fbpx
blog

Підстановки Ейлера першого роду

Krystian Karczyński

Засновник та керівник сервісу eTrapez.

Магістр математики Познанської Політехніки (Польща). Репетитор з математики з багаторічним досвідом. Творець перших Курсів eTrapez, які здобули величезну популярність серед студентів у всій Польщі.

Живе у Щецині (Польща). Любить прогулянки лісом, відпочинок на пляжі та каякінг.


Підстановки Ейлера – кому це потрібно?

Підстановки Ейлера у невизначених інтегралах це те, що вводять після раціональних інтегралів, тригонометричних інтегралів і інтегралів з коренями (або згідно з деякими класифікаціями: “ірраціональних інтегралів”). Це означає, що більшість студентів не матиме задоволення з ними зіткнутися, я також не включив їх до мого Курсу Невизначених Інтегралів.

Але є досить велика група студентів на математичних напрямках, або справді, справді “сильних” з математики, які мають зіткнутися з підстановками Ейлера, і тих (а також зацікавлених) запрошую. Обговорю всі три типи підстановок Ейлера (у цьому пості візьмуся за перший тип) і до кожного зроблю по одному прикладу.

Поїхали.

Які інтеграли розв’язуємо підстановками Ейлера?

Підстановками Ейлера ми розбиваємо інтеграли типу:

…тобто якісь довільні зв’язки і . Таким чином, їх можна розглядати як певне “продовження” теми інтегралів з коренями (“ірраціональних”).

Okej, przetłumaczę teraz ten nowy fragment na język ukraiński, zachowując te same zasady: —

Підстановками Ейлера ми розбиваємо інтеграли, які не можна вирішити простіше, звісно. Наприклад, інтеграл:

це є інтеграл, у якому маємо зв’язок і , але його можна вирішити дуже просто через дурне підставлення: . Тож не стріляємо з гармати по горобцях і в таких простих інтегралах не мучимося з Ейлером.

Візьмімо ж інтеграл:

Бачимо, що ситуація серйозніша, справу не вирішать нам знайомі раніше підстановки , чи (не визначимо з них ).

Потрібна нам нова зброя.

Підстановки Ейлера – I тип

Маючи інтеграл:

в якому a greater than 0,

застосовуємо підстановку:

, підносимо обидві сторони до квадрату, члени скасовуються (і це мета), визначаємо (в порядку):

, виражені зв’язками t, підставляємо до вихідного інтегралу:

і маємо інтеграл змінної t (якщо у ньому залишились якісь x-и, то ми допустили помилку) і це раціональний інтеграл.

Увага

Варто ще додати, що на практиці багато студентів знайомі тільки з підстановками Ейлера I типу і тільки до інтегралів типу:

, тобто таких, в яких якби

Пройдімося по підстановках Ейлера I типу на прикладі:

Приклад 1

Встановлюємо, що це інтеграл, у якому є зв’язок і . Що його не можна вирішити просто. Що a більше ніж 0 ( це, звісно, коефіцієнт при , у нашому прикладі він дорівнює 1).

Отже, ми будемо використовувати підстановку Ейлера I типу.

Здійснюємо підстановку:

тобто просто:

підносимо обидві сторони до квадрату:

Члени з по обидва боки скорочуються (і так має бути кожного разу):

І тепер саме час визначити , і (у цьому порядку).

Почнемо з :

Маємо виражене через змінну t. Тепер черга на , тобто у нашому прикладі: .

Повертаємося до нашого першого підстановки, де було:

Тепер ми вже знаємо (бачите, чому важливий порядок, правда?), тому можемо написати:

тобто:

Таким чином, маємо виражене через змінну .

В кінці , яке отримуємо просто диференціюючи обидві сторони визначеного :

І таким чином ми визначаємо . Отже, маємо:

Вставляємо це все до вихідного інтегралу:

На перший погляд, це здається нудним, клопітким, але вже знаним і схематичним раціональним інтегралом (розклад на прості дроби, другий множник у знаменнику можна розкласти ще більше). Зазвичай так воно і є, але в цьому конкретному прикладі ми матимемо трохи щастя, і пробиватися через 3 сторінки розрахунків A4 нам буде заощаджено:

Як повернутися до підстановки? Ми мали на початку:

Звідси, звичайно:

Отже, наш результат:

Продовження слідує. (ми ще маємо два типи підстановок Ейлера, що якщо коефіцієнт не більший за нуль?).

Бестселери (Курси лише українською мовою)

Kurs Matura Podstawowa (Formuła 2023 i 2015)

Szkoła Średnia / Autor: Krystian Karczyński

59,00 

Kurs Mechanika - Kinematyka

Studia / Autor: Krystian Karczyński

39,00 

Kurs Matura Rozszerzona (Formuła 2023 i 2015)

Szkoła Średnia / Autor: Krystian Karczyński

59,00 

Kurs Statystyka

Studia / Autor: Krystian Karczyński

39,00 

Переглянути Всі Курси eTrapez (Курси лише українською мовою)

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

Your comment will be publicly visible on our website along with the above signature. You can change or delete your comment at any time. The administrator of personal data provided in this form is eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. The principles of data processing and your related rights are described in our Privace Policy (polish).