się ZGADZA, tak jest po “amerykańsku” arcus tangens.

  20. Marta pisze:

    Mam gorącą prośbę, mógłby mi ktoś obliczyc taką pochodną : x^3/(x-1)^2, chodzi mi o dziedzine, granice na koncach przedzialow, cechy szczegolne, miejsca przeciecia sie z osiami, monotonicznosc i ekstremum, druga pochodna tabelka i wykres. Mam takie zadanie a kompletnie go nie umiem;/

  21. Marta pisze:

    jak wpisać pierwiatek 5 stopnia?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      x^(1/5)

  22. Agnieszka pisze:

    Jak zapisać pierwiastek stopnia trzeciego?

    1. Rafał pisze:

      x^(1/3)

  23. Wojciech pisze:

    W jaki sposób wprowadzić liczbę ‘pi’ do kalkulatora?

    1. Wojciech pisze:

      Po prostu trzeba było napisać ‘pi’, już rozgryzłem.