Podstawienia Eulera I rodzaju

Podstawienia Eulera – komu to potrzebne?

Podstawienia Eulera w całkach nieoznaczonych są następną rzeczą, którą wprowadza się po całkach wymiernych, całkach trygonometrycznych i całkach z pierwiastkami (albo według niektórych klasyfikacji: „całkach niewymiernych”). Co oznacza, że większość studentów nie będzie miała przyjemności się z nimi spotkać, nie ująłem ich także w moim Kursie Całek Nieoznaczonych .

Pozostaje jednak całkiem spora grupa studentów na kierunkach matematycznych, albo naprawdę, naprawdę „mocnych” matematycznie, którzy z podstawieniami Eulera muszą się zmierzyć i tych (a także ciekawych) zapraszam. Omówię wszystkie trzy rodzaje podstawień Eulera (w tym poście wezmę się za I rodzaj) i do każdego zrobię po jednym przykładzie.

Jedziemy.

Jakie całki rozwiązujemy podstawieniami Eulera?

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki typu:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

…czyli jakieś dowolne związki x i sqrt{ax^2+bx+c}. Można je więc potraktować jako pewne „przedłużenie” tematu całek z pierwiastkami („niewymiernych”).

Podstawieniami Eulera rozwalamy całki, których nie da się rozwiązać prościej, oczywiście. Na przykład całka:

int{}{}{x/{sqrt{x^2+1}}} to jest całka, w której mamy związek x i sqrt{ax^2+bx+c}, ale można ją rozwiązać bardzo prosto przez głupie podstawienie: t=x^2+1. Nie strzelamy więc z armaty do wróbla i w takich prostych całkach nie męczymy się Eulerem.

Weźmy jednak całkę:

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}

Widzimy, że sytuacja jest poważniejsza, sprawy nie rozwiążą nam znane wcześniej podstawienia t=x^2+4x-4, czy t^2=x^2+4x-4 (nie wyznaczymy z nich x).

Potrzebujemy nowej broni.

 

Podstawienia Eulera – I rodzaj

Mając całkę:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

w której a data-recalc-dims=0″ title=”a>0″/>,

stosujemy podstawienie:

t-sqrt{a}x=sqrt{ax^2+bx+c}

, podnosimy obie strony do kwadratu, składniki ax^2 się skracają (i o to chodzi), wyznaczamy (w kolejności):

x=

sqrt{ax^2+bx+c}=

dx=

, wyrażone związkami t, podstawiamy do całki wyjściowej:

int{}{}{F(x,sqrt{ax^2+bx+c})dx}

i mamy całkę zmiennej t (jeśli ostały nam się w niej jakieś x-sy, to popełniliśmy błąd) i jest to całka wymierna.

 

Uwaga

Warto jeszcze dodać, że w praktyce wielu studentów ma wprowadzone podstawienia Eulera tylko I rodzaju i tylko do całek typu:

int{}{}{F(x,sqrt{x^2+bx+c})dx}

, czyli takich, w których jakby a=1

 

 

Prześledźmy podstawienia Eulera I rodzaju w akcji,  na przykładzie:

Przykład 1

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}

Stwierdzamy, że jest to całka, w której jest związek x i sqrt{ax^2+bx+c}. Że nie da się rozwiązać ją prosto. Że a data-recalc-dims=0″ title=”a>0″/> (a to oczywiście współczynnik przy x^2, w naszym przykładzie jest on równy 1).

Czyli brykać będziemy podstawieniem Eulera I rodzaju.

Podstawiam:

t-sqrt{1}x=sqrt{x^2+4x-4}

czyli po prostu:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

podnoszę obie strony do kwadratu:

(t-x)^2=(sqrt{x^2+4x-4})^2

t^2-2tx+x^2=x^2+4x-4

Składniki z x^2 po obu stronach się skracają (i tak ma właśnie być za każdym razem):

t^2-2tx=4x-4

No i teraz właśnie trzeba wyznaczyć x, sqrt{ax^2+bx+c} i dx (w tej kolejności).

Zaczniemy od x:

t^2-2tx=4x-4

t^2+4=4x+2tx

4x+2tx=t^2+4

x(4+2t)=t^2+4

x={t^2+4}/{2t+4}

Mamy x wyrażone zmienną t. Teraz kolej na sqrt{ax^2+bx+c}, czyli w naszym przykładzie: sqrt{x^2+4x-4}.

Wracamy się do naszego pierwszego podstawienia, w którym było:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

Teraz znamy już x (widać, dlaczego ważna jest kolejność, prawda?), możemy więc napisać:

t-{t^2+4}/{2t+4}=sqrt{x^2+4x-4}

czyli:

sqrt{x^2+4x-4}=t-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t(2t+4)}/{2t+4}-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={2t^2+4t}/{2t+4}-{t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t^2+4t-4}/{2t+4}

Mamy więc sqrt{x^2+4x-4} wyrażone zmienną t.

Na koniec dx, które bierzemy już po prostu różniczkując obie strony wyznaczonego x:

x={t^2+4}/{2t+4}

dx={(t^2+4){prime}(2t+4)-(t^2+4)(2t+4){prime}}/{(2t+4)^2}dt

dx={2t(2t+4)-(t^2+4)2}/{(2t+4)^2}dt

dx={4t^2+8t-2t^2-8}/{(2t+4)^2}dt

dx={2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt

I w ten sposób wyznaczamy dx. Mamy więc:

x={t^2+4}/{2t+4}

sqrt{x^2+4x-4}={t^2+4t-4}/{2t+4}

dx={2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt

Wstawiamy to wszystko do całki wyjściowej:

int{}{}{{dx}/{x{sqrt{x^2+4x-4}}}}=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt}/{{{t^2+4}/{2t+4}}{{t^2+4t-4}/{2t+4}}}}=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{(2t+4)^2}dt}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}/{(2t+4)^2}}}

~=int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}

Na pierwszy rzut oka wygląda nam to na nudną, żmudną, ale już znana i schematyczna całka wymierna (rozkład na ułamki proste, drugi czynnik w mianowniku da się jeszcze bardziej rozłożyć). Na ogół tak jest, ale w tym konkretnym przykładzie będziemy mieli trochę szczęścia i przebijanie się przez 3 strony a4 obliczeń zostanie nam oszczędzone:

int{}{}{{{2t^2+8t-8}/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}=int{}{}{{2(t^2+4t-4)/{{(t^2+4)(t^2+4t-4)}}}dt}=int{}{}{{2/{t^2+4}}dt}

~=2*{1/2}arctg{t/2}+C=arctg{t/2}+C

Jak wrócić się podstawieniem? Mieliśmy na początku:

t-x=sqrt{x^2+4x-4}

Stąd oczywiście:

t=sqrt{x^2+4x-4}+x

Czyli nasz wynik to:

~=2*{1/2}arctg{t/2}+C=arctg{t/2}+C=arctg{{sqrt{x^2+4x-4}+x}/2}+C

CDN. (mamy jeszcze dwa rodzaje podstawień Eulera, co jeśli współczynnik a nie jest większy od zera?).

Kurs Całki Nieoznaczone

Dołącz do tysięcy studentów, którzy skorzystali z mojego Kursu Video...

  • 7 Lekcji
  • 6 godzin nagrań video
  • 70 pytań testowych i 140 przykładów do zadań domowych
  • materiały bonusowe: video (w tym o liczeniu całek w WolframAlpha) i artykuły
  • cena: 39 zł
Zobacz więcej