fbpx

Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji

 

Ekstrema Funkcji Wykład 7

 

Temat: Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji (zmiana znaku pochodnej).

 

Streszczenie

Jak okazało się na poprzednim Wykładzie, samo to, że pochodna funkcji w punkcie równa jest 0 nie musi oznaczać, że sama funkcja osiąga w tym punkcie ekstremum. Tutaj powiemy więc sobie, jakie warunki wystarczą, aby funkcja osiągała w jakimś punkcie ekstremum.

Warunki wystarczające istnienia ekstremum

Załóżmy, że w pewnym otoczeniu punktu x_0 funkcja f(x) posiada pochodną skończoną f{prime}(x):

  1. Jeżeli w tym otoczeniu x_0 na lewo od x_0 wartości pochodnej funkcji są dodatnie, a na prawo od x_0 ujemne – wtedy funkcja przyjmuje maksimum w punkcie x_0
  2. Jeżeli w tym otoczeniu x_0 na lewo od x_0 wartości pochodnej funkcji są ujemne, a na prawo od x_0 dodatnie – wtedy funkcja przyjmuje minimum w punkcie x_0

Istotnie, zgodnie z wprowadzonym na poprzednim Wykładzie Lematem o Monotoniczności Funkcji zmiana jeżeli pochodna funkcji f{prime}(x) przyjmuje wartości dodatnie, oznacza to, że funkcja f(x) jest rosnąca. Jeżeli zaś pochodna f{prime}(x) przyjmuje wartości ujemne, to znaczy, że funkcja f(x) jest malejąca.

Jeżeli więc pochodna f{prime}(x) “zmienia znak”, to oznacza też zmianę monotoniczności funkcji f(x), na przykład w przypadku 1.:

Pochodna na lewo od x_0 jest dodatnia, a na prawo ujemna. Oznacza to, że funkcja f(x) na lewo od x_0 rośnie, a na prawo maleje. Musi to wyglądać więc jakoś tak:
Maksimum - warunek dostateczny istnieniaNa wykresie wyżej mamy wykres funkcji f(x)=2-x^2 (u góry) i jej pochodnej f{prime}(x)=-2x. Widać, że w “lewym” otoczeniu punktu x_0=0 (zaznaczonym na niebiesko) pochodna f{prime}(x) przyjmuje wartości dodatnie, a funkcja f(x) jest rosnąca. W “prawym” otoczeniu punktu x_0=0 (zaznaczonym na czerwono) pochodna f{prime}(x) przyjmuje wartości ujemne, a funkcja f(x) jest malejąca.
Widać, że taka zmiana musi zawsze oznaczać istnienie maksimum w punkcie x_0.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

 

Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie warunek konieczny istnienia ekstremum (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby zobaczyć inny warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w punkcie (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Administratorem danych osobowych podanych w tym formularzu jest eTrapez Usługi Edukacyjne E-Learning Krystian Karczyński. Zasady przetwarzania danych oraz Twoje uprawnienia z tym związane opisane są w Polityce Prywatności.


  1. Porsak2001 pisze:
    31 stycznia 2016 o 18:41

    Jak zawsze super ! 🙂

    Odpowiedz