blog

Kalkulator do Całek Potrójnych (z konkursem)

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Jakiś już czas temu niezastąpiony Wolfram udostępnił nam swój kalkulator do całek potrójnych (trochę go przetłumaczyłem):

Jak widać powyżej kalkulator jest bardzo prosty.W pierwszej linijce wpisujemy funkcję podcałkową i kolejność całkowania. Klikamy ‘Policz’. Mamy wynik 🙂

Oznaczenia funkcji w Wolframie

Trochę problemów mogą sprawić oznaczenia, np. square root of 4 minus x squared end root w granicach całkowania Wolframa trzeba by wpisać jako ‘sqrt(4-x^2)’ – jak w przykładzie powyżej. Zajrzyjcie do Ogólnej Instrukcji Wpisywania Formuł Matematycznych i w razie problemów pytajcie śmiało w komentarzach.

Kalkulator doskonale radzi sobie z obliczeniami bez współrzędnych walcowych, sferycznych, liczbami pie – no jednym słowem MIODZIO.

Przykład 1

Używając kalkulatorka obliczymy sobie całkę potrójną z funkcji f open parentheses x comma y comma z close parentheses equals x y squared z minus 1 w kuli o równaniu x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared plus z squared equals 1.

Po narysowaniu obszar całkowania wyglądał by tak (nie pomoże nam w tym na razie kalkulator niestety):

Kula o środku w punkcie (0,1,0)

Mając pod ręką kalkulator nie wchodzimy nawet we współrzędne sferyczne, takie z nas leniuchy. Opisujemy obszar całkowania normalnie współrzędnymi x,y,z.

Rzutem kuli na płaszczyznę (powiedzmy) xOy będzie koło:

Rzut kuli na płaszczyznę xOy (koło)

W tym kółku ‘x’-sy – powiedzmy znowu – niech zmieniają się w stałych granicach od -1 do 1.

‘y’-ki niech zmieniają się w granicach zmiennych, wyliczamy je z równania kuli biorąc za z equals 0:

x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared plus z squared equals 1

x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared plus 0 squared equals 1

x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared equals 1

open parentheses y minus 1 close parentheses squared equals 1 minus x squared

y minus 1 equals square root of 1 minus x squared end root lub y minus 1 equals negative square root of 1 minus x squared end root

y equals square root of 1 minus x squared end root plus 1 lub y equals negative square root of 1 minus x squared end root plus 1

No i mamy dokładnie granice całkowania dla ‘y’. Granice całkowania dla z wyliczamy (będą to powierzchnie) podobnie z równania:

x squared plus open parentheses y minus 1 close parentheses squared plus z squared equals 1

z squared equals 1 minus x squared minus open parentheses y minus 1 close parentheses squared

z equals square root of 1 minus x squared minus open parentheses y minus 1 close parentheses squared end root lub z equals negative square root of 1 minus x squared minus open parentheses y minus 1 close parentheses squared end root

Sprzątaniem zupełnie się nie przejmujemy, bo mamy kalkulator.

Podsumowując:

Mamy funkcję podcałkową: f open parentheses x comma y comma z close parentheses equals x y squared z minus 1

Mamy obszar całkowania:

Granice całkowania

Wpisanie danych do kalkulatora

Funkcję podcałkową i granice całkowania wpisujemy w kalkulator tak:

Kalkulator z wypełnionymi polami

Kolejność całkowania nam się zgadza (najpierw po ‘z’, potem po ‘y’, na końcu w stałych po ‘x’) czyli już tylko klikamy na ‘Policz’  i mamy wynik:

Wynik z kalkulatora

Mamy więc wynik: -4,18879 , policzony zgrabnie i bez współrzędnych sferycznych.

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Asia pisze:

    Jak wpisać całkę potrójną w kalkulator?
    Nie rozumiem, więc poproszę o przykład.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dodałem mój przykład do posta. Może jeśli masz jakieś swoje to zapodaj – pokażę, jak je wpisać w kalkulator.

  2. Faun pisze:

    Czy przed końcem maja ukaże się jeszcze kurs o całkach wielokrotnych?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, dam radę go skończyć do końca maja.

  3. Monika pisze:

    Jej dziękuje!:D

    1. Krystian Karczyński pisze:

      A jaki Kurs Pani zamawia?

  4. Sebastian pisze:

    dziękuje 😉
    ja bym chętnie pozyskał kurs całki oznaczonej 😉

    PS: Dzięki poprzednim kursom zaliczyłem wszystkie kolokwia i egzamin 😉 Przede mną kolejny i czuje się na siłach aby zaliczyć na solidną ocenę.
    Także jest za co dziękować.

    Pozdrawiam serdecznie

  5. Krystian Karczyński pisze:

    Ogłaszam zakończenie konkursu. Wygrał p. Sebastian i p. Monika, która też podała w sumie dobrą odpowiedź, tylko nie napisała o jaką konkretnie kulę chodzi.

  6. Sebastian pisze:

    objętość kuli o promieniu 2

  7. Sebastian pisze:

    objętość obszaru kuli o promieniu 2

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Można po prostu: objętość kuli o promieniu 2. Gratuluję 🙂

  8. Sebastian pisze:

    objętość obszaru V tej kuli 😉

  9. Sebastian pisze:

    połowa kuli? ćwierć kuli?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie. Nie.

  10. Sebastian pisze:

    wnętrza kuli,

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jakiego konkretnie wnętrza?

  11. Monika pisze:

    Objętość kuli!;p

    1. Krystian Karczyński pisze:

      A konkretniej czego? 🙂

  12. Monika pisze:

    Czy to nie przypadkiem pole kuli?:)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Nie 🙂

  13. Sebastian pisze:

    Wynik jest objętością. (V)

    1. Krystian Karczyński pisze:

      O.K. A konkretnie czego objętością?