![blog](https://blog.etrapez.pl/wp-content/uploads/sites/3/2012/01/Obraz4.png)
Kalkulator Do Szeregów
![](https://blog.etrapez.pl/wp-content/wphb-cache/gravatar/c42/c426df57c11a4502eb4801a4fa1b556fx96.jpg)
Krystian Karczyński
Założyciel i szef serwisu eTrapez.
Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.
Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.
Przedstawiam kolejny kalkulator Wolphrama, przerobiony lekko przeze mnie.
Ta zabawka poniżej służy do obliczania sumy szeregów (nie tylko liczbowych, ale i funkcyjnych!):
Działa prosto, w polu “Szereg” wpisujemy wyraz ogólny szeregu, w polu “Od” początek indeksu (to, co jest na dole w znaku sigmy szeregu), w polu “Do” koniec indeksu. Domyślnie liczymy szeregi nieskończone, więc zostawiamy infinty, ale kalkulatorem policzymy też szereg skończony, wtedy wpisalibyśmy tam np. 100.
Oczywiście kalkulator dobrze posłuży nam także do typowych zadań typu “sprawdź, czy szereg jest zbieżny”. Po prostu liczymy sumę szeregu kalkulatorem i jeśli wyjdzie nam skończona liczba, to znaczy, że szereg jest zbieżny. Jeżeli szereg jest rozbieżny, kalkulator sam nam to oznajmi poprzez komunikat “does not converge” (nie zbiega).
Przykład
Zbadajmy sumę szeregu:
Wpisujemy odpowiednie wartości do kalkulatora:
, klikamy na ‘Oblicz’ i mamy wynik:
Sumą szeregu jest liczba: , w przybliżeniu 0,384948. Oczywiście wynika z tego to, że jest on zbieżny. Jako bonus na dole mamy kilka reprezentacji tej liczby innym szeregami.
Jestem pewien, że ten kalkulator będzie super pomocą dla wszystkich liczących szeregi (można łatwo sprawdzić wynik).
Jak zawsze zapraszam do pytań i komentarzy pod postem!
Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?
Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.
Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.
Witam chciałam obliczyć zbieżność szeregu, lecz nie bardzo umiem zinterpretować wynik ..Input \interpretation:Result:Convergence tests:z góry dziękuje za pomoc 🙂
Witam, mam problem z szeregiem:
sin((n+1/n)pi)przy n dążącym do nieskończoności od jedynki,
doprowadziłem go do postaci:
((-1)^n)sin(pi/n)
zbadałem bezwzględną zbieżność (nie jest), lecz jak sprawdzić warunkową zbieżność?
Rozwiązanie:
Najpierw przekształczymy ten wyraz wg wzoru:
O ile
, to
i wtedy
Zbadamy najpierw zbieżność bezwzględną. Rozpatrzymy szereg
Ten szereg jest rozbieżny, np, pod względem kriterium porownawczego, o ile
Wtedy szereg![sum from n equals 1 to infinity of sin straight \pi over n](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![sum from n equals 1 to infinity of sin straight \pi over n](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/b3/3f/92ac28cc4b4cba4c59f0c4288404.png)
jest zbieżny lub rozbieżny razem z szeregiem
a ten ostatni jest szeregiem rozbieżnym (szereg Dirichlet’a). Czyli szereg
nie jest zbieżny bezwzględne.
Sprawdzimy zatem zbieżność warunkową. Badamy kryterium Leibnitz’a, który mówi, ze szereg naprzemienny typu![sum from n equals 1 to infinity of open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times a subscript n](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![sum from n equals 1 to infinity of open parentheses negative 1 close parentheses to the power of n times a subscript n](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/3e/06/b18d1ffd995233e1417ad7387315.png)
jest zbieżny, gdy
a)![limit as n \rightwards arrow infinity of a subscript n equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![limit as n \rightwards arrow infinity of a subscript n equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/cc/83/e36b2831199217858028aae8fe37.png)
, i
b)![a subscript n greater than a subscript n plus 1 end subscript](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![a subscript n greater than a subscript n plus 1 end subscript](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/27/9a/498e1c86df33511ebc895cb6afdf.png)
Liczymy:
a)![limit as n \rightwards arrow infinity of sin straight \pi over n equals 0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![limit as n \rightwards arrow infinity of sin straight \pi over n equals 0](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/c9/8b/82855a307a7bbc6016d3ba88d9c6.png)
– zachodzi,
b)![a subscript n equals sin straight \pi over n greater than sin fraction numerator straight \pi over denominator n plus 1 end fraction equals a subscript n plus 1 end subscript](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![a subscript n equals sin straight \pi over n greater than sin fraction numerator straight \pi over denominator n plus 1 end fraction equals a subscript n plus 1 end subscript](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/c8/79/3f7bdbd53cd274458799df53eacb.png)
– też żachodzi, ponieważ ![straight \pi over n greater than fraction numerator straight \pi over denominator n plus 1 end fraction](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==)
![straight \pi over n greater than fraction numerator straight \pi over denominator n plus 1 end fraction](https://etrapez.pl/wp-content/uploads/awaria-math/cache/71/b4/727d3c74cff68cedf843384f405b.png)
, a funkcja
W związku z tym szereg
jest zbieżny warunkowo.
Dzięki kolego, spać przez to nie mogłem.
Przesuń stronę bardziej w prawo, tam jest schowany znak X.
Jak zlikwidować tą zieloną ramkę góry po prawej?