Objętość bryły obrotowej – zadanie z haczykiem

Krystian Karczyński

W trudniejszych zadaniach na całki oznaczone często warto zachować czujność – zadanie pozornie bardzo ciężkie można rozwiązać prostym wzorem z gimnazjum.

Zadanie na objętość bryły obrotowej

Powiedzmy, że mamy policzyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej:

x^2+y^2=4x

kręcącej się (no O.K., niech będzie „obracającej się”) dookoła osi OX. Kilka ruchów porządkujących znanych ze szkoły średniej…

x^2+y^2=4x

x^2-4x+y^2=0

x^2-4x+2^2-2^2+y^2=0

(x-2)^2-2^2+y^2=0

(x-2)^2+y^2=2^2

…i orientujemy się, że nasza krzywa to po prostu kółeczko o środku w punkcie (2,0) i promieniu 2. Co teraz? Wyprowadzamy ze wzoru y i forsujemy całką oznaczoną: $V={pi}int{a}{b}{f^2(x)dx}$ ?

Rozwiązanie

Nie… Zatrzymajmy się na chwilę. Wciągnijmy powietrze. Zastanówmy się. Kółeczko… Obraca się… Co nam powstanie w wyniku takiego obrotu? Oczywiście kula. Wzór objętość kuli znamy z gimnazjum:

$V=4/3{pi}R^3$

Promień już znamy (równy jest dwa), czyli:

$V=4/3{pi}2^3=4/3{pi}8=32/3{pi}[j^3]$

No i mamy odpowiedź, nie ruszając nawet całek 🙂

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Tomasz pisze:

20 stycznia 2012 o 22:03

No więc w końcówce pokazujesz genialnie jak umiesz program gimnazjum… pierwszy raz w życiu widzę, że 4*8 jest równe 16… już szybciej jest wszystko całką policzyć i wychodzi w 2 linijkach…

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  21 stycznia 2012 o 01:28
  
  Faktycznie, na końcu był błąd rachunkowy, dzięki za wskazanie, poprawiłem.

Założenia Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów. I dlaczego klasycznej?

29 czerwca 2018 / Joanna Grochowska

read on

O regresji i Metodzie Najmniejszych Kwadratów, czyli skąd wzięły się oszacowania parametrów modelu

15 czerwca 2018 / Joanna Grochowska

read on

Metoda Hellwiga w Excelu dla wielu zmiennych, czyli jak sprawnie wszystko obliczyć (VIDEO)

07 czerwca 2018 / Joanna Grochowska

read on