Pochodna z pierwiastka

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Wyprowadzanie wzorów na pochodne funkcji

Wzory na pochodne nie wzięły się z kosmosu, tylko po prostu są one wyprowadzone z definicji pochodnej:

Wyprowadźmy na przykład wzór na pochodną pierwiastka z x: . Powinniśmy otrzymać wynik: (tako rzeczą podstawowe wzory na pochodne – wzorek numer 5).

Mamy . Do dzieła. Po podstawieniu do wzoru na pochodną z definicji otrzymamy:

Mnożąc licznik i mianownik w następujący sposób…

…i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia w liczniku pozbędziemy się w nim niewymierności i wyjdziemy na:

x-sy na górze w liczniku się skrócą i otrzymamy…

…a po skróceniu w liczniku i mianowniku:

Skoro oznacza to, że:

Czyli jesteśmy w domu. Wzór na pochodną wyprowadzony.

Możesz pokombinować z innymi wzorami, zachęcam!

Przypadki bardziej ogólne

Zadanie na wyprowadzenie wzoru na pochodną sprowadzi się zawsze do obliczenia odpowiedniej granicy, w której ‘x’ traktujesz jak stałą. Może być ono łatwiejsze, lub trudniejsze, ale możesz stosować w nim metody i sztuczki znane już Tobie z liczenia granic funkcji.

Może z jednym zastrzeżeniem.

Niestety – odpada reguła de l’Hospitala. Dlaczego? No właśnie dlatego, że wykorzystuje się w niej pochodne.

Przypomnę Ci Twoje zadanie – musisz policzyć pochodną funkcji z definicji, bez znajomości wzoru. A regule de l’Hospitala wykorzystuje się właśnie wzory na pochodne i to często!

Bestsellery

Zobacz wszystkie Kursy eTrapez

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Milena pisze:

24 czerwca 2018 o 02:13

Ile to bedzie pierwiastek 3 stopnia z x^3+y^2 po dwóch zmiennych i jeszcze podwojna pochodna?

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  26 czerwca 2018 o 09:27
  
  $f open parentheses x comma y close parentheses equals cube root of x cubed plus y squared end root fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential x end fraction equals open parentheses cube root of x cubed plus y squared end root close parentheses apostrophe equals open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of 1 third end exponent close square brackets apostrophe equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent 3 x squared equals x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent fraction numerator \partial differential f over denominator \partial differential y end fraction equals open parentheses cube root of x cubed plus y squared end root close parentheses apostrophe equals open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of 1 third end exponent close square brackets apostrophe equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals equals 1 third open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent 2 y equals 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent$
  
  Pochodne drugiego rzędu:
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x squared end fraction equals open square brackets x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals open parentheses x squared close parentheses apostrophe open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent plus x squared open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent 3 x squared equals 2 x open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 2 x to the power of 4 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y \partial differential x end fraction equals open square brackets x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals x squared open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals equals negative 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals equals negative 2 over 3 x squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent 2 y equals negative 4 over 3 x squared y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential x \partial differential y end fraction equals open square brackets 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals 2 over 3 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals negative 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals equals negative 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets 3 x squared equals negative 4 over 3 x squared y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent$
  
  $fraction numerator \partial differential squared f over denominator \partial differential y squared end fraction equals open square brackets 2 over 3 y open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals open parentheses 2 over 3 y close parentheses apostrophe open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent plus 2 over 3 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent close square brackets apostrophe equals equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses apostrophe equals equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 4 over 9 y open square brackets open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent close square brackets 2 y equals 2 over 3 open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 2 over 3 end exponent minus 8 over 9 y squared open parentheses x cubed plus y squared close parentheses to the power of negative 5 over 3 end exponent$
Adrian pisze:

13 lutego 2017 o 16:31

Witam! Czy mógłby mi Pan (lub ktokolwiek kto wie jak to zrobić) pomóc z wyznaczeniem pochodnej funkcji z definicji? $f \left parenthesis x \right parenthesis space equals space 2 to the power of square root of x plus 1 end root end exponent$ Chodzi mi o ogólną pochodną nie w punkcie.

Odpowiedz
Krzysztof pisze:

19 stycznia 2017 o 00:06

Witam! Czy byłaby możliwość, aby obliczył Pan pochodną z definicji dla jakiejkolwiek funkcji cyklometrycznej ? Pozdrawiam

Odpowiedz
Krzysztof pisze:

19 stycznia 2017 o 00:05

Witam! Czy byłaby możliwość, aby obliczył Pan pochodną z definicji: (arcsinx)’ ? Pozdrawiam

Odpowiedz
Klaudia pisze:

18 stycznia 2017 o 20:50

jak obliczyć pochodną y=pierwiastek z x a x0=4?

Odpowiedz
Kasia933 pisze:

5 września 2016 o 14:35

Jak obliczyć pochodną x+1/ pierwiastek z 1-x ?

Odpowiedz
1. Joanna Grochowska pisze:
  
  8 września 2016 o 07:02
  
  By policzyć pochodną takiej funkcji $\displaystyle y=\frac{{x+1}}{{\sqrt{{1-x}}}}$
  wykorzystuję wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji, czyli:
  $\displaystyle \left( {\frac{f}{g}} \right)’=\frac{{f’\cdot g-f\cdot g’}}{{{{g}^{2}}}}$
  
  Stąd otrzymujemy:
  
  $\displaystyle y’=\left( {\frac{{x+1}}{{\sqrt{{1-x}}}}} \right)’=\frac{{\left( {x+1} \right)’\cdot \left( {\sqrt{{1-x}}} \right)-\left( {x+1} \right)\cdot \left( {\sqrt{{1-x}}} \right)’}}{{{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}=$
  
  Wykorzystuję wzór na pochodną pierwiastka, z tym, że pod pierwiastkiem jest „coś więcej niż sam x” (tutaj oznaczyłam to trójkącikiem), dlatego muszę pamiętać o przemnożeniu razy pochodna tego wyrażenia „coś więcej”, tego czegoś w środku.
  Mam więc jakby: $\displaystyle \left( {\sqrt{\Delta }} \right)’=\frac{1}{{2\sqrt{\Delta }}}\cdot \Delta ‘$
  
  No to wracamy do obliczeń pochodnej:
  
  $\displaystyle =\frac{{\left( {1+0} \right)\cdot \sqrt{{1-x}}-\left( {x+1} \right)\cdot \frac{1}{{2\sqrt{{1-x}}}}\cdot \left( {1-x} \right)’}}{{{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}=\frac{{\sqrt{{1-x}}-\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}\cdot \left( {0-1} \right)}}{{1-x}}=$
  
  $\displaystyle =\frac{{\frac{{2\sqrt{{1-x}}}}{{2\sqrt{{1-x}}}}\sqrt{{1-x}}+\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{\frac{{2{{{\left( {\sqrt{{1-x}}} \right)}}^{2}}}}{{2\sqrt{{1-x}}}}+\frac{{x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{\frac{{2\left( {1-x} \right)+x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=$
  
  $\displaystyle =\frac{{\frac{{2-2x+x+1}}{{2\sqrt{{1-x}}}}}}{{1-x}}=\frac{{3-x}}{{2{{{\left( {1-x} \right)}}^{{\frac{1}{2}}}}}}\cdot \frac{1}{{{{{\left( {1-x} \right)}}^{1}}}}=\frac{{3-x}}{{2{{{\left( {1-x} \right)}}^{{\frac{3}{2}}}}}}$
2. Krystian Karczyński pisze:
  
  9 września 2016 o 11:20
natalia pisze:

19 stycznia 2014 o 17:30

jak obliczyć pochodną : pierwiastek 3-go stopnia z x+1 ?

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  20 stycznia 2014 o 10:24
  
  Zamienić na potęgę i potem już z górki:
  
  {{\left( \sqrt[3]{x+1} \right)}^{\prime }}={{\left( {{\left( x+1 \right)}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}{{\left( x+1 \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}{{\left( x+1 \right)}^{-\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3}\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{\frac{2}{3}}}}=[/latex]
  
  =\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}[/latex]
Ola pisze:

27 maja 2013 o 09:15

Jak wygląda pochodna po v z Z=u^pierwiastek z v

wiem, że na pewno będzie to u ^pierwiastek z v * ln u ale dlaczego mam, że tam jest jeszcze to podzielone przez 2\pierwiastki z v??

Odpowiedz
Marta pisze:

16 stycznia 2013 o 16:03

A pochodna funkcji y=(8-2x)^1/2 w punkcie x(0)=-5 ?

Odpowiedz
Roman pisze:

2 grudnia 2012 o 01:30

Witam!
Dziękuję za powyższe przykłady. A jak można wyprowadzić pochodną a do potęgi x?

Odpowiedz
pati pisze:

19 września 2012 o 14:51

A co z taką funkcją:

U(x,y) = [X(1+Y)]^1/2

Gubię się w wyprowadzaniu pochodnych z tego, co pod pierwiastkiem 🙁

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  22 września 2012 o 09:17
  
  Będzie tak:
  
  $\frac{\partial U}{\partial X}={{\left( \sqrt{X\left( 1+Y \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}{{\left( X\left( 1+Y \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}\left( 1+Y \right)=\frac{1+Y}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}$
  
  $\frac{\partial U}{\partial Y}={{\left( \sqrt{X\left( 1+Y \right)} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}{{\left( X\left( 1+Y \right) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}\cdot X=\frac{X}{2\sqrt{X\left( 1+Y \right)}}$
  
  Jak liczymy pochodną po X, traktujemy Y jak stałą, liczbę. Można nawet sobie wyobrazić, że w miejscu Y stoi jakaś konkretna liczba, np. 5.
  
  Jak liczymy po Y, wtedy odwrotnie, traktujemy X jak stałą 🙂
pati pisze:

18 września 2012 o 19:32

Witam!
Jak obliczać pochodne po x i po y z funkcji użyteczności, która ma postać U(x,y)= (X^2 + Y^2)^1/2?

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  19 września 2012 o 08:40
  
  Witam:
  
  Pochodną po X:
  
  $frac{partial U}{partial X}={{left( sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}{{left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}cdot 2X=frac{X}{sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$
  
  Pochodną po Y:
  
  $frac{partial U}{partial Y}={{left( sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}{{left( {{X}^{2}}+{{Y}^{2}} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}cdot 2Y=frac{Y}{sqrt{{{X}^{2}}+{{Y}^{2}}}}$
  
  Czyli po prostu tak samo, jak wszystkie pochodne funkcji dwóch zmiennych.
didier pisze:

9 stycznia 2012 o 22:09

Mam problem jak policzyć pochodną z pierwiastek 7 stopnia z x oraz pierwiastek 3 stopnia z x do 4 bo nie pamiętam jak to się robiło a niestety zginęły mi notatki 😉

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  6 września 2012 o 12:04
  
  1. Pochodna z pierwiastka 7 stopnia z x Z DEFINICJI?
  
  Bo z gotowego wzoru to sprawa jest łatwa:
  
  {{\left( \sqrt[7]{x} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{\frac{1}{7}}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{7}{{x}^{\frac{1}{7}-1}}=\frac{1}{7}{{x}^{-\frac{6}{7}}}=\frac{1}{7}\frac{1}{{{x}^{\frac{6}{7}}}}=\frac{1}{7}\frac{1}{\sqrt[7]{{{x}^{6}}}}=\frac{1}{7\sqrt[7]{{{x}^{6}}}}[/latex]
  
  Jeśli jednak na pewno na 100% z definicji to wykazał bym tą pochodną z pierwiastka tak:
  
  \left( \sqrt[7]{x} \right)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\sqrt[7]{x+\Delta x}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\sqrt[7]{x\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\sqrt[7]{x}\sqrt[7]{1+\tfrac{\Delta x}{x}}-\sqrt[7]{x}}{\Delta x}=[/latex]
  
  =\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\sqrt[7]{x}\left( \sqrt[7]{1+\tfrac{\Delta x}{x}}-1 \right)}{x\cdot \frac{\Delta x}{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}\frac{\sqrt[7]{x}}{x}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}{{x}^{-\frac{6}{7}}}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}[/latex]
  
  Tu skorzystał bym z pewnego mniej znanego wzoru na granicę (jak trzeba, to musiał bym jeszcze go wyprowadzić): $\underset{\square to 0}{\mathop{lim }}\frac{{{\left( 1+square \right)}^{n}}-1}{\square }=n$
  
  No i mam:
  
  $\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{lim }}{{x}^{-\frac{6}{7}}}\frac{{{\left( 1+\tfrac{\Delta x}{x} \right)}^{\frac{1}{7}}}-1}{\frac{\Delta x}{x}}={{x}^{-\frac{6}{7}}}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{7}{{x}^{-\frac{6}{7}}}$
  
  Warto zauważyć, że tą metodę można zastosować do wyprowadzania wzoru na pochodną z pierwiastka dowolnego stopnia, a nawet do najbardziej ogólnego wzoru: ${{\left( {{x}^{n}} \right)}^{\prime }}=n{{x}^{n-1}}$ dla dowolnych $n$ rzeczywistych!
  
  2. Czyli {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}[/latex]. Można jak wyżej, zamieniając pierwiastek trzeciego stopnia \sqrt[3]{{{x}^{4}}}[/latex]na potęgę ${{x}^{\frac{4}{3}}}$ .
aaaa pisze:

8 stycznia 2012 o 11:23

ile wynosi pochodna z x / pierwiastek z 5 ???

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  9 stycznia 2012 o 10:53
  
  Rozumiem, że chodzi o taką pochodną:
  
  [pmath](x/sqrt{5})prime[/pmath] ?
  
  Najlepiej obliczyć ją tak:
  
  [pmath](x/sqrt{5})prime=({1/sqrt{5}}x)prime=1/sqrt{5}(x)prime=1/sqrt{5}[/pmath]
2. Iza pisze:
  
  23 listopada 2012 o 17:57
  
  Czyli można tu zastosowac uogólnienie, że jeżeli pod pierwiastkiem nie ma x wtedy pierwiastek po prostu przepisujemy, a tworzymy pochodną tylko od x, np x*pierwiastek z jakiś dowolnych a*b bedzie wynosić w tym przypadku właśnie niezmieniony pierwiastek z a i b?

Najnowsze posty

Cookie	Duration	Description
_ce.cch	session	No description
_ce.s	1 year	No description
_koko_analytics_pages_viewed	6 hours	No description available.
cebsp	session	No description
DEVICE_INFO	5 months 27 days	No description