fbpx

Black Weekend + Cyber Monday! Wszystkie produkty -30%

Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji

 

Ekstrema Funkcji Wykład 7

 

Temat: Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji (zmiana znaku pochodnej).

 

Streszczenie

Jak okazało się na poprzednim Wykładzie, samo to, że pochodna funkcji w punkcie równa jest 0 nie musi oznaczać, że sama funkcja osiąga w tym punkcie ekstremum. Tutaj powiemy więc sobie, jakie warunki wystarczą, aby funkcja osiągała w jakimś punkcie ekstremum.

Warunki wystarczające istnienia ekstremum

Załóżmy, że w pewnym otoczeniu punktu [pmath]x_0[/pmath] funkcja [pmath]f(x)[/pmath] posiada pochodną skończoną [pmath]f{prime}(x)[/pmath]:

  1. Jeżeli w tym otoczeniu [pmath]x_0[/pmath] na lewo od [pmath]x_0[/pmath] wartości pochodnej funkcji są dodatnie, a na prawo od [pmath]x_0[/pmath] ujemne – wtedy funkcja przyjmuje maksimum w punkcie [pmath]x_0[/pmath]
  2. Jeżeli w tym otoczeniu [pmath]x_0[/pmath] na lewo od [pmath]x_0[/pmath] wartości pochodnej funkcji są ujemne, a na prawo od [pmath]x_0[/pmath] dodatnie – wtedy funkcja przyjmuje minimum w punkcie [pmath]x_0[/pmath]

Istotnie, zgodnie z wprowadzonym na poprzednim Wykładzie Lematem o Monotoniczności Funkcji zmiana jeżeli pochodna funkcji [pmath]f{prime}(x)[/pmath] przyjmuje wartości dodatnie, oznacza to, że funkcja [pmath]f(x)[/pmath] jest rosnąca. Jeżeli zaś pochodna [pmath]f{prime}(x)[/pmath] przyjmuje wartości ujemne, to znaczy, że funkcja [pmath]f(x)[/pmath] jest malejąca.

Jeżeli więc pochodna [pmath]f{prime}(x)[/pmath] “zmienia znak”, to oznacza też zmianę monotoniczności funkcji [pmath]f(x)[/pmath], na przykład w przypadku 1.:

Pochodna na lewo od [pmath]x_0[/pmath] jest dodatnia, a na prawo ujemna. Oznacza to, że funkcja [pmath]f(x)[/pmath] na lewo od [pmath]x_0[/pmath] rośnie, a na prawo maleje. Musi to wyglądać więc jakoś tak:
Maksimum - warunek dostateczny istnieniaNa wykresie wyżej mamy wykres funkcji [pmath]f(x)=2-x^2[/pmath] (u góry) i jej pochodnej [pmath]f{prime}(x)=-2x[/pmath]. Widać, że w “lewym” otoczeniu punktu [pmath]x_0=0[/pmath] (zaznaczonym na niebiesko) pochodna [pmath]f{prime}(x)[/pmath] przyjmuje wartości dodatnie, a funkcja [pmath]f(x)[/pmath] jest rosnąca. W “prawym” otoczeniu punktu [pmath]x_0=0[/pmath] (zaznaczonym na czerwono) pochodna [pmath]f{prime}(x)[/pmath] przyjmuje wartości ujemne, a funkcja [pmath]f(x)[/pmath] jest malejąca.
Widać, że taka zmiana musi zawsze oznaczać istnienie maksimum w punkcie [pmath]x_0[/pmath].

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

 

Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie warunek konieczny istnienia ekstremum (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby zobaczyć inny warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w punkcie (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Porsak2001 pisze:

    Jak zawsze super ! 🙂