الموضوع: نظرية الاشتقاق للدوال العكسية. تطبيق النظرية لاستنتاج عدة قوانين للاشتقاق.
ملخص
في محاضرتنا هذه، سنغوص في نظرية مثيرة حول اشتقاق الدوال العكسية. سنقوم بإثباتها ونرى كيف يمكن استخدامها لاستنباط مجموعة من قوانين الاشتقاق. بدون هذه النظرية، كان سيكون استنباط هذه القوانين (كما فعلنا مباشرةً من التعريفات في المحاضرة السابقة)، لنقل – معضلة صعبة.
قبل الشروع في النظرية، سيكون من الرائع معرفة ما هي الدالة العكسية، لماذا الدالة العكسية لـ هي ولماذا يجب علينا أن نحد من أنفسنا في هذه الحالة إلى مجال الوسيطات مثل …
استخدام النظرية لاستنباط القوانين هو مهمة شائعة جدًا في حساب التفاضل والتكامل على مستوى الجامعة، لذا قد تنقذ هذه المحاضرة حياتك الأكاديمية يومًا ما.
أنا أقتبس النظرية والبرهان من كتاب فختنهولتز، مع تعديلها هنا وهناك، تصحيح الأخطاء الطباعية، وإجراء بعض التغييرات.
نظرية الاشتقاق للدوال العكسية
إذا كانت الدالة لها دالة عكسية, وفي النقطة لها مشتقة محددة وغير صفرية , عندئذٍ في النقطة المقابلة توجد مشتقة للدالة العكسية وقيمتها في النقطة تساوي .
هل تشعر بالحيرة من هذا التتابع من الرموز؟ في البداية، من المحتمل جدًا، ولكن دعونا نتعمق في هذه النظرية من خلال بعض الأمثلة البسيطة والمحددة.
بالطبع، إليك ترجمة نفس المقطع إلى اللغة العربية مع الحفاظ على نبرة غير رسمية ومرحة مع استخدام مصطلحات رياضية متخصصة:
—
مثال 1
إذا كانت الدالة لديها دالة معكوسة,
1. لنأخذ الدالة في الفترة
2. الدالة المعكوسة لها موجودة وهي – لن أشرح لماذا وسبب هذا القيد على فترة x، عذراً…
وفي النقطة لديها مشتقة محدودة وغير صفرية ,
3. لنأخذ النقطة . مشتقة الدالة موجودة () وفي النقطة قيمتها غير صفرية ().
ثم في النقطة المقابلة لـ النقطة
4. النقطة المقابلة لـ هي قيمة الدالة في النقطة , أي .
في مثالنا:
مشتقة الدالة المعكوسة موجودة
5. بالفعل، الدالة المعكوسة هي ، ومشتقتها تساوي: (من الصيغ الأساسية للمشتقات) وفي النقطة موجودة بالتأكيد وتساوي:
وقيمتها في النقطة تساوي .
6. بالفعل، القيمة المحسوبة في النقطة 5. تساوي:
( – حسبت هذا في النقطة 3.)
أي أن النظرية “تعمل” 🙂
مثال 2
إذا كانت الدالة لديها دالة معكوسة,
1. لنأخذ الدالة الأُسية
2. الدالة المعكوسة لها موجودة وهي – هذا كان في المتوسطة، لن أشرح مرة أخرى (الدوال اللوغاريتمية والأُسية هي دوال معكوسة لبعضها)
وفي النقطة لديها مشتقة محددة ومختلفة عن الصفر ,
3. لنأخذ النقطة . مشتقة الدالة موجودة ( – الصيغ الأساسية للمشتقات) وفي النقطة قيمتها مختلفة عن الصفر ().
ثم في النقطة المقابلة لـ النقطة
4. النقطة المقابلة لـ هي قيمة الدالة في النقطة ، أي .
إذن:
توجد مشتقة الدالة المعكوسة
5. فعلاً، الدالة المعكوسة هي ، ومشتقتها تساوي: (وفقاً للصيغ الأساسية للمشتقات). في النقطة المشتقة موجودة وتساوي:
وقيمتها في النقطة تساوي .
6. بالفعل، القيمة المحسوبة في النقطة 5. تساوي:
( – قمت بحساب ذلك في النقطة 3.)
إذن، النظرية “تعمل” مرة أخرى 🙂
إثبات نظرية مشتقة الدالة العكسية
سنثبت هذه النظرية معتمدين على التفسير الهندسي لمشتقة الدالة في نقطة. كما نتذكر، قيمة مشتقة الدالة في نقطة هي جيب التمام لميل المماس لمنحنى الدالة في تلك النقطة.
في الرسم البياني يبدو الأمر كالتالي:
قيمة المشتقة في نقطة عرفناها في المحاضرات السابقة كجيب تمام الزاوية
دعونا الآن نلاحظ أمراً مثيراً للاهتمام: يمكن تمثيل رسم الدالة العكسية لـ على نفس الرسم البياني، ولكن يجب أن نتذكر قراءته “بشكل معكوس” – أي كأننا نعطي قيم y للمتغيرات x (وبالتالي فإن زيادة المتغيرات في الدالة العكسية هي ، وزيادة القيم المقابلة لها هي ):
لنلاحظ أن قيمة مشت
قة هذه الدالة العكسية في نقطة تساوي:
إذن، نرى أن قيم المشتقات للدالة ودالتها العكسية هي جيوب تمام الزوايا في نفس المثلث القائم.
وهذه الجيوب التمام للزوايا في مثلث قائم (كما نتذكر من المدرسة الثانوية) مرتبطة بالعلاقة:
إذًا (بعد القسمة على كلا الجانبين بـ ):
ومن هنا يترتب استنتاج نظريتنا، أي:
🙂
نهاية الإثبات
اشتقاق صيغ للمشتقات باستخدام نظرية المشتقة للدالة المعكوسة
مثال 3
اشتق صيغة لمشتقة الدالة .
الصيغة التي يجب علينا اشتقاقها هي: .
دالتنا f(x) هي دالة arccosx. الدالة المعكوسة لها هي . المشتقة من الدالة المعكوسة هي .
وفقاً لنظرية المشتقة للدالة المعكوسة، فإن قيمة المشتقة للدالة المعكوسة في النقطة تساوي مقلوب قيمة المشتقة للدالة في النقطة :
أي في أي نقطة :
بعد التحويل:
باستخدام الهوية التريغونومترية، يمكننا استنتاج أن: , وبالتالي لدينا:
الآن انتبه: هو قيمة الدالة في النقطة ، وهو . وبالتالي:
– لأن جيب التمام والجيب التمام المعكوس هما دالتان معكوستان، لدينا إذًا:
في أي نقطة (مع مراعاة الشروط المتعلقة بالمجال، التي تجاهلتها)، وبالتالي تم إثبات صيغتنا بهذه الطريقة.
مثال 4
اشتق صيغة لمشتقة الدالة .
الصيغة التي يجب علينا اشتقاقها هي: .
دالتنا f(x) هي دالة arctgx. الدالة المعكوسة لها هي . المشتقة من الدالة المعكوسة هي .
وفقًا لنظرية المشتقة للدالة المعكوسة، فإن قيمة المشتقة للدالة المعكوسة في النقطة تساوي مقلوب قيمة المشتقة للدالة في النقطة :
أي في أي نقطة :
بعد التحويل:
باستخدام الهوية التريغونومترية، يمكننا تحويلها أكثر:
الآن انتبه: هو قيمة الدالة في النقطة ، وهو . وبالتالي: – لأن الظل والظل المعكوس هما دالتان معكوستان، لدينا إذًا:
في أي نقطة (مع مراعاة الشروط المتعلقة بالمجال، التي تجاهلتها)، وبالتالي تم إثبات صيغتنا بهذه الطريقة.
نهاية
عند كتابة هذا المقال، استخدمت…
1. “التفاضل والتكامل. الجزء الأول.” لـ G.M. Fichtenholz. النشر في عام 1966.
نستخدم ملفات تعريف الارتباط لتخصيص المحتوى في حال عدت إليها؛ استخدام أدوات تحليلية (Google Analytics, Crazyegg); أدوات تسويقية (Google Ads, Facebook Ads); ويدجتس رياضية (Wolfram|Alpha) بالإضافة إلى تضمين المحتوى من مواقع خارجية (YouTube, Vimeo). تعمل ملفات تعريف الارتباط لمدة تصل إلى 24 شهرًا، ما لم تقم بمسحها مسبقًا. الأطراف الثالثة المذكورة في الأقواس لديها الوصول إلى ملفات تعريف الارتباط. بالنقر على "قبول الكل"، أنت توافق على استخدام جميع ملفات تعريف الارتباط. يمكنك أيضًا تخصيص موافقتك من خلال تعديل الإعدادات. اقرأ المزيد
نستخدم ملفات تعريف الارتباط لتحسين وظائف موقع eTrapez. قسمنا هذه الملفات إلى فئات. بعضها اعتبرناه "ضروريًا". نحتفظ بها في متصفحك لأنها توفر الوظائف الأساسية للموقع. اعتبرنا ملفات تعريف الارتباط الأخرى أقل أهمية ونخزنها في متصفحك فقط بموافقتك. لديك خيار حظر هذه الملفات. بالإضافة إلى ذلك، إلى جانب ملفات تعريف الارتباط الداخلية الخاصة بنا، نستخدم أيضًا ملفات تعريف الارتباط الخارجية من شركات مثل Facebook، Google، Vimeo. اطلع على سياسة الخصوصية وملفات تعريف الارتباط على موقع eTrapez
جميع ملفات تعريف الارتباط الأخرى التي ليست ضرورية لتشغيل الموقع، وخاصة تلك التي تجمع البيانات الشخصية لأغراض تحليلية، إعلانية وغيرها. تتطلب موافقة مستخدم الموقع الإلكتروني.
تُستخدم ملفات تعريف الارتباط الإحصائية لدراسة كيفية تصرف المستخدمين على الموقع الإلكتروني. تساعد في تقديم معلومات حول مؤشرات مثل عدد الزيارات للموقع، معدل الارتداد، مصادر الزيارات وغيرها.
تُستخدم ملفات تعريف الارتباط الخاصة بالأداء لفهم وتحليل المؤشرات الرئيسية للموقع، مثل سرعة عرض المحتوى، عدد مرات مشاهدة الفيديو، إلخ. وذلك لتحسين الموقع بحيث يصبح استخدامه أكثر سهولة ويسر للمستخدمين.
ملفات تعريف الارتباط الوظيفية تساعد في أداء وظائف معينة مثل مشاركة محتوى الموقع على منصات وسائل الاعلام الاجتماعية، جمع التعليقات، وميزات الطرف الثالث الأخرى.