Теорема про похідну оберненої функції.

Формули для похідних

Тема: Теорема про похідну оберненої функції. Застосування теореми для виведення декількох формул похідних.

Резюме

На нашій лекції ми зануримося в цю круту теорему про похідну оберненої функції. Ми її доведемо і побачимо, як використовувати її для визначення цілого ряду формул похідних. Без цієї теореми виведення цих формул (як ми робили це безпосередньо з визначень на попередній лекції) було б, м’яко кажучи, складним.

Перш ніж братися за теорему, було б чудово знати, що таке обернена функція, чому оберненою до є функція і чому ми повинні обмежити себе в цьому випадку до інтервалу аргументів, наприклад, …

Виведення формул за допомогою теореми про похідну оберненої функції є досить частим завданням з математичного аналізу на рівні університету, тому ця лекція може стати в нагоді в університетських битвах.

Теорему та доказ я взяв з книги Фіхтенгольца, розширив, скоротив, виправив помилки та переробив у декількох місцях.

Теорема про похідну оберненої функції

Якщо функція має обернену функцію , та в точці має скінченну і відмінну від нуля похідну , то в відповідній точці існує похідна оберненої функції і її значення в точці дорівнює .

Заплуталися в цьому ланцюжку символів? Спочатку це дуже ймовірно, але давайте глибше зануримося в цю теорему за допомогою кількох простих, конкретних прикладів.

Приклад 1

Якщо функція має обернену функцію ,

1. Візьмемо функцію в інтервалі

2. Обернена функція до неї існує та дорівнює – я не пояснюю чому та навіщо це обмеження в інтервалі x, вибачте…

та в точці має скінченну та відмінну від нуля похідну ,

3. Візьмемо точку . Похідна функції існує () та в точці її значення відрізняється від нуля ().

тоді у відповідній точці точка

4. Відповідна точці точка є значенням функції у точці , тобто .

Отже, в нашому прикладі:

існує похідна оберненої функції

5. Дійсно, обернена функція є , її похідна дорівнює: (за основними формулами похідних) і в точці вона існує і дорівнює:

і її значення в точці дорівнює .

6. Дійсно, розраховане в пункті 5. дорівнює:

( – я розрахував це в пункті 3.)

Отже, Теорема “працює” 🙂

Приклад 2

Якщо функція має обернену функцію ,

1. Візьмемо експоненціальну функцію

2. Обернена до неї функція існує і дорівнює – це було у середній школі, тому не буду знову пояснювати (логарифмічна та експоненціальна функції є оберненими)

та в точці має скінченну та відмінну від нуля похідну ,

3. Візьмемо точку . Похідна функції існує ( – основні формули для похідних) та у точці її значення відрізняється від нуля ().

тоді в відповідній точці точка

4. Відповідна точці точка є значенням функції у точці , а саме .

Отже:

існує похідна оберненої функції

5. Справді, обернена функція є , її похідна дорівнює: (за основними формулами похідних). У точці похідна існує і дорівнює:

і її значення у точці дорівнює .

6. Дійсно, обчислене в пункті 5. дорівнює:

( – я обчислив це в пункті 3.)

Отже, Теорема знову “працює” 🙂

Доведення теореми про похідну оберненої функції

Доведемо цю теорему, посилаючись на геометричне трактування похідної функції в точці. Як пам’ятаємо, значення похідної функції в точці – це тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці.

На графіку це виглядало б так:

Значення похідної в точці ми визначили на попередніх лекціях як тангенс кута

Тепер зауважимо цікаву річ: графік оберненої функції до можна представити на точно такому ж графіку, тільки треба пам’ятати, що читаємо його “навпаки” – тобто, начебто аргументам y призначаємо значення x (таким чином, приростом аргументів оберненої функції є , а приростом відповідних їй значень є ):

Зауважимо, що значення похідної цієї оберненої функції в точці дорівнює:

Отже, можна бачити, що значення похідної з функції та значення похідної її оберненої функції це тангенси кутів у тому самому прямокутному трикутнику.

А такі тангенси кутів у прямокутному трикутнику (як ми пам’ятаємо зі школи) пов’язані залежністю:

Тобто (після поділу з обох сторін на ):

І з цього випливає висновок нашої теореми, а саме:

🙂

КІНЕЦЬ ДОВЕДЕННЯ

Виведення формул для похідних за допомогою теореми про похідну оберненої функції

Приклад 3

Виведіть формулу для похідної функції .

Формула, яку ми маємо вивести, це: .

Наша функція f(x) – це функція arccosx. Обернена до неї функція – це функція . Похідна з оберненої функції – це .

Згідно з теоремою про похідну оберненої функції, значення похідної з оберненої функції в точці дорівнює зворотності значення похідної з функції в точці :