导数公式
主题：反函数的导数定理。应用该定理推导出几个导数公式。
摘要
在我们的讲座中，我们将深入探讨反函数导数的这个有趣定理。我们将证明它，并看看如何使用它来推导出一系列导数公式。如果没有这个定理，推导这些公式（就像我们在上一讲中直接从定义中做的那样）可能会是一件相当困难的事情。
在处理这个定理之前，最好先知道什么是反函数，为什么
的反函数是
，以及为什么在这种情况下我们必须限制自己使用像
这样的参数范围……
在大学级别的数学分析中，使用这个定理来推导公式是一个非常常见的任务，所以这堂讲座有可能在你的学术生涯中派上用场。
我引用并修改了费希滕霍尔茨的书中的定理和证明，对其中的一些地方进行了调整、修正了打字错误，并做了一些更改。
反函数的导数定理
如果函数
有一个反函数 
，并且在点
有一个有限且非零的导数
，那么在相应的点
反函数的导数
存在，并且其在的值为
。
这一串符号让你感到困惑吗？一开始很可能是的，但让我们通过几个简单具体的例子深入理解这个定理。
例子 1
如果函数
有一个逆函数
1. 我们取函数 
在区间 
2. 它的逆函数存在，是 
– 对于这个 x 区间的限制，我就不解释了，抱歉…
并且在点
3. 我们取点 
。函数 的导数存在 (
) 并且在点 它的值非零 (
)。
那么在对应点
4. 对应于点 的点 是函数 在点 的值，即 
。
所以在我们的例子中：
逆函数的导数
5. 确实，逆函数是 ，它的导数等于：
(根据基本导数公式) 并且在点 完全存在并等于：
其值在点
6. 确实，在第 5 点计算的 
等于：
(
– 我在第 3 点计算了这个。)
所以定理“有效” 🙂
例子 2
如果函数
1. 我们取指数函数 
2. 它的逆函数存在，是 
– 这是中学内容，我就不再解释了（对数和指数函数是相互逆的）
并且在点
3. 我们取点 
。函数 的导数存在 (
– 基本导数公式) 并且在点 它的值非零 (
)。
那么在对应点
4. 对应于点 的点 是函数 在点 的值，即 
。
所以：
存在逆函数的导数
5. 的确，逆函数是 ，它的导数等于：
（基于基本的导数公式）。在点 ，导数存在且等于：
其值在点
6. 的确，在第5点计算的 等于：
（
– 我在第3点计算了这个）
所以，定理再次“有效” ：)
逆函数导数定理的证明
我们将通过引用函数在点上导数的几何解释来证明这个定理。我们记得，在点上函数的导数值是该点函数图形切线的斜率的正切。
在图形上看起来是这样的：
我们在之前的讲座中定义了点 的导数值为角 
的正切。
现在让我们注意到一个有趣的事实：逆函数 的图形可以在完全相同的图形上表示，但需要记住它是“反向”阅读的 – 即，好像我们为 y 参数分配 x 值（因此，逆函数参数的增量是 
，而相应值的增量是 
）：
我们注意到，这个逆函数在点 的导数值等于：
因此，我们看到函数和其逆函数的导数值是同一个直角三角形中角的正切。
而直角三角形中角的正切（我们从高中记得）与以下关系相连：
所以（在双方
都除以 
后）：
由此得出我们定理的结论，即：
🙂
证明结束
利用逆函数导数定理推导导数公式
示例 3
推导函数 
的导数公式。
我们需要推导的公式是：
。
我们的函数 f(x) 是 arccosx 函数。它的逆函数是 
。逆函数的导数是 
。
根据逆函数导数定理，逆函数在点 的导数值等于函数在点 的导数值的倒数：
即在任意点 ：
经过转换：
利用三角恒等式，我们可以推导出：
，即我们有：
现在注意： 是函数 在点 的值，即 
。因此：
– 因为余弦和反余弦是互为逆函数，所以我们有：
在任意点 (当然满足定义域条件，这点我之前忽略了)，因此我们的公式 
就这样被证明了。
示例 4
推导函数 
的导数公式。
我们需要推导的公式是：
。
我们的函数 f(x) 是 arctgx 函数。它的逆函数是 
。逆函数的导数是 
。
根据逆函数导数定理，逆函数在点 的导数值等于函数在点 的导数值的倒数：
即在任意点 ：
经过转换：
利用三角恒等式，我们可以进一步转换：
现在注意： 是函数 在点 
的值，即 
。因此：
– 因为正切和反正切是互为逆函数，所以我们有：
在任意点 (当然满足定义域条件，这点我之前忽略了)，因此我们的公式 就这样被证明了。
结束
撰写此文时，我参考了…
1. “微积分学. 第一卷.” G.M. Fichtenholz. 1966年出版。