DODAJ SOBIE SKRZYDEŁ NA SESJI - ZGARNIJ DWUPAKA RED BULLA!
Razem z każdym zakupem Kursów studenckich otrzymujesz kod na odbiór darmowych Red Bulli.

blog

Pochodna z pierwiastka – jak wyprowadzić wzór

Krystian Karczyński

 

Wyprowadzanie wzorów na pochodne funkcji

Wzory na pochodne nie wzięły się z kosmosu, tylko po prostu są one wyprowadzone z definicji pochodnej:

lim{{Delta}x{right}0}{{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}}

Pochodna z pierwiastka

Wyprowadźmy na przykład wzór na pochodną pierwiastka z x: sqrt{x}. Powinniśmy otrzymać wynik: 1/{2sqrt{x}} (tako rzeczą podstawowe wzory na pochodne – wzorek numer 5).

Mamy f(x)=sqrt{x}. Do dzieła. Po podstawieniu do wzoru na pochodną z definicji otrzymamy:

{f{prime}(x)}=lim{{Delta}x{right}0}{ {sqrt{x+{Delta}x}-sqrt{x}}/{{Delta}x} }

Mnożąc licznik i mianownik w następujący sposób…

{lim{{Delta}x{right}0}{ {sqrt{x+{Delta}x}-sqrt{x}}/{{Delta}x} }}*{ {sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}  }

…i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia w liczniku pozbędziemy się w nim niewymierności i wyjdziemy na:

lim{{Delta}x{right}0}{ {x+{Delta}x-x}/{{Delta}x(sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x})} }

x-sy na górze w liczniku się skrócą i otrzymamy…

lim{{Delta}x{right}0}{ {{Delta}x}/{{Delta}x(sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x})} }

…a po skróceniu {Delta}x w liczniku i mianowniku:

lim{{Delta}x{right}0}{1/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}}

Skoro {Delta}x{right}0 oznacza to, że:

lim{{Delta}x{right}0}{1/{sqrt{x+{Delta}x}+sqrt{x}}}=1/{sqrt{x}+sqrt{x}}=1/{2sqrt{x}}

Czyli jesteśmy w domu. Wzór na pochodną wyprowadzony.

Możesz pokombinować z innymi wzorami, zachęcam!

Przypadki bardziej ogólne

Zadanie na wyprowadzenie wzoru na pochodną sprowadzi się zawsze do obliczenia odpowiedniej granicy, w której 'x' traktujesz jak stałą. Może być ono łatwiejsze, lub trudniejsze, ale możesz stosować w nim metody i sztuczki znane już Tobie z liczenia granic funkcji.

Może z jednym zastrzeżeniem.

Niestety – odpada reguła de l’Hospitala. Dlaczego? No właśnie dlatego, że wykorzystuje się w niej pochodne.

Przypomnę Ci Twoje zadanie – musisz policzyć pochodną funkcji z definicji, bez znajomości wzoru. A regule de l’Hospitala wykorzystuje się właśnie wzory na pochodne i to często!

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Świetny kurs, zagadnienia wytłumaczone w bardzo przystępny sposób. Niech o jego jakości świadczy fakt, że po jednorazowym wysłuchaniu i zrobieniu wszystkich zadań zdałam statystykę, z której miałam już dwa razy warunek.

Ewelina

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. aaaa pisze:

    ile wynosi pochodna z x / pierwiastek z 5 ???

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Rozumiem, że chodzi o taką pochodną:

      (x/sqrt{5})prime ?

      Najlepiej obliczyć ją tak:

      (x/sqrt{5})prime=({1/sqrt{5}}x)prime=1/sqrt{5}(x)prime=1/sqrt{5}

    2. Iza pisze:

      Czyli można tu zastosowac uogólnienie, że jeżeli pod pierwiastkiem nie ma x wtedy pierwiastek po prostu przepisujemy, a tworzymy pochodną tylko od x, np x*pierwiastek z jakiś dowolnych a*b bedzie wynosić w tym przypadku właśnie niezmieniony pierwiastek z a i b?

  2. didier pisze:

    Mam problem jak policzyć pochodną z pierwiastek 7 stopnia z x oraz pierwiastek 3 stopnia z x do 4 bo nie pamiętam jak to się robiło a niestety zginęły mi notatki 😉

    1. Krystian Karczyński pisze:

      1. Pochodna z pierwiastka 7 stopnia z x Z DEFINICJI?

      Bo z gotowego wzoru to sprawa jest łatwa:

      {{\left( \sqrt[7]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{7}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{7}{{x}^{\frac{1}{7}-1}}=\frac{1}{7}{{x}^{-\frac{6}{7}}}=\frac{1}{7}\frac{1}{{{x}^{\frac{6}{7}}}}=\frac{1}{7}\frac{1}{\sqrt[7]{{{x}^{6}}}}=\frac{1}{7\sqrt[7]{{{x}^{6}}}}

      Jeśli jednak na pewno na 100% z definicji to wykazał bym tą pochodną z pierwiastka tak:

      \left( \sqrt[7]{x} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }},\frac{\sqrt[7]{x+\Delta x}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt[7]{x\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt[7]{x}\sqrt[7]{1+\tfrac{\Delta x}{x}}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=

      =\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt[7]{x}\left( \sqrt[7]{1+\tfrac{\Delta x}{x}}-1 \right)}{x\cdot \frac{\Delta x}{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\frac{\sqrt[7]{x}}{x}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}{{x}^{-\frac{6}{7}}}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}

      Tu skorzystał bym z pewnego mniej znanego wzoru na granicę (jak trzeba, to musiał bym jeszcze go wyprowadzić): \underset{\square to 0}{\mathop{\lim }}\frac{{{\left( 1+\square \right)}^{n}}-1}{\square }=n

      No i mam:

      \underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}{{x}^{-\frac{6}{7}}}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}={{x}^{-\frac{6}{7}}}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{7}{{x}^{-\frac{6}{7}}}

      Warto zauważyć, że tą metodę można zastosować do wyprowadzania wzoru na pochodną z pierwiastka dowolnego stopnia, a nawet do najbardziej ogólnego wzoru: {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n{{x}^{n-1}}dla dowolnych nrzeczywistych!

      2. Czyli {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}. Można jak wyżej, zamieniając pierwiastek trzeciego stopnia \sqrt[3]{{{x}^{4}}}na potęgę {{x}^{\frac{4}{3}}}.

  3. pati pisze:

    Witam!
    Jak obliczać pochodne po x i po y z funkcji użyteczności, która ma postać U(x,y)= (X^2 + Y^2)^1/2?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam:

      Pochodną po X:

      \frac{\partial U}{\partial X}={{\left( \sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}{{\left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}\cdot 2X=\frac{X}{\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}

      Pochodną po Y:

      \frac{\partial U}{\partial Y}={{\left( \sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}{{\left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}\cdot 2Y=\frac{Y}{\sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}

      Czyli po prostu tak samo, jak wszystkie pochodne funkcji dwóch zmiennych.

  4. pati pisze:

    A co z taką funkcją:

    U(x,y) = [X(1+Y)]^1/2

    Gubię się w wyprowadzaniu pochodnych z tego, co pod pierwiastkiem 🙁

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Będzie tak:

      \frac{\partial U}{\partial X}={{\left( \sqrt{X\left( 1+Y \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}{{\left( X\left( 1+Y \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}\left( 1+Y \right)=\frac{1+Y}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}

      \frac{\partial U}{\partial Y}={{\left( \sqrt{X\left( 1+Y \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}{{\left( X\left( 1+Y \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}\cdot X=\frac{X}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}

      Jak liczymy pochodną po X, traktujemy Y jak stałą, liczbę. Można nawet sobie wyobrazić, że w miejscu Y stoi jakaś konkretna liczba, np. 5.

      Jak liczymy po Y, wtedy odwrotnie, traktujemy X jak stałą 🙂

  5. Roman pisze:

    Witam!
    Dziękuję za powyższe przykłady. A jak można wyprowadzić pochodną a do potęgi x?

  6. Marta pisze:

    A pochodna funkcji y=(8-2x)^1/2 w punkcie x(0)=-5 ?

  7. Ola pisze:

    Jak wygląda pochodna po v z Z=u^pierwiastek z v

    wiem, że na pewno będzie to u ^pierwiastek z v * ln u ale dlaczego mam, że tam jest jeszcze to podzielone przez 2pierwiastki z v??

  8. natalia pisze:

    jak obliczyć pochodną : pierwiastek 3-go stopnia z x+1 ?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Zamienić na potęgę i potem już z górki:

      {{\left( \sqrt[3]{x+1} \right)}^{\prime }}={{\left( {{\left( x+1 \right)}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left( x+1 \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{\frac{2}{3}}}}=

      =\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}

  9. Kasia933 pisze:

    Jak obliczyć pochodną x+1/ pierwiastek z 1-x ?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      By policzyć pochodną takiej funkcji \displaystyle y=\frac{{x+1}}{{\sqrt{{1-x}}}}
      wykorzystuję wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji, czyli:
      \displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)'=\frac{{f'\cdot g-f\cdot g'}}{{{{g}^{2}}}}

      Stąd otrzymujemy:

      \displaystyle y'=\left( {\frac{{x+1}}{{\sqrt{{1-x}}}}} \right)'=\frac{{\left( {x+1} \right)'\cdot \left( {\sqrt{{1-x}}} \right)-\left( {x+1} \right)\cdot \left( {\sqrt{{1-x}}} \right)'}}{{{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}=

      Wykorzystuję wzór na pochodną pierwiastka, z tym, że pod pierwiastkiem jest „coś więcej niż sam x” (tutaj oznaczyłam to trójkącikiem), dlatego muszę pamiętać o przemnożeniu razy pochodna tego wyrażenia „coś więcej”, tego czegoś w środku.
      Mam więc jakby: \displaystyle \left( {\sqrt{\Delta }} \right)'=\frac{1}{{2\sqrt{\Delta }}}\cdot \Delta '

      No to wracamy do obliczeń pochodnej:

      \displaystyle =\frac{{\left( {1+0} \right)\cdot \sqrt{{1-x}}-\left( {x+1} \right)\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{1-x}}}}\cdot \left( {1-x} \right)'}}{{{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{\sqrt{{1-x}}-\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}\cdot \left( {0-1} \right)}}{{1-x}}=

      \displaystyle =\frac{{\frac{{2\sqrt{{1-x}}}}{{2\sqrt{{1-x}}}}\sqrt{{1-x}}+\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{\frac{{2{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}{{2\sqrt{{1-x}}}}+\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{\frac{{2\left( {1-x} \right)+x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=

      \displaystyle =\frac{{\frac{{2-2x+x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{3-x}}{{2{{{\left( {1-x} \right)}}^{{\frac{1}{2}}}}}}\cdot \frac{1}{{{{{\left( {1-x} \right)}}^{1}}}}=\frac{{3-x}}{{2{{{\left( {1-x} \right)}}^{{\frac{3}{2}}}}}}

  10. Klaudia pisze:

    jak obliczyć pochodną y=pierwiastek z x a x0=4?

  11. Krzysztof pisze:

    Witam! Czy byłaby możliwość, aby obliczył Pan pochodną z definicji: (arcsinx)' ? Pozdrawiam

  12. Krzysztof pisze:

    Witam! Czy byłaby możliwość, aby obliczył Pan pochodną z definicji dla jakiejkolwiek funkcji cyklometrycznej ? Pozdrawiam

  13. Adrian pisze:

    Witam! Czy mógłby mi Pan (lub ktokolwiek kto wie jak to zrobić) pomóc z wyznaczeniem pochodnej funkcji z definicji?f \left parenthesis x right parenthesis space equals space 2 to the power of square root of x plus 1 end root end exponentChodzi mi o ogólną pochodną nie w punkcie.

  14. Milena pisze:

    Ile to bedzie pierwiastek 3 stopnia z x^3+y^2 po dwóch zmiennych i jeszcze podwojna pochodna?

    1. f open parentheses x comma y close parentheses equals cube root of x cubed plus y squared end root
fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction equals open parentheses cube root of x cubed plus y squared end root close parentheses apostrophe equals open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of 1 third end exponent close square brackets apostrophe equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent 3 x squared equals x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent
fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction equals open parentheses cube root of x cubed plus y squared end root close parentheses apostrophe equals open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of 1 third end exponent close square brackets apostrophe equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent 2 y equals 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent

      Pochodne drugiego rzędu:

      fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x squared end fraction equals open square brackets x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals open parentheses x squared close parentheses apostrophe open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent plus x squared open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent 3 x squared equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 x to the power of 4 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent

      fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y \partial differential x end fraction equals open square brackets x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals x squared open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
equals negative 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals negative 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent 2 y equals negative 4 over 3 x squared y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent

      fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals open square brackets 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals 2 over 3 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals negative 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals negative 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets 3 x squared equals negative 4 over 3 x squared y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent

      fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y squared end fraction equals open square brackets 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals open parentheses 2 over 3 y close parentheses apostrophe open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent plus 2 over 3 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals
equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals
equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets 2 y equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 8 over 9 y squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent