Krystian Karczyński pisze:

Jasne.

Na początku warto rozbić wyrażenie pod szeregiem na dwa ułamki:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{4}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{6}^{n}}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{{{4}^{n}}}{{{6}^{n}}}+\frac{{{5}^{n}}}{{{6}^{n}}} \right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{\left( \frac{4}{6} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right)}$

Potem zapisać ciąg sum częściowych (tak jak to pokazuję na przykładzie w Kursie):

${{S}_{1}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}$

${{S}_{2}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}$

${{S}_{3}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}$

$\ldots$

${{S}_{n}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}}$

Teraz policzyć jego granicę:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right]$

Po przestawieniu kolejności składników dodawania w tym ciągu…

$\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right]$

Widzimy, że składa się on z sumy dwóch szeregów geometrycznych znanych ze szkoły średniej, tzn. szeregów geometrycznych o ilorazach $q = 2/3$i $q=5/6$. Są to szeregi zbieżne, ponieważ  |q|<1. Zatem do obliczenia tych sum można zastosować wzór ze średniej $S=\frac{{{a}_{1}}}{1-q}$:

${{S}_{1}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}} \right]=\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1}=2$

${{S}_{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\left[ {{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right]=\frac{\tfrac{5}{6}}{1-\tfrac{5}{6}}=\frac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{6}}=\frac{5}{6}\cdot \frac{6}{1}=5$

Zatem granicą ciągu sum częściowych będzie:

$\underset{n\to \infty }{\mathop{lim }}\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right]=2+5=7$