الشرط الكافي لوجود قيمة قصوى للدالة

القيم القصوى للدوال المحاضرة 7

الموضوع: الشرط الكافي لوجود قيمة قصوى للدالة (تغيير علامة المشتقة).

ملخص

كما اكتشفنا في المحاضرة السابقة، مجرد أن تكون المشتقة لدالة ما في نقطة معينة تساوي صفر لا يعني بالضرورة أن الدالة نفسها تحقق قيمة قصوى في هذه النقطة. هنا سنتحدث إذن عن الشروط التي تكفي لكي تحقق الدالة قيمة قصوى في نقطة ما.

الشروط الكافية لوجود القيم القصوى

لنفترض أنه في بيئة معينة حول نقطة $x_0$ ، الدالة $f \left(x \right)$ لها مشتقة محدودة $f' \left(x \right)$ :

إذا كانت قيم المشتقة للدالة على يسار $x_0$ موجبة، وعلى يمين $x_0$ سالبة – فإن الدالة تأخذ قيمة قصوى في نقطة $x_0$
إذا كانت قيم المشتقة للدالة على يسار $x_0$ سالبة، وعلى يمين $x_0$ موجبة – فإن الدالة تأخذ قيمة دنيا في نقطة $x_0$

فعلا، بناءً على لمة الاحادية للدالة التي تم تقديمها في المحاضرة السابقة، إذا كانت المشتقة للدالة تأخذ قيم موجبة، يعني ذلك أن الدالة في حالة تزايد. وإذا كانت المشتقة تأخذ قيم سالبة، يعني ذلك أن الدالة في حالة تناقص.

إذا كانت المشتقة “تغير علامتها”، هذا يعني أيضًا تغيير في اتجاه ازدياد أو نقصان الدالة , مثل في الحالة 1.:

المشتقة إلى اليسار من موجبة، وإلى اليمين سالبة. يعني هذا أن الدالة تزداد إلى اليسار من وتنقص إلى اليمين. لازم تكون الصورة شكلها كده:
في الرسم البياني أعلاه عندنا رسم بياني للدالة (فوق) ومشتقتها . ملاحظين أن في “الجوار الأيسر” لنقطة (الموضح باللون الأزرق) المشتقة تأخذ قيم موجبة، والدالة في ازدياد. وفي “الجوار الأيمن” للنقطة (الموضح باللون الأحمر) المشتقة تأخذ قيم سالبة، والدالة في تناقص.