blog

Pochodna z pierwiastka – jak wyprowadzić wzór

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


 

Wyprowadzanie wzorów na pochodne funkcji

Wzory na pochodne nie wzięły się z kosmosu, tylko po prostu są one wyprowadzone z definicji pochodnej:

lim{{Delta}x{right}0}{{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}}

Pochodna z pierwiastka

Wyprowadźmy na przykład wzór na pochodną pierwiastka z x: sqrt{x}. Powinniśmy otrzymać wynik: 1/{2sqrt{x}} (tako rzeczą podstawowe wzory na pochodne – wzorek numer 5).

Mamy f(x)=sqrt{x}. Do dzieła. Po podstawieniu do wzoru na pochodną z definicji otrzymamy:

{f{prime}(x)}=lim{{Delta}x{right}0}{ {sqrt{x+{Delta}x}-sqrt{x}}/{{Delta}x} }

Mnożąc licznik i mianownik w następujący sposób…

{lim{{Delta}x{right}0}{ {sqrt{x+{Delta}x}-sqrt{x}}/{{Delta}x} }}*{ {sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}  }

…i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia w liczniku pozbędziemy się w nim niewymierności i wyjdziemy na:

lim{{Delta}x{right}0}{ {x+{Delta}x-x}/{{Delta}x(sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x})} }

x-sy na górze w liczniku się skrócą i otrzymamy…

lim{{Delta}x{right}0}{ {{Delta}x}/{{Delta}x(sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x})} }

…a po skróceniu {Delta}x w liczniku i mianowniku:

lim{{Delta}x{right}0}{1/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}}

Skoro {Delta}x{right}0 oznacza to, że:

lim{{Delta}x{right}0}{1/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}}=1/{sqrt{x}+sqrt{x}}=1/{2sqrt{x}}

Czyli jesteśmy w domu. Wzór na pochodną wyprowadzony.

Możesz pokombinować z innymi wzorami, zachęcam!

Przypadki bardziej ogólne

Zadanie na wyprowadzenie wzoru na pochodną sprowadzi się zawsze do obliczenia odpowiedniej granicy, w której ‘x’ traktujesz jak stałą. Może być ono łatwiejsze, lub trudniejsze, ale możesz stosować w nim metody i sztuczki znane już Tobie z liczenia granic funkcji.

Może z jednym zastrzeżeniem.

Niestety – odpada reguła de l’Hospitala. Dlaczego? No właśnie dlatego, że wykorzystuje się w niej pochodne.

Przypomnę Ci Twoje zadanie – musisz policzyć pochodną funkcji z definicji, bez znajomości wzoru. A regule de l’Hospitala wykorzystuje się właśnie wzory na pochodne i to często!

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Zakupiłem cały pakiet kursów mimo, że już dobijam do wieku emerytalnego i jestem po studiach technicznych. Nie znaczy to jednak , że zainteresowanie matematyką osłabło. Wręcz przeciwnie! Jestem w trakcie ich „konsumowania”. Mogę stwierdzić jedno – to co robicie jest fantastyczne. Pomoc dla wszystkich, czy to uczniów szkół ponadpodstawowych czy też dla studentów. To nie są pieniądze wyrzucone w błoto!

Aleksander M.

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Milena pisze:

    Ile to bedzie pierwiastek 3 stopnia z x^3+y^2 po dwóch zmiennych i jeszcze podwojna pochodna?

    1. f open parentheses x comma y close parentheses equals cube root of x cubed plus y squared end root
fraction numerator partial differential f over denominator partial differential x end fraction equals open parentheses cube root of x cubed plus y squared end root close parentheses apostrophe equals open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of 1 third end exponent close square brackets apostrophe equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent 3 x squared equals x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent
fraction numerator partial differential f over denominator partial differential y end fraction equals open parentheses cube root of x cubed plus y squared end root close parentheses apostrophe equals open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of 1 third end exponent close square brackets apostrophe equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent 2 y equals 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent

      Pochodne drugiego rzędu:

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x squared end fraction equals open square brackets x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals open parentheses x squared close parentheses apostrophe open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent plus x squared open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent 3 x squared equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 x to the power of 4 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y partial differential x end fraction equals open square brackets x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals x squared open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
equals negative 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals negative 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent 2 y equals negative 4 over 3 x squared y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals open square brackets 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals 2 over 3 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals negative 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals negative 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets 3 x squared equals negative 4 over 3 x squared y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent

      fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals open square brackets 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals open parentheses 2 over 3 y close parentheses apostrophe open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent plus 2 over 3 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets 2 y equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 8 over 9 y squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent39/fe/61ab0e5992af85a04dc74214335d.png” alt=”C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x minus C open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x
      C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x space space space divided by colon e to the power of x
      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x squared plus 2 x plus 1 space space space space divided by integral
      C open parentheses x close parentheses equals integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x
      integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x equals integral x squared d x plus integral 2 x d x plus integral d x equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»C«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»C«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»:«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»C«/mi»«mo»`«/mo»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»C«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»” />

      Czyli:

      C open parentheses x close parentheses equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C

      Moje rozwiązanie równania jest więc równe:

      Odp. y equals open parentheses 1 third x cubed plus x squared plus x plus C close parentheses e to the power of x


      Zapraszam do mojego Kursu z równań różniczkowych.

       42/99/551fd746382cfc89fce576167f15.png” alt=”y subscript 2 equals fraction numerator negative b plus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 plus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times begin display style 1 half end style end fraction equals square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root plus 1″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mo»§#8710;«/mo»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msqrt»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math»” />cb/01/b72e7db9d1268925a296a051502e.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of a t end exponent cos left parenthesis b t right parenthesis semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of a t end exponent sin left parenthesis b t right parenthesis” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math»” />

      całka ogólna: x equals e to the power of a t end exponent open parentheses C subscript 1 cos left parenthesis b t right parenthesis plus C subscript 2 sin left parenthesis b t right parenthesis close parentheses

       

      Dla naszego przykładu:

      s subscript 1 equals i semicolon space space space space space s subscript 2 equals negative i

      całki szczególne: x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t

      całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

      95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

      e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

      open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

      z equals C times e to the power of x squared end exponent

      Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

      z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

      z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

      Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

      z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

      C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

      C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

      integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

      C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

      Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

      z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

      Ponieważ z equals 1 over y squared, to

      y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

       

       

      ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

      p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

      u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

      v apostrophe minus 2 v equals 0

      fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

      fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

      integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

      ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

      Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

      e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

      open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

      v equals e to the power of 2 x end exponent

      Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

      u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

      u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

      u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

      u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

      Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

      u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

      Stąd

      p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

      i, odpowiednio,

      y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

      negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

       

       

       

       

  2. Adrian pisze:

    Witam! Czy mógłby mi Pan (lub ktokolwiek kto wie jak to zrobić) pomóc z wyznaczeniem pochodnej funkcji z definicji?f left parenthesis x right parenthesis space equals space 2 to the power of square root of x plus 1 end root end exponentChodzi mi o ogólną pochodną nie w punkcie.7a/37/8a4b954c4bb8e6bed996e8e1122a.png” alt=”y apostrophe minus y equals 0
    fraction numerator d y over denominator d x end fraction minus y equals 0
    fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y space space space space divided by colon y space space divided by times d x
    fraction numerator d y over denominator y end fraction equals d x space space space divided by integral
    integral fraction numerator d y over denominator y end fraction equals integral d x
    ln open vertical bar y close vertical bar equals x plus C space space space space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent
    e to the power of ln open vertical bar y close vertical bar end exponent equals e to the power of x plus C end exponent
    open vertical bar y close vertical bar equals e to the power of x times e to the power of C
    y equals C e to the power of x
    ” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»y«/mi»«mo»`«/mo»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»-«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»:«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§#183;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»y«/mi»«/mrow»«mi»y«/mi»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»y«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»y«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mrow»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»y«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»C«/mi»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»C«/mi»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mspace linebreak=¨newline¨/»«/math»” />

    Mam w ten sposób rozwiązanie równania jednorodnego. W rozwiązaniu tym “uzmienniam stałą” i wiem, że rozwiązanie będzie postaci:

    y equals C open parentheses x close parentheses e to the power of x

    Liczę pochodną z tej postaci:

    y apostrophe equals open square brackets C open parentheses x close parentheses e to the power of x close square brackets apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses open parentheses e to the power of x close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x

    Wstawiam tą postać i jej pochodną do równania na samym początku, czyli do równania y apostrophe minus y equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x, i mam:

    C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x plus C open parentheses x close parentheses e to the power of x minus C open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x
C apostrophe open parentheses x close parentheses e to the power of x equals open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses e to the power of x space space space divided by colon e to the power of x
C apostrophe open parentheses x close parentheses equals x squared plus 2 x plus 1 space space space space divided by integral
C open parentheses x close parentheses equals integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x
integral open parentheses x squared plus 2 x plus 1 close parentheses d x equals integral x squared d x plus integral 2 x d x plus integral d x equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C

    Czyli:

    C open parentheses x close parentheses equals 1 third x cubed plus x squared plus x plus C

    Moje rozwiązanie równania jest więc równe:

    Odp. y equals open parentheses 1 third x cubed plus x squared plus x plus C close parentheses e to the power of x


    Zapraszam do mojego Kursu z równań różniczkowych.

     42/99/551fd746382cfc89fce576167f15.png” alt=”y subscript 2 equals fraction numerator negative b plus square root of increment over denominator 2 a end fraction equals fraction numerator negative 1 plus square root of 1 minus x squared plus C subscript 1 end root over denominator 2 times begin display style 1 half end style end fraction equals square root of negative x squared plus 1 plus C subscript 1 end root plus 1″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»b«/mi»«mo»+«/mo»«msqrt»«mo»§#8710;«/mo»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mi»a«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msqrt»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/msqrt»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«mo»§#183;«/mo»«mstyle displaystyle=¨true¨»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mstyle»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«msqrt»«mo»-«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msub»«mi»C«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«/msqrt»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/math»” />cb/01/b72e7db9d1268925a296a051502e.png” alt=”x subscript 1 equals e to the power of a t end exponent cos left parenthesis b t right parenthesis semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of a t end exponent sin left parenthesis b t right parenthesis” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«msub»«mi»x«/mi»«mn»1«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«mo»;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«msub»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msub»«mo»=«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mi»a«/mi»«mi»t«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»sin«/mi»«mo»(«/mo»«mi»b«/mi»«mi»t«/mi»«mo»)«/mo»«/math»” />

    całka ogólna: x equals e to the power of a t end exponent open parentheses C subscript 1 cos left parenthesis b t right parenthesis plus C subscript 2 sin left parenthesis b t right parenthesis close parentheses

     

    Dla naszego przykładu:

    s subscript 1 equals i semicolon space space space space space s subscript 2 equals negative i

    całki szczególne: x subscript 1 equals e to the power of 0 t end exponent cos t equals cos t semicolon space space space space space x subscript 2 equals e to the power of 0 t end exponent sin t equals sin t

    całka ogólna: x equals e to the power of 0 t end exponent open parentheses C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t close parentheses equals C subscript 1 cos t plus C subscript 2 sin t

    95/a4/4724d4e1b1791055d798cf0ae89d.png” alt=”ln open vertical bar z close vertical bar equals x squared plus C space divided by e to the power of open parentheses horizontal ellipsis close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»ln«/mi»«mfenced open=¨|¨ close=¨|¨»«mi»z«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»§#160;«/mo»«mo»/«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mfenced»«mo»§#8230;«/mo»«/mfenced»«/msup»«/math»” />

    e to the power of ln open vertical bar z close vertical bar end exponent equals e to the power of x squared plus C end exponent

    open vertical bar z close vertical bar equals e to the power of C times e to the power of x squared end exponent

    z equals C times e to the power of x squared end exponent

    Mamy więc postać rozwiązania równania jednorodnego. „Uzmienniam” stałą:

    z equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent

    z apostrophe equals open parentheses C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent close parentheses apostrophe equals C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x

    Wstawiamy wyniki do początkowego równania:

    z apostrophe minus 2 x z equals negative 2 x

    C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent plus C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent times 2 x minus 2 x times C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x

    C apostrophe open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals negative 2 x space divided by divided by e to the power of x squared end exponent

    C apostrophe open parentheses x close parentheses equals negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent space divided by integral

    integral C apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral negative 2 x times e to the power of negative x squared end exponent d x

    C open parentheses x close parentheses equals open vertical bar table row cell negative x squared equals t end cell row cell negative 2 x d x equals d t end cell end table close vertical bar equals integral e to the power of t d t equals e to the power of t plus C equals e to the power of negative x squared end exponent plus C

    Tak wyliczoną stałą wstawiam do równania z „uzmiennioną” stałą:

    z open parentheses x close parentheses equals C open parentheses x close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals open parentheses e to the power of negative x squared end exponent plus C close parentheses times e to the power of x squared end exponent equals 1 plus C e to the power of x squared end exponent

    Ponieważ z equals 1 over y squared, to

    y open parentheses x close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of z open parentheses x close parentheses end root end fraction equals plus-or-minus fraction numerator 1 over denominator square root of 1 plus C e to the power of x squared end exponent end root end fraction

     

     

    ab/8e/0bf95280a848de0390c3cba17c46.png” alt=”p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»p«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»u«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«mi»v«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/math»” />, czyli p equals u v. Wtedy

    p apostrophe equals u apostrophe v plus u v apostrophe, i zapiszemy, podstawiając wyniki do pierwotnego równania:

    u apostrophe v plus u v apostrophe minus 2 u v equals x

    u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

    Wyznaczymy funkcję v equals v open parentheses x close parentheses w taki sposób, żeby wyraz w nawiasie był równym zera:

    v apostrophe minus 2 v equals 0

    fraction numerator d v over denominator d x end fraction equals 2 v

    fraction numerator d v over denominator v end fraction equals 2 d x

    integral fraction numerator d v over denominator v end fraction equals integral 2 d x

    ln open vertical bar v close vertical bar equals 2 x

    Uwaga! Do prawej czężci tego równania stałą C nie dodajemy. Dalej:

    e to the power of ln open vertical bar v close vertical bar end exponent equals e to the power of 2 x end exponent

    open vertical bar v close vertical bar equals e to the power of 2 x end exponent

    v equals e to the power of 2 x end exponent

    Podstawiamy do równania, w ktorym były nawiasy:

    u apostrophe v plus u times open parentheses v apostrophe minus 2 v close parentheses equals x

    u apostrophe times e to the power of 2 x end exponent plus u times 0 equals x

    u apostrophe e to the power of 2 x end exponent equals x

    u apostrophe equals x e to the power of negative 2 x end exponent

    Skorzystamy z wyników, otrzymanych podczas obliczeń w sposób 1:

    u open parentheses x close parentheses equals integral u apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral x e to the power of negative 2 x end exponent d x equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C

    Stąd

    p open parentheses x close parentheses equals u open parentheses x close parentheses times v open parentheses x close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction e to the power of negative 2 x end exponent plus C close parentheses times e to the power of 2 x end exponent equals negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent

    i, odpowiednio,

    y open parentheses x close parentheses equals integral y apostrophe open parentheses x close parentheses d x equals integral p open parentheses x close parentheses d x equals integral open parentheses negative fraction numerator 2 x plus 1 over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 times e to the power of 2 x end exponent close parentheses d x equals

    negative fraction numerator x squared plus x over denominator 4 end fraction plus C subscript 1 over 2 e to the power of 2 x end exponent plus C subscript 2

     

     

     

     

  3. Krzysztof pisze:

    Witam! Czy byłaby możliwość, aby obliczył Pan pochodną z definicji dla jakiejkolwiek funkcji cyklometrycznej ? Pozdrawiam

  4. Krzysztof pisze:

    Witam! Czy byłaby możliwość, aby obliczył Pan pochodną z definicji: (arcsinx)’ ? Pozdrawiam

  5. Klaudia pisze:

    jak obliczyć pochodną y=pierwiastek z x a x0=4?

  6. Kasia933 pisze:

    Jak obliczyć pochodną x+1/ pierwiastek z 1-x ?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      By policzyć pochodną takiej funkcji \displaystyle y=\frac{{x+1}}{{\sqrt{{1-x}}}}
      wykorzystuję wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji, czyli:
      \displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)'=\frac{{f'\cdot g-f\cdot g'}}{{{{g}^{2}}}}

      Stąd otrzymujemy:

      \displaystyle y'=\left( {\frac{{x+1}}{{\sqrt{{1-x}}}}} \right)'=\frac{{\left( {x+1} \right)'\cdot \left( {\sqrt{{1-x}}} \right)-\left( {x+1} \right)\cdot \left( {\sqrt{{1-x}}} \right)'}}{{{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}=

      Wykorzystuję wzór na pochodną pierwiastka, z tym, że pod pierwiastkiem jest „coś więcej niż sam x” (tutaj oznaczyłam to trójkącikiem), dlatego muszę pamiętać o przemnożeniu razy pochodna tego wyrażenia „coś więcej”, tego czegoś w środku.
      Mam więc jakby: \displaystyle \left( {\sqrt{\Delta }} \right)'=\frac{1}{{2\sqrt{\Delta }}}\cdot \Delta '

      No to wracamy do obliczeń pochodnej:

      \displaystyle =\frac{{\left( {1+0} \right)\cdot \sqrt{{1-x}}-\left( {x+1} \right)\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{1-x}}}}\cdot \left( {1-x} \right)'}}{{{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{\sqrt{{1-x}}-\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}\cdot \left( {0-1} \right)}}{{1-x}}=

      \displaystyle =\frac{{\frac{{2\sqrt{{1-x}}}}{{2\sqrt{{1-x}}}}\sqrt{{1-x}}+\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{\frac{{2{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}{{2\sqrt{{1-x}}}}+\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{\frac{{2\left( {1-x} \right)+x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=

      \displaystyle =\frac{{\frac{{2-2x+x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{3-x}}{{2{{{\left( {1-x} \right)}}^{{\frac{1}{2}}}}}}\cdot \frac{1}{{{{{\left( {1-x} \right)}}^{1}}}}=\frac{{3-x}}{{2{{{\left( {1-x} \right)}}^{{\frac{3}{2}}}}}}

    2. Krystian Karczyński pisze:

  7. natalia pisze:

    jak obliczyć pochodną : pierwiastek 3-go stopnia z x+1 ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Zamienić na potęgę i potem już z górki:

      {{\left( \sqrt[3]{x+1} \right)}^{\prime }}={{\left( {{\left( x+1 \right)}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left( x+1 \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{\frac{2}{3}}}}=

      =\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}

  8. Ola pisze:

    Jak wygląda pochodna po v z Z=u^pierwiastek z v

    wiem, że na pewno będzie to u ^pierwiastek z v * ln u ale dlaczego mam, że tam jest jeszcze to podzielone przez 2pierwiastki z v??

  9. Marta pisze:

    A pochodna funkcji y=(8-2x)^1/2 w punkcie x(0)=-5 ?

  10. Roman pisze:

    Witam!
    Dziękuję za powyższe przykłady. A jak można wyprowadzić pochodną a do potęgi x?

  11. pati pisze:

    A co z taką funkcją:

    U(x,y) = [X(1+Y)]^1/2

    Gubię się w wyprowadzaniu pochodnych z tego, co pod pierwiastkiem 🙁

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Będzie tak:

      \frac{\partial U}{\partial X}={{\left( \sqrt{X\left( 1+Y \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}{{\left( X\left( 1+Y \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}\left( 1+Y \right)=\frac{1+Y}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}

      \frac{\partial U}{\partial Y}={{\left( \sqrt{X\left( 1+Y \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}{{\left( X\left( 1+Y \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}\cdot X=\frac{X}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}

      Jak liczymy pochodną po X, traktujemy Y jak stałą, liczbę. Można nawet sobie wyobrazić, że w miejscu Y stoi jakaś konkretna liczba, np. 5.

      Jak liczymy po Y, wtedy odwrotnie, traktujemy X jak stałą 🙂

  12. pati pisze:

    Witam!
    Jak obliczać pochodne po x i po y z funkcji użyteczności, która ma postać U(x,y)= (X^2 + Y^2)^1/2?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam:

      Pochodną po X:

      frac{partial U}{partial X}={{left( sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}{{left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}cdot 2X=frac{X}{sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}

      Pochodną po Y:

      frac{partial U}{partial Y}={{left( sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}{{left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}cdot 2Y=frac{Y}{sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}

      Czyli po prostu tak samo, jak wszystkie pochodne funkcji dwóch zmiennych.

  13. didier pisze:

    Mam problem jak policzyć pochodną z pierwiastek 7 stopnia z x oraz pierwiastek 3 stopnia z x do 4 bo nie pamiętam jak to się robiło a niestety zginęły mi notatki 😉

    1. Krystian Karczyński pisze:

      1. Pochodna z pierwiastka 7 stopnia z x Z DEFINICJI?

      Bo z gotowego wzoru to sprawa jest łatwa:

      {{\left( \sqrt[7]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{7}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{7}{{x}^{\frac{1}{7}-1}}=\frac{1}{7}{{x}^{-\frac{6}{7}}}=\frac{1}{7}\frac{1}{{{x}^{\frac{6}{7}}}}=\frac{1}{7}\frac{1}{\sqrt[7]{{{x}^{6}}}}=\frac{1}{7\sqrt[7]{{{x}^{6}}}}

      Jeśli jednak na pewno na 100% z definicji to wykazał bym tą pochodną z pierwiastka tak:

      \left( \sqrt[7]{x} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }},\frac{\sqrt[7]{x+\Delta x}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt[7]{x\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt[7]{x}\sqrt[7]{1+\tfrac{\Delta x}{x}}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=

      =\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt[7]{x}\left( \sqrt[7]{1+\tfrac{\Delta x}{x}}-1 \right)}{x\cdot \frac{\Delta x}{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt[7]{x}}{x}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}{{x}^{-\frac{6}{7}}}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}

      Tu skorzystał bym z pewnego mniej znanego wzoru na granicę (jak trzeba, to musiał bym jeszcze go wyprowadzić): \underset{\square to 0}{\mathop{\lim }}\frac{{{\left( 1+\square \right)}^{n}}-1}{\square }=n

      No i mam:

      \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}{{x}^{-\frac{6}{7}}}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}={{x}^{-\frac{6}{7}}}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{7}{{x}^{-\frac{6}{7}}}

      Warto zauważyć, że tą metodę można zastosować do wyprowadzania wzoru na pochodną z pierwiastka dowolnego stopnia, a nawet do najbardziej ogólnego wzoru: {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n{{x}^{n-1}}dla dowolnych nrzeczywistych!

      2. Czyli {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}. Można jak wyżej, zamieniając pierwiastek trzeciego stopnia \sqrt[3]{{{x}^{4}}}na potęgę {{x}^{\frac{4}{3}}}.

  14. aaaa pisze:

    ile wynosi pochodna z x / pierwiastek z 5 ???

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Rozumiem, że chodzi o taką pochodną:

      (x/sqrt{5})prime ?

      Najlepiej obliczyć ją tak:

      (x/sqrt{5})prime=({1/sqrt{5}}x)prime=1/sqrt{5}(x)prime=1/sqrt{5}

    2. Iza pisze:

      Czyli można tu zastosowac uogólnienie, że jeżeli pod pierwiastkiem nie ma x wtedy pierwiastek po prostu przepisujemy, a tworzymy pochodną tylko od x, np x*pierwiastek z jakiś dowolnych a*b bedzie wynosić w tym przypadku właśnie niezmieniony pierwiastek z a i b?