blog

Kalkulator do dziedziny

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Przedstawiam kolejny z “moich” kalkulatorów, tym razem wyznaczający dziedzinę funkcji:

Warto zauważyć, że kalkulator wyznaczy także (a przynajmniej się postara) dziedzinę funkcji wielu zmiennych .

Zapraszam zatem do sprawdzania dziedzin (funkcje wpisujemy zgodnie z ogólną instrukcją wpisywania formuł matematycznych).

Poniżej lista innych moich kalkulatorów na blogu:

Kalkulator do pochodnych cząstkowych

Kalkulator do pochodnych

Kalkulator do całek nieoznaczonych

Kalkulator do całek podwójnych

Kalkulator do całek potrójnych

Kalkulator do równań różniczkowych

Kalkulator do szeregów

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Kurs z pewnością godny polecenia, po obejrzeniu kilku kursów stwierdzam, że zostanę z eTrapezem na dłużej! Wszystko wytłumaczone w sposób prosty, zadania domowe zoptymalizowane w taki sposób, że zaczynamy od zadań podstawowych a kończymy na tych trudniejszych.

Konrad

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. teit pisze:

    2x-1/25-x^2+sqrt-1-x-ln(x^2-3x-10) kakulator ma chyba z tym problem

  2. Krystian Karczyński pisze:

    Pierwiastek wpisujemy jako: sqrt(…)

    Czyli na przykład, aby wpisać w kalkulator square root of x squared minus 5 x plus 6 end root , trzeba wpisać:

    sqrt(x^2-5x+6)88/9c/79a6ea4f38d699f43eb23d0cf0e4.png” alt=”plus infinity” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»+«/mo»«mo»§#8734;«/mo»«/math»” />, jeśli:

    for all for M element of straight real numbers of there exists for N of for all for n greater than N of a subscript n greater than M

    Ciąg a subscript n jest rozbieżny do negative infinity, jeśli:

    for all for M element of straight real numbers of there exists for N of for all for n greater than N of a subscript n less than M
    Trzeba więc wyjść z nierówności

    a subscript n greater than M

    lub:

    a subscript n less than M

    Ma Pan jakiś konkretny przykład?51/4a/9d54b58ea3e7d8fe464d9a5e5151.png” alt=”f open parentheses x comma y close parentheses equals open parentheses x squared plus y squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses x squared plus y squared close parentheses end exponent” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«/msup»«/math»” /> jest parzysta, to

    A subscript 3 equals A subscript 2 equals 0

    B subscript 3 equals B subscript 2 equals 0

    C subscript 3 equals C subscript 2 equals negative 4 over e

    Dalej liczymy hesjan:

    H equals open vertical bar table row A B row B C end table close vertical bar equals A times C minus B squared

    H subscript 1 equals A subscript 1 times C subscript 1 minus B subscript 1 superscript 2 equals 2 times 2 minus 0 squared equals 4

    H subscript 2 equals A subscript 2 times C subscript 2 minus B subscript 2 superscript 2 equals 0 times open parentheses negative 4 over e close parentheses minus 0 squared equals 0

    H subscript 3 equals H subscript 2 equals 0

    Ponieważ

    H subscript 1 equals 4 greater than 0 comma space A subscript 1 equals 2 greater than 0,

    to w punkcie P subscript 1 open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja osiąga minimum lokalne, i

    f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses times e to the power of negative open parentheses 0 squared plus 0 squared close parentheses end exponent equals 0

    Ponieważ

    H subscript 2 equals H subscript 3 equals 0

    to w punktach P subscript 2 open parentheses 0 comma 1 close parentheses oraz P subscript 3 open parentheses 0 comma negative 1 close parentheses sytuacja jest nieznana (potrzebujemy wiele badań). 

     

    Jednak, jak już mówiono powyżej, współrzędne tych punktów spełniają warunek 

    x squared plus y squared equals 1

    dlatego w tych punktach nie ma ekstrema lokalne.

    Odpowiedź:

    f subscript m i n end subscript equals f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 0

    5b/4e/4a87bb1fa7976d920fd270009d4b.png” alt=”fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential x partial differential y end fraction equals fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y partial differential x end fraction equals 4″ align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mo»§#8706;«/mo»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»f«/mi»«/mrow»«mrow»«mo»§#8706;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§#8706;«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«/math»” />

    fraction numerator partial differential squared f over denominator partial differential y squared end fraction equals 12 y squared minus 4

     

    Macierz Hessego ma postać:

    H subscript f left parenthesis x comma y right parenthesis equals open square brackets table row cell 12 x squared minus 4 end cell 4 row 4 cell 12 y squared minus 4 end cell end table close square brackets

     

    H subscript f left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals H subscript f left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals open square brackets table row 20 4 row 4 20 end table close square brackets

    M subscript 1 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 1 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 greater than 0

    M subscript 2 left parenthesis square root of 2 comma negative square root of 2 right parenthesis equals M subscript 2 left parenthesis negative square root of 2 comma square root of 2 right parenthesis equals 20 times 20 minus 4 times 4 equals 384 greater than 0

    Zatem w punktach open parentheses square root of 2 comma negative square root of 2 close parentheses oraz open parentheses negative square root of 2 comma square root of 2 close parentheses podana funkcja ma minima lokalne właściwe. 

     

    H subscript f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open square brackets table row cell negative 4 end cell 4 row 4 cell negative 4 end cell end table close square brackets

    M subscript 2 left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals open parentheses negative 4 close parentheses times open parentheses negative 4 close parentheses minus 4 times 4 equals 0

    Na razie nie wiemy, czy w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f ma ekstremum. 

    Dla x equals 0 mamy: f left parenthesis 0 comma y right parenthesis equals y to the power of 4 minus 2 y squared. Wtedy punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to maksimum lokalne funkcji f.

    Dla y equals x mamy:
     f left parenthesis x comma x right parenthesis equals x to the power of 4 plus x to the power of 4 minus 2 x squared plus 4 x squared minus 2 x squared equals 2 x to the power of 4. Wtedy
    punkt open parentheses 0 comma 0 close parentheses to minimum lokalne.

    Zatem w punkcie open parentheses 0 comma 0 close parentheses funkcja f nie posiada ekstremum.

     

    Musimy zbadać jeszcze wartości na brzegach wskazanego obszaru ograniczonego prostymi: x equals 0 comma space y equals 0 comma space x plus y equals 5.

     

  3. Teofil pisze:

    Witam,

    mam pytanie jak należy wpisać “pierwiastek” w tym kalkulatorze? Potrzebuję wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x)=logx-1 pierwiastek z z x^2-5x+6  i nie umiem tego zapisac w kalkulatorze.

  4. ktos pisze:

    Jak mam taką funkcje 1/cos(x^2) to czym jest to “n” ?  w tym kalkulatorze 

  5. Student pisze:

    Hej a mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego zwężam dziedzinę (odrzucam przedział od 2 do + inf) w przykładzie [((2-x)^(1/3)) / (x^2+x-6)]? Myślę, że ma to związek z liczbami zespolonymi ale nadal nie rozumiem tego.

    1. Anna Zalewska pisze:

      W przykładzie fraction numerator open parentheses 2 minus x close parentheses to the power of 1 third end exponent over denominator x squared plus x minus 6 end fraction pojawia się pewien problem. 

      Wiemy, że dziedziną wyrażenia cube root of x jest zbiór straight real numbers, ponieważ można obliczyć pierwiastek nieparzystego stopnia również z liczby ujemnej. Jednak definiuje się czasem, że dziedziną wyrażenia x to the power of begin inline style 1 third end style end exponent jest zbiór straight real numbers subscript plus union left curly bracket 0 right curly bracket, ze względu na postać ułamkową wykładnika. Tak też liczą dziedzinę niektóre algorytmy.

      Zapewne powyższy kalkulator wziął pod uwagę warunki: 2 minus x greater or equal than 0 oraz x squared plus x minus 6 not equal to 0. Otrzymujemy open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x less or equal than 2 end cell row cell x not equal to negative 3 logical and x not equal to 2 end cell end table close, czyli D equals open parentheses negative infinity comma negative 3 close parentheses union open parentheses negative 3 comma 2 close parentheses

      Gdybyśmy brali pod uwagę faktyczne własności pierwiastka nieparzystego stopnia, ograniczymy się do warunku x squared plus x minus 6 not equal to 0 i otrzymamy dziedzinę D equals straight real numbers backslash left curly bracket negative 3 comma 2 right curly bracket

      Trzeba przyznać, że jest to zagadnienie wyjątkowo nieprecyzyjne, jak na matematykę 😉

      07/74/4cde70440796ab21c77a684f4eb8.png” alt=”open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 1 equals 0 space logical or space y minus 4 equals 0 space logical or space y equals 0 end cell row cell x equals 0 space logical or space x plus 2 equals 0 space logical or space y minus 2 equals 0 end cell end table close” align=”middle” data-mathml=”«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mfenced open=¨{¨ close=¨¨»«mtable columnalign=¨left¨»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»4«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§#160;«/mo»«mo»§#8744;«/mo»«mo»§#160;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»-«/mo»«mn»2«/mn»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/mfenced»«/math»” />

      open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals negative 1 space logical or space y equals 4 space logical or space y equals 0 end cell row cell x equals 0 space logical or space x equals negative 2 space logical or space y equals 2 end cell end table close

      x equals negative 1 colon space minus 2 times open parentheses negative 1 close parentheses open parentheses negative 1 plus 2 close parentheses open parentheses y minus 2 close parentheses equals 0 rightwards double arrow y equals 2
      y equals 4 colon space minus 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 4 minus 2 close parentheses equals 0 space rightwards double arrow space x equals 0 space logical or space x equals negative 2
      y equals 0 colon space minus 2 x open parentheses x plus 2 close parentheses open parentheses 0 minus 2 close parentheses equals 0 space rightwards double arrow space x equals 0 space logical or space x equals negative 2

      x equals 0 colon space minus 2 open parentheses 0 plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 space rightwards double arrow space y equals 4 space logical or y equals 0x equals negative 2 colon space minus 2 open parentheses negative 2 plus 1 close parentheses open parentheses y minus 4 close parentheses y equals 0 space rightwards double arrow space y equals 4 space logical or y equals 0
      y equals 2 colon space minus 2 open parentheses x plus 1 close parentheses open parentheses 2 minus 4 close parentheses 2 equals 0 space rightwards double arrow space x equals negative 1

      Zatem punkty podejrzane o ekstremum to: open parentheses negative 1 comma 2 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 4 close parentheses comma space open parentheses negative 2 comma 4 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space open parentheses negative 2 comma 0 close parentheses