Kilka rzeczy, których powinieneś się dobrze nauczyć w średniej, ale nikt Ci tego nie powiedział – część 3 Funkcja kwadratowa

---

Ten post to już trzeci z kolei post, w którym chciałbym zwrócić Ci uwagę na rzeczy, które warto powtórzyć sobie na samym początku nauki matematyki na studiach. Ich szybka powtórka bardzo ułatwi Ci życie na studiach. W poprzednich postach poruszyłem tematy:

Interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej

Kwantyfikatorów

Dzisiaj kolej na funkcję kwadratową.

Funkcja kwadratowa? Ale myśmy to chyba przez dwa miesiące robili…

Temat funkcji kwadratowej jest oczywiście bardzo szeroki i nie chodzi mi w ogóle o to, żeby brać podręcznik ze średniej i przerabiać cały rozdział od deski do deski.

Skupmy się tylko na kilku istotnych szczegółach, niuansach i pułapkach.

Funkcja kwadratowa a równanie kwadratowe

Funkcja kwadratowa to oczywiście coś takiego:

albo:

Gdzie to dowolne liczby. Przykładowe funkcje kwadratowe to:

itd…

Pojęcie funkcji kwadratowej należy odróżniać od pojęcia równania kwadratowego, na przykład:

itd…

To nie to samo!!!!

to funkcja kwadratowa, a to równanie kwadratowe.

Z nierozróżniania funkcji od równania bierze się częsty na studiach…

 Makabryczny błąd numer 1

Licząc na przykład pochodne i mając daną funkcję:

Ludzie często robią coś takiego:

…i liczą sobie dalej co tam potrzeba.

Mylą się tak, ponieważ pamiętają, że można było robić coś takiego na równaniach:

…i na równaniu wszystko jest O.K., można podzielić obustronnie, 0 po prawej podzielone przez 2 daje faktycznie 0 i równania są równoważne (mają takie same rozwiązania).

Tego numeru nie można jednak wykonywać na funkcjach – trzeba by przecież chyba jakoś też ten y po lewej podzielić itd. Po zwykłym podzieleniu wartości funkcji przez 2 otrzymamy inną funkcję!

Co trzeba sobie powtórzyć z funkcji?

Nie tak wiele. Właściwie tylko dwie postaci funkcji: kanoniczną i iloczynową.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Zakładam, że postać ogólną funkcji kwadratowej już mamy:

Jej postać kanoniczna to:

Czyli:

Co to jest a,b i to jakoś tak wiadomo, mało kto ma problem z tym, że .

Można nawet zauważyć, że jeśli w postaci kanonicznej wyciągniemy  przed nawias, otrzymamy:

…co czasami może się przydać, a czasami niekoniecznie.

Jesli uczyłeś się tego licząc na boku współrzędne wierzchołka (zwykle jako i ) i wpisując do wzoru:

 no to oczywiście trochę dookoła, ale też fajnie.

Pamiętaj o na początku wzoru na postać kanoniczną!

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej (jej rozkład na czynniki):

Wracając teraz do naszej ogólnej funkcji kwadratowej:

Bardzo często trzeba będzie “rozłożyć ją na czynniki”, wykorzystując w tym celu postać iloczynową funkcji kwadratowej:

Gdzie i liczymy ze znanych i lubianych wzorów:

Tutaj również musisz pamiętać o na początku wzoru!!!

Zauważ także, że te i nie zawsze istnieją (jeśli delta jest ujemna, to nie istnieją), czyli funkcję nie zawsze da się zapisać w postaci iloczynowej, czyli funkcję kwadratową nie zawsze da się rozłożyć na czynniki.

Co trzeba sobie powtórzyć z równań kwadratowych?

Z równaniami kwadratowymi jak przypuszczam nie jest najgorzej. Raczej radzimy sobie z rozwiązaniem ogólnego równania:

Na przykład:

Liczymy po prostu:

A potem, jeśli delta wyszła nieujemna rozwiązania równania:

Pamiętaj, że tam na dole w mianownikach jest a nie po prostu 2!

Chciałbym jednak zatrzymać się na przypadku szczególnym równania:

Tutaj dochodzi do wielu błędów. Na przykład:

Makabryczny błąd numer 2

Na czym polega błąd właściwie? Liczba 2 jest rzeczywiście rozwiązaniem równania  , ale zostało pominięte zupełnie drugie rozwiązanie tego równania, mianowicie liczba -2. Powinno być:

Rozwiązanie ujemne można pomijać tylko w geometrii (bo odległość nie może być ujemna).

Inny problem z równaniem w postaci: to:

Makabryczny błąd numer 3

Co jest oczywiście bzdurą, bo 2 do kwadratu nie daje -4. W ogóle nic do kwadratu nie daje -4 (Ci którzy mieli już liczby zespolone niech siedzą cicho). Równanie:

…nie ma w ogóle rozwiązań.

Trzeba więc być czujnym. Równanie ma dwa rozwiązania, a równanie nie ma w ogóle rozwiązań.

Zapraszam do spokojnego powtórzenia sobie tego wszystkiego, co było powiedziane do tej pory i oczywiście do pytań w komentarzach.