blog

Suma szeregu liczona z definicji (VIDEO)

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Na filmiku poniżej pokazuję krok po kroku, jak obliczyć sumę szeregu z definicji. Sztuczka zastosowana w filmiku jest bardzo typowa, ale sam przykład trochę trudniejszy niż na ogół.

Zapraszam:

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Szczerze powiedziawszy nie żałuję dokonanego wyboru. Przy pomocy tych kursów nie ma zagadnień, których nie dałoby się zrozumieć, ponieważ wszystko jest świetnie tłumaczone, a potem materiał można przećwiczyć na zadaniach i kończąc dany kurs ma się pewność, że ma się wszystko opanowane na 100%. Reasumując jak najbardziej polecam kursy Etrapeza

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. Omar Salloum pisze:

    Witam, czy w zad dom w lekcji 1 w pkcie b) nie jest błąd? Jest to szereg  ((od n=1) 1/(n+1)(n+2)).Mi wychodzi 1/2, w odp jest 1.Nie wiem co mogło być źle. Z góry dziękuje za pomoc.pozdrawiam

    1. Wojtek pisze:

      Mi również wychodzi 1/2, również według mnie jest tam błąd.

    2. Kacper pisze:

      Mi również wyszło 1/2.

  2. Tomasz Magiera pisze:

    Witam, czy mógłby Pan podpowiedzieć mi jak rozwiązać przykład: Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność Suma od n=2 do n=nieskończoność (n-1)/n!

  3. Filcio94 pisze:

    mam prośbę czy mógłbyś pokazać mi jak liczyć sumę w takim przypadku jak w pdp e) i f) z tego samego zestawu w zadaniach domowych . mamy tam szereg postaci 4^n + 5^n/6^n . kompletnie nie wiem od czego zacząć .Twój projekt uważam za znakomity. Wiele razy mi pomógł dzięki.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne.

      Na początku warto rozbić wyrażenie pod szeregiem na dwa ułamki:

      \sum\limits_{n=1}^{\infty }{\frac{{{4}^{n}}+{{5}^{n}}}{{{6}^{n}}}}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( \frac{{{4}^{n}}}{{{6}^{n}}}+\frac{{{5}^{n}}}{{{6}^{n}}} \right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{\left( \frac{4}{6} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left( {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right)}

      Potem zapisać ciąg sum częściowych (tak jak to pokazuję na przykładzie w Kursie):

      {{S}_{1}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}

      {{S}_{2}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}

      {{S}_{3}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}

      \ldots

      {{S}_{n}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}}

      Teraz policzyć jego granicę:

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right]

      Po przestawieniu kolejności składników dodawania w tym ciągu…

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right]

      Widzimy, że składa się on z sumy dwóch szeregów geometrycznych znanych ze szkoły średniej, tzn. szeregów geometrycznych o ilorazach q = 2/3i q=5/6. Są to szeregi zbieżne, ponieważ  |q|<1. Zatem do obliczenia tych sum można zastosować wzór ze średniej S=\frac{{{a}_{1}}}{1-q}:

      {{S}_{1}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}} \right]=\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1}=2

      {{S}_{2}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right]=\frac{\tfrac{5}{6}}{1-\tfrac{5}{6}}=\frac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{1}{6}}=\frac{5}{6}\cdot \frac{6}{1}=5

      Zatem granicą ciągu sum częściowych będzie:

      \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{n}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{1}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{3}}+\ldots +{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{n}} \right]=2+5=7

    2. Patryk Mil pisze:

      Witam . Prosił bym o pomoc w policzeniu tych szeregów zrobiłem pare ale nie jestem pewien czy dobrze (wszystko od jedynki oprocz a)) :

      kryterium Cauchy’ego
      a) “od 2” 1/(lnn)^n
      b) ((3n+1)/(n+2))^n
      c) (3/n)^n

      oraz kryterium d’’Alamberta.

      a)1/n!
      b)n^n/n1
      c)(3n)!/(n^3n)

      Z góry bardzo dziekuje !!!