تطبيق النظرية لاستنتاج عدة قوانين للاشتقاق.

قوانين الاشتقاق

الموضوع: نظرية الاشتقاق للدوال العكسية. تطبيق النظرية لاستنتاج عدة قوانين للاشتقاق.

ملخص

في محاضرتنا هذه، سنغوص في نظرية مثيرة حول اشتقاق الدوال العكسية. سنقوم بإثباتها ونرى كيف يمكن استخدامها لاستنباط مجموعة من قوانين الاشتقاق. بدون هذه النظرية، كان سيكون استنباط هذه القوانين (كما فعلنا مباشرةً من التعريفات في المحاضرة السابقة)، لنقل – معضلة صعبة.

قبل الشروع في النظرية، سيكون من الرائع معرفة ما هي الدالة العكسية، لماذا الدالة العكسية لـ هي ولماذا يجب علينا أن نحد من أنفسنا في هذه الحالة إلى مجال الوسيطات مثل …

استخدام النظرية لاستنباط القوانين هو مهمة شائعة جدًا في حساب التفاضل والتكامل على مستوى الجامعة، لذا قد تنقذ هذه المحاضرة حياتك الأكاديمية يومًا ما.

أنا أقتبس النظرية والبرهان من كتاب فختنهولتز، مع تعديلها هنا وهناك، تصحيح الأخطاء الطباعية، وإجراء بعض التغييرات.

نظرية الاشتقاق للدوال العكسية

إذا كانت الدالة لها دالة عكسية , وفي النقطة لها مشتقة محددة وغير صفرية , عندئذٍ في النقطة المقابلة توجد مشتقة للدالة العكسية وقيمتها في النقطة تساوي .

هل تشعر بالحيرة من هذا التتابع من الرموز؟ في البداية، من المحتمل جدًا، ولكن دعونا نتعمق في هذه النظرية من خلال بعض الأمثلة البسيطة والمحددة.

بالطبع، إليك ترجمة نفس المقطع إلى اللغة العربية مع الحفاظ على نبرة غير رسمية ومرحة مع استخدام مصطلحات رياضية متخصصة: —

مثال 1

إذا كانت الدالة لديها دالة معكوسة ,

1. لنأخذ الدالة في الفترة

2. الدالة المعكوسة لها موجودة وهي – لن أشرح لماذا وسبب هذا القيد على فترة x، عذراً…

وفي النقطة لديها مشتقة محدودة وغير صفرية ,

3. لنأخذ النقطة . مشتقة الدالة موجودة () وفي النقطة قيمتها غير صفرية ().

ثم في النقطة المقابلة لـ النقطة

4. النقطة المقابلة لـ هي قيمة الدالة في النقطة , أي .

في مثالنا:

مشتقة الدالة المعكوسة موجودة

5. بالفعل، الدالة المعكوسة هي ، ومشتقتها تساوي: (من الصيغ الأساسية للمشتقات) وفي النقطة موجودة بالتأكيد وتساوي:

وقيمتها في النقطة تساوي .

6. بالفعل، القيمة المحسوبة في النقطة 5. تساوي:

( – حسبت هذا في النقطة 3.)

أي أن النظرية “تعمل” 🙂

مثال 2

إذا كانت الدالة لديها دالة معكوسة ,

1. لنأخذ الدالة الأُسية

2. الدالة المعكوسة لها موجودة وهي – هذا كان في المتوسطة، لن أشرح مرة أخرى (الدوال اللوغاريتمية والأُسية هي دوال معكوسة لبعضها)

وفي النقطة لديها مشتقة محددة ومختلفة عن الصفر ,

3. لنأخذ النقطة . مشتقة الدالة موجودة ( – الصيغ الأساسية للمشتقات) وفي النقطة قيمتها مختلفة عن الصفر ().

ثم في النقطة المقابلة لـ النقطة

4. النقطة المقابلة لـ هي قيمة الدالة في النقطة ، أي .

إذن:

توجد مشتقة الدالة المعكوسة

5. فعلاً، الدالة المعكوسة هي ، ومشتقتها تساوي: (وفقاً للصيغ الأساسية للمشتقات). في النقطة المشتقة موجودة وتساوي:

وقيمتها في النقطة تساوي .

6. بالفعل، القيمة المحسوبة في النقطة 5. تساوي:

( – قمت بحساب ذلك في النقطة 3.)

إذن، النظرية “تعمل” مرة أخرى 🙂

إثبات نظرية مشتقة الدالة العكسية

سنثبت هذه النظرية معتمدين على التفسير الهندسي لمشتقة الدالة في نقطة. كما نتذكر، قيمة مشتقة الدالة في نقطة هي جيب التمام لميل المماس لمنحنى الدالة في تلك النقطة.

في الرسم البياني يبدو الأمر كالتالي:

قيمة المشتقة في نقطة عرفناها في المحاضرات السابقة كجيب تمام الزاوية

دعونا الآن نلاحظ أمراً مثيراً للاهتمام: يمكن تمثيل رسم الدالة العكسية لـ على نفس الرسم البياني، ولكن يجب أن نتذكر قراءته “بشكل معكوس” – أي كأننا نعطي قيم y للمتغيرات x (وبالتالي فإن زيادة المتغيرات في الدالة العكسية هي ، وزيادة القيم المقابلة لها هي ):