Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji

Ekstrema Funkcji Wykład 7

Temat: Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji (zmiana znaku pochodnej).

Streszczenie

Jak okazało się na poprzednim Wykładzie, samo to, że pochodna funkcji w punkcie równa jest 0 nie musi oznaczać, że sama funkcja osiąga w tym punkcie ekstremum. Tutaj powiemy więc sobie, jakie warunki wystarczą, aby funkcja osiągała w jakimś punkcie ekstremum.

Istotnie, zgodnie z wprowadzonym na poprzednim Wykładzie Lematem o Monotoniczności Funkcji zmiana jeżeli pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, oznacza to, że funkcja jest rosnąca. Jeżeli zaś pochodna przyjmuje wartości ujemne, to znaczy, że funkcja   jest malejąca.

Jeżeli więc pochodna “zmienia znak”, to oznacza też zmianę monotoniczności funkcji , na przykład w przypadku 1.:

Pochodna na lewo od jest dodatnia, a na prawo ujemna. Oznacza to, że funkcja na lewo od   rośnie, a na prawo maleje. Musi to wyglądać więc jakoś tak:
Na wykresie wyżej mamy wykres funkcji (u góry) i jej pochodnej . Widać, że w “lewym” otoczeniu punktu (zaznaczonym na niebiesko) pochodna przyjmuje wartości dodatnie, a funkcja jest rosnąca. W “prawym” otoczeniu punktu (zaznaczonym na czerwono) pochodna przyjmuje wartości ujemne, a funkcja jest malejąca.

Widać, że taka zmiana musi zawsze oznaczać istnienie maksimum w punkcie .

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. “Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966.

Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie warunek konieczny istnienia ekstremum (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby zobaczyć inny warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w punkcie (następny Wykład) –>

Kliknij, aby powrócić na stronę z wykładami o badaniu przebiegu zmienności funkcji