blog

Objętość bryły obrotowej – zadanie z haczykiem

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


W trudniejszych zadaniach na całki oznaczone często warto zachować czujność – zadanie pozornie bardzo ciężkie można rozwiązać prostym wzorem z gimnazjum.

 

Zadanie na objętość bryły obrotowej

Powiedzmy, że mamy policzyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej:

x^2+y^2=4x

kręcącej się (no O.K., niech będzie “obracającej się”) dookoła osi OX. Kilka ruchów porządkujących znanych ze szkoły średniej…

x^2+y^2=4x

x^2-4x+y^2=0

x^2-4x+2^2-2^2+y^2=0

(x-2)^2-2^2+y^2=0

(x-2)^2+y^2=2^2

…i orientujemy się, że nasza krzywa to po prostu kółeczko o środku w punkcie (2,0) i promieniu 2. Co teraz? Wyprowadzamy ze wzoru y i forsujemy całką oznaczoną: V={pi}int{a}{b}{f^2(x)dx}?

 

Rozwiązanie

Nie… Zatrzymajmy się na chwilę. Wciągnijmy powietrze. Zastanówmy się. Kółeczko… Obraca się… Co nam powstanie w wyniku takiego obrotu? Oczywiście kula. Wzór objętość kuli znamy z gimnazjum:

V=4/3{pi}R^3

Promień już znamy (równy jest dwa), czyli:

V=4/3{pi}2^3=4/3{pi}8=32/3{pi}[j^3]

No i mamy odpowiedź, nie ruszając nawet całek 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Nie wyobrażam sobie już studiowania bez eTrapez ! Nareszcie kończą się moje problemy z matematyką.. Na studiach wykładowca tłumaczy szybko i często niezrozumiałym językiem. Tutaj wszystko jest wytłumaczone PROSTYM/ LUDZKIM JĘZYKIEM i na spokojnie Żałuję, że nie znalazłam kursu wcześniej, pomógł mi zrozumieć wiele rzeczy. Szczerze polecam wszystkim, którym matematyka spędza sen z powiek !

Klaudia

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Tomasz pisze:

    No więc w końcówce pokazujesz genialnie jak umiesz program gimnazjum… pierwszy raz w życiu widzę, że 4*8 jest równe 16… już szybciej jest wszystko całką policzyć i wychodzi w 2 linijkach…

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Faktycznie, na końcu był błąd rachunkowy, dzięki za wskazanie, poprawiłem.