अद्वितीय फ़ंक्शन के परिप्रेक्ष्य के बारे में प्रमाणण

व्युत्पन्नों के सूत्र

विषय: उलटे फ़ंक्शन की व्युत्पन्न की प्रमेय। प्रमेय का उपयोग करके कई व्युत्पन्न सूत्र निकालना।

सारांश

हमारे लेक्चर में, हम उलटे फ़ंक्शन की व्युत्पन्न की इस दिलचस्प प्रमेय में गोता लगाएंगे। हम इसे साबित करेंगे और देखेंगे कि इसे कैसे इस्तेमाल करके व्युत्पन्न के कई सूत्रों को निकाला जा सकता है। इस प्रमेय के बिना, इन सूत्रों को निकालना (जैसा कि हमने पिछले लेक्चर में सीधे परिभाषाओं से किया था) काफी कठिन होता, हल्के शब्दों में कहें तो – एक मुश्किल काम।

इस प्रमेय पर चर्चा करने से पहले, यह जानना अच्छा होगा कि उलटा फ़ंक्शन क्या है, क्यों का उलटा फ़ंक्शन है, और क्यों इस मामले में हमें तर्कों की श्रेणी को सीमित करना पड़ता है जैसे कि …

विश्वविद्यालय स्तर की गणितीय विश्लेषण में, इस प्रमेय का उपयोग करके सूत्रों को निकालना एक बह ुत ही आम कार्य है, इसलिए यह लेक्चर एक दिन आपके अकादमिक जीवन में काम आ सकता है।

मैंने फिचेनहोल्ज़ की किताब से प्रमेय और प्रमाण लिया है, इसमें यहां-वहां बदलाव किए हैं, टाइपिंग की गलतियों को सुधारा है, और कुछ अन्य परिवर्तन किए हैं।

उलटे फ़ंक्शन की व्युत्पन्न की प्रमेय

यदि फ़ंक्शन का एक उलटा फ़ंक्शन होता है , और बिंदु पर इसकी एक सीमित और शून्य से भिन्न व्युत्पन्न होती है, तो संबंधित बिंदु पर उलटे फ़ंक्शन की व्युत्पन्न मौजूद होती है और इसकी कीमत पर होती है।

इस प्रतीकों की श्रृंखला से भ्रमित हो रहे हैं? शुरुआत में, यह बहुत संभव है, लेकिन आइए हम कुछ सरल और विशिष्ट उदाहरणों के म.

उदाहरण 1

यदि कोई फ़ंक्शन के पास उल्टा फ़ंक्शन हो ,

1. हम फ़ंक्शन को अंतराल में लेते हैं।

2. इसका उल्टा फ़ंक्शन मौजूद है और वह है – मैं इस x अंतराल की सीमा का कारण और व्याख्या नहीं कर रहा हूँ, माफ़ कीजिए…

और बिंदु पर इसका सीमित और शून्य से भिन्न व्युत्पन्न है ,

3. हम बिंदु लेते हैं। फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद है () और बिंदु पर इसका मान शून्य से भिन्न है ()।

तो उस बिंदु के अनुरूप बिंदु

4. बिंदु के अनुरूप बिंदु वह है जो बिंदु के लिए फ़ंक्शन का मान है, अर्थात् ।

तो हमारे उदाहरण में:

उल्टे फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद है

5. वास्तव में, उल्टा फंक्शन है , इसका डेरिवेटिव है: (मूल डेरिवेटिव सूत्रों से) और बिंदु पर बिल्कुल मौजूद है और बराबर है:

और इसका मूल्य बिंदु पर है .

6. वास्तव में, बिंदु 5 में गणना की गई के बराबर है:

( – मैंने इसे बिंदु 3 में गणना की।)

तो यह सिद्धांत “काम करता है” 🙂

उदाहरण 2

यदि कोई फ़ंक्शन के पास एक उल्टा फ़ंक्शन है ,

1. आइए एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन लेते हैं

2. इसका उल्टा फ़ंक्शन मौजूद है जो है – यह स्कूल में पढ़ाया गया था, इसलिए फिर से नहीं समझाऊंगा (लॉगारिदमिक और एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शंस एक दूसरे के उल्टे होते हैं)

और बिंदु पर इसका सीमित और शून्य से अलग डेरिवेटिव होता है,

3. आइए बिंदु लेते हैं। फ़ंक्शन का डेरिवेटिव मौजूद है ( – बुनियादी डेरिवेटिव फॉर्म ुले) और बिंदु पर इसका मान शून्य से अलग है ()।

तो उसके अनुरूप बिंदु में बिंदु

4. बिंदु के अनुरूप बिंदु वह मान है जो फ़ंक्शन का है बिंदु में, यानी ।

इसका मतलब है:

उल्टे फ़ंक्शन का डेरिवेटिव मौजूद है

5. सच में, उल्टा फ़ंक्शन है , इसका डेरिवेटिव बराबर है: (बुनियादी डेरिवेटिव फॉर्मुलों से)। बिंदु पर डेरिवेटिव मौजूद है और बराबर है:

और इसकी कीमत बिंदु में बराबर है ।

6. सच में, 5वें बिंदु में गणना की गई बराबर है:

( – मैंने इसे 3वें बिंदु में गणना किया था।)

तो सिद्धांत फिर से “काम करता है” 🙂

उलटे फंक्शन के डेरिवेटिव पर प्रमेय का प्रमाण

हम इस प्रमेय को साबित करेंगे, बिंदु पर फंक्शन के डेरिवेटिव के ज्यामितीय व्याख्या का संदर्भ लेकर। जैसा कि हम जानते हैं, बिंदु पर फंक्शन के डेरिवेटिव का मान उस बिंदु पर फंक्शन के ग्राफ की स्पर्शरेखा की ढलान के तनजेंट के बराबर होता है।

ग्राफ पर यह कुछ इस प्रकार दिखाई देगा:

बिंदु में डेरिवेटिव का मान हमने पहले के व्याख्यानों में कोण के तनजेंट के रूप में परिभाषित किया था।

अब हम एक रोचक बात पर ध्यान दें: के उलटे फंक्शन का ग्राफ ठीक उसी ग्राफ पर प्रस्तुत किया जा सकता है, बस याद रखें कि इसे “उल्टा” पढ़ा जाता है – अर्थात जैसे कि हम y के मानों को x के मानों से जोड़ ते हैं (इसलिए उलटे फंक्शन के पैरामीटर्स की वृद्धि है, और उनके मानों की वृद्धि है):