Kalkulator do Całek Potrójnych (z konkursem)

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Jakiś już czas temu niezastąpiony Wolfram udostępnił nam swój kalkulator do całek potrójnych (trochę go przetłumaczyłem):

Jak widać powyżej kalkulator jest bardzo prosty.W pierwszej linijce wpisujemy funkcję podcałkową i kolejność całkowania. Klikamy ‘Policz’. Mamy wynik 🙂

Oznaczenia funkcji w Wolframie

Trochę problemów mogą sprawić oznaczenia, np.  w granicach całkowania Wolframa trzeba by wpisać jako ‘sqrt(4-x^2)’ – jak w przykładzie powyżej. Zajrzyjcie do Ogólnej Instrukcji Wpisywania Formuł Matematycznych i w razie problemów pytajcie śmiało w komentarzach.

Kalkulator doskonale radzi sobie z obliczeniami bez współrzędnych walcowych, sferycznych, liczbami ,  – no jednym słowem MIODZIO.

Przykład 1

Używając kalkulatorka obliczymy sobie całkę potrójną z funkcji w kuli o równaniu .

Po narysowaniu obszar całkowania wyglądał by tak (nie pomoże nam w tym na razie kalkulator niestety):

Mając pod ręką kalkulator nie wchodzimy nawet we współrzędne sferyczne, takie z nas leniuchy. Opisujemy obszar całkowania normalnie współrzędnymi x,y,z.

Rzutem kuli na płaszczyznę (powiedzmy) xOy będzie koło:

W tym kółku ‘x’-sy – powiedzmy znowu – niech zmieniają się w stałych granicach od -1 do 1.

‘y’-ki niech zmieniają się w granicach zmiennych, wyliczamy je z równania kuli biorąc za :

 lub 

 lub 

No i mamy dokładnie granice całkowania dla ‘y’. Granice całkowania dla z wyliczamy (będą to powierzchnie) podobnie z równania:

 lub 

Sprzątaniem zupełnie się nie przejmujemy, bo mamy kalkulator.

Podsumowując:

Mamy funkcję podcałkową: 

Mamy obszar całkowania:

Wpisanie danych do kalkulatora

Funkcję podcałkową i granice całkowania wpisujemy w kalkulator tak:

Kolejność całkowania nam się zgadza (najpierw po ‘z’, potem po ‘y’, na końcu w stałych po ‘x’) czyli już tylko klikamy na ‘Policz’  i mamy wynik:

Mamy więc wynik: -4,18879 , policzony zgrabnie i bez współrzędnych sferycznych.