फंक्शन की एक्सट्रीमा व्याख्यान 7
विषय: फंक्शन की एक्सट्रीमा के अस्तित्व की पर्याप्त शर्त (डेरिवेटिव के चिन्ह में परिवर्तन)।
सारांश
जैसा कि पिछले व्याख्यान में पाया गया, केवल यह कि एक बिंदु पर फंक्शन का डेरिवेटिव शून्य के बराबर है, यह आवश्यक नहीं है कि स्वयं फंक्शन उस बिंदु पर एक्सट्रीमा प्राप्त करता है। यहाँ हम बताएंगे कि कौन सी शर्तें पर्याप्त हैं, ताकि फंक्शन किसी बिंदु पर एक्सट्रीमा प्राप्त कर सके।
एक्सट्रीमा के अस्तित्व की पर्याप्त शर्तें
मान लीजिए कि x_0 बिंदु के किसी परिवेश में फंक्शन f \left(x \right) का एक सीमित डेरिवेटिव f' \left( x \right) है:
- यदि इस परिवेश में x_0 के बाएँ ओर डेरिवेटिव के मान सकारात्मक हैं, और x_0 के दाएँ ओर नकारात्मक हैं – तो फंक्शन x_0 बिंदु पर अधिकतम मान लेता है
- यदि इस परिवेश में x_0 के बाएँ ओर डेरिवेटिव के मान नकारात्मक हैं, और x_0 के दाएँ ओर सकारात्मक हैं – तो फंक्शन x_0 बिंदु पर न्यूनतम मान लेता है
वास्तव में, पिछले व्याख्यान में प्रस्तुत फंक्शन की मोनोटोनिसिटी के लेमा के अनुसार, यदि फंक्शन का ड
ेरिवेटिव सकारात्मक मान लेता है, इसका मतलब है कि फंक्शन
इसलिए, यदि डेरिवेटिव
बाएं से
यह स्पष्ट है कि ऐसा परिवर्तन हमेशा
समाप्त
इस पोस्ट को लिखते समय मैंने इस्तेमाल किया…
1. “डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस। वॉल्यूम I.” G.M. Fichtenholz. 1966 संस्करण।
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