blog

Kilka Rzeczy, Których Powinieneś Się Dobrze Nauczyć w Średniej, Ale Nikt Ci Tego Nie Powiedział – część 2 Kwantyfikatory

Krystian Karczyński

Formuły matematyczne

Kwantyfikatory – ale tego to w sumie nawet nie było….

No dobra, nie jestem na 100% pewien czy po regularnych, corocznych cięciach materiału kwantyfikatory w ogóle ostały się w szkole średniej. Nie bardzo też chce mi się nawet sprawdzać, bo po co się denerwować.

Powinny być jeszcze na rozszerzonym profilu. Naprawdę powinny.

No dobra, ale po co to komu?

W większości matematycznych definicji i twierdzeń używa się pojęć takich jak: „każdy” i „istnieje”.

Najczęściej w jakiś bardziej złożonych sekwencjach, na przykład „pomiędzy każdymi dwiema liczbami znajduje się nieskończenie wiele liczb” (to takie trochę półformalne i nieścisłe w sumie), albo: „dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej istnieje dokładnie jeden jej pierwiastek”, albo: „istnieje coś-tam-coś-tam, że dla każdego co-innego-coś-tam istnieje jeszcze-inne-coś-tam-coś-tam” (jest to matematyczna definicja jeszcze-innego-czegoś-tam).

Na studiach dostaniesz całą furę w taki sposób podanych definicji i twierdzeń, podyktowanych na szybko i ciurkiem na wykładzie, albo – co gorsza – napisanych od razu na tablicy w postaci:

for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar a subscript n minus g close vertical bar less than epsilon

Dobrze więc by było (zamiast podnosić rękę i pytać się Pana Profesora, czy macie to „przerysować”), żebyś już na starcie umiał takie formuły prawidłowo przeczytać. Mógłbyś wtedy właściwie przejść już od razu do etapów „wgryzania się” w definicję, kilku obserwacji „jak działa” na konkretnych przykładach itd.

Kwantyfikator ogólny i szczegółowy – poznajmy się bliżej

„każdy”, „dla każdego” – to kwantyfikator ogólny, oznaczany jako: forall.

„istnieje”, „istnieje takie” – to kwantyfikator szczegółowy, oznaczany jako: exists.

Stosuję i zalecam takie akurat znaczki zapisu kwantyfikatorów, bo się ze sobą na pewno nie pomylą.

forall – to odwrócona litera wielkie A (od angielskiego „all” – każdy).

exists – to odwrócona litera wielkie E (od angielskiego „exists” – istnieje).

Funkcjonują też inne oznaczenia na kwantyfikatory: Λ („dla każdego”) i V („istnieje”) – ale tymi się zajmować na będę, bo się każdemu mylą.

Formuły matematyczne zapisywane za pomocą kwantyfikatorów

Najprostsze formuły są postaci:

{forall}under{x} – czytamy: „dla każdego x” (można też zapisać: {forall}x, ale znowu się myli, więc nie będę tego robić)

{exists}under{x} – czytamy: „istnieje x”

Na ogół jednak formuły są bardziej skomplikowane, na przykład:

{exists}under{a{in}{bbN}} – czytamy: „istnieje a będące liczbą naturalną”, albo: „istnieje takie a, należące do liczb naturalnych”, czy jakieklwiek inne wyrażenie w języku polskim, oddające istotę sprawy, mianowicie że:

1. Istnieje a

2. a jest liczbą naturalną

Nie ma tu jakiś „sztywnych” językowych reguł na temat jakie musi być każde słówko i czy musi być „istnieje a”, czy też musi być „istnieje takie a”.

Formuły można i najczęściej trzeba, łączyć ze sobą, na przykład:

\underset{x>4}{\mathop{\forall }}\,\underset{n\in N}{\mathop{\exists }}\,

znaczy:

„dla każdego x>4 istnieje takie n należące do liczb naturalnych”

Rozumiemy przez to, że dla każdego x>4 „znajdziemy” jakby n należący do liczb naturalnych, że do każdego takiego x „dobierzemy” odpowiednie n. Kwantyfikatory pozostają ze sobą w logicznym związku, to nie są dwie niezależne formuły zapisane koło siebie.

Co więcej…

Kolejność ma znaczenie

Taką samą formułę jak ostatnia, tylko z zamienioną kolejnością kwantyfikatorów:

\underset{n\in N }{\mathop{\exists }}\,\underset{x>4}{\mathop{\forall }}\,

…przeczytamy już inaczej:

„istnieje takie a będące liczbą naturalną, że dla x większych od 4…”

Rozumiemy, że chodzi o to, że najpierw mamy jakieś n (o którym wiemy, że istnieje) i tylko dla tego ustalonego n zachodzi coś takiego, że dla wszystkich x>4 coś tam się dzieje.

Przykład – dygresja

Klasycznym przykładem jest tutaj definicja jednostajnej i punktowej zbieżności ciąg funkcyjnego, które różnią się tylko… kolejnością kwantyfikatorów (trochę uprościłem te definicje):

Zbieżność punktowa:

Ciąg funkcji f_n(x) jest zbieżny punktowo do funkcji f(x), jeśli:

for all for x of for all for epsilon greater than 0 of there exists for n subscript 0 of for all for n greater or equal than n subscript 0 of open vertical bar f subscript n open parentheses x close parentheses minus f open parentheses x close parentheses close vertical bar less than epsilon

Zbieżność jednostajna:

Ciąg funkcji f_n(x) jest zbieżny jednostajnie do funkcji f(x), jeśli:

for all for x of there exists for n subscript 0 of for all for epsilon greater than 0 of for all for n greater or equal than n subscript 0 of open vertical bar f subscript n open parentheses x close parentheses minus f open parentheses x close parentheses close vertical bar less than epsilon

W definicji zbiezności jednostajnej kwantyfikator, który był na początku punktowej wylądował na końcu. Nie wchodząc w szczegóły zmienia to sens całej formuły.

W zbieżności punktowej NAJPIERW (czytamy od lewej) braliśmy jakiegoś dowolnego x, potem odczytując formułę dochodziliśmy do tego, że dla tego ustalonego na początku x odległości pomiędzy wartościami funkcji z ciągu i funkcji „granicznej” maleją w nieskończoność.

W zbieżności funkcji jednostajnej NAJPIERW stwierdzaliśmy, że odległość pomiędzy wartościami odpowiednich funkcji maleje w nieskończoność, a później dochodziliśmy do tego, że tak się dzieje dla dowolnego x-sa.

Zapis definicji, twierdzenia

Umiejąc czytać kwantyfikatory zapis matemtycznych definicji i twierdzeń jest już dla nas otwarty. Na przykład:

\underset{x\in R}{\mathop{\forall }}\,{{x}^{2}}\ge 0

Przeczytamy jako: „Dla każdej liczby rzeczywistej x , x do kwadratu jest większe lub równe zero”, albo jakoś ładniej: „Każda liczba x podniesiona do kwadratu jest nieujemna” – zdecydowanie jestem za odczytywaniem definicji i twierdzeń jakimś bardziej barwnym językiem.

Zdanie powyżej jest PRAWDZIWE. Nie ma żadnego problemu, żebyśmy pisali też sobie zdania FAŁSZYWE:

\underset{a>0}{\mathop{\exists }}\,\underset{x>a}{\mathop{\forall }}\,\frac{a}{x}>1

Czyli przeczytali byśmy: „Istnieje taka liczba dodatnia a, że dla każdej liczby x większej od tej a, a podzielone przez ten x jest większe od 1”, co jest oczywiście FAŁSZEM (bo liczba dodatnia podzielona przez większą od niej nigdy nie będzie większa od 1 i nie ma takiej liczby).

A biorąc teraz na warsztat definicję granicy ciągu z poprzedniego postu:

Liczbę g nazywamy granicą ciągu a_n, jeśli:

for all for epsilon greater than 0 of there exists for N of for all for n greater than N of open vertical bar a subscript n minus g close vertical bar less than epsilon

Przeczytamy ją tak (dodając trochę objasnień):

„Dla dowolnego epsilon większego do zera znajdziemy taki numer wyrazu ciągu N, że dla każdego wyrazu ciągu a_n o numerze większym od N odległość (wartość bezwzględna to odległość) pomiędzy tym wyrazem ciągu a granicą g będzie mniejsza od epsilon

Można też użyć jakoś bardziej ludzkiego języka:

„Jakbyśmy sobie nie ustawili małą odległość epsilon na początku, znajdziemy taki numer wyrazu ciągu, że wszystkie następne wyrazy tego ciągu będą bliżej granicy g, niż ustalona na początku odległość epsilon

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. Sonia pisze:

    chyba powinnam wysłać Panu kwiaty za zaliczenie ćwiczeń w pierwszym terminie 🙂 po jutrze egzamin, więc zaraz włączam etrapeza ! 😉

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Powodzenia!

  2. Mariuszek pisze:

    A jakie są inne symbole z matematyki ta taka strzałka np X -> Y lub taka podwójna => albo jakieś dziwne litery z alfabetu… Jak to się nazywa?

    1. Anna Zalewska pisze:

      X rightwards arrow Y: taki zapis oznacza kierunek pewnej relacji, np. zapis „f colon space X rightwards arrow Y” oznacza, że funkcja f ma dziedzinę w zbiorze X i zbiór wartości w zbiorze Y

      rightwards double arrow: taka strzałka jest jednym ze spójników logicznych i oznacza wynikanie. Przykład:  Zdanie „Jeśli x equals 2, to  x squared equals 4 .” można zapisać następująco „x equals 2 space rightwards double arrow space x squared equals 4„. Jest to wynikanie w jedną stronę, zgodną ze zwrotem strzałki.

      left right double arrow: taka obustronna strzałka jest również spójnikiem logicznym i oznacza tyle, co „wtedy i tylko wtedy”. Z lewej strony wynika prawa, a z prawej lewa. Przykład: x equals 2 space logical or space x equals negative 2 space \left right double arrow space x squared equals 4 

      logical or: alternatywa – kolejny spójnik logiczny, odpowiednik słowa „lub”

      logical and: koniunkcja – spójnik logiczny, odpowiednik słowa „i”

      tilde: negacja – spójnik logiczny oznaczający zaprzeczenie

      for all: kwantyfikator duży, ogólny oznaczający „dla każdego … zachodzi …”

      there exists: kwantyfikator mały, szczegółowy oznaczający „istnieje …, takie że …”

      Więcej informacji o spójnikach logicznych można znaleźć w lekcji:
      https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/matematyka-dyskretna/lekcja-9-tablice-i-spojniki-logiczne-przypisywanie-wartosci-zdaniom-zlozonym/

       

      Więcej informacji o kwantyfikatorach można znaleźć w lekcji:
      https://akademia.etrapez.pl/wybor-kursu/matematyka-dyskretna/lekcja-29-kwantyfikatory/