Nietypowa granica ciągu ze wzorem na liczbę e w wyniku

Typowe granice ciągów z wzorem na liczbę e

Tradycyjne zadania na granice ciągu ze wzorem na liczbę e dosyć „naturalnie”  doprowadzić do wzoru:

Wzór na liczbę e z definicjiCo jednak w sytuacji, kiedy w nawiasie nie mamy takiego zgrabnego ułamka, ale coś typu:

Ogólna granica ciąguJeśli prostokącik w nawiasie zbiega do zera, a trójkącik w wykładniku rozbiega do nieskończoności mamy tu właściwie symbol nieoznaczony delim{[}{1^{infty}}{]} – czyli dokładnie taki, w którym stosujemy wzór z liczbą ‚e’ w wyniku. Co robić?

No cóż pamiętajmy, że dowolne wyrażenie da się przedstawić jako dzielenie jedynki przez odwrotność tego wyrażenia :)

Na przykład zwykłą, grzeczną liczbę 2 można zapisać jako:

2=1/{1/2}

Tak więc z każdego wyrażenia da się „na siłę” zrobić ułamek, jeśli naprawdę trzeba.

Przykład

{lim}under{n{right}{infty}}(1+sqrt{n+1}-sqrt{n})^{sqrt{n}+5}

Najpierw wypadało by wykazać, że wyrażenie sqrt{n+1}-sqrt{n} dąży do zera. Zrobisz to, licząc granicę:

{lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n+1}-sqrt{n}) – wyjdzie faktycznie równa zero (można zastosować metodę mnożenia przez sprzężenie).

Teraz zamieniasz:

{lim}under{n{right}{infty}}(1+sqrt{n+1}-sqrt{n})^{sqrt{n}+5}={lim}under{n{right}{infty}}(1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{sqrt{n}+5}

… i dalej już według znanego schematu:

{lim}under{n{right}{infty}}(1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{sqrt{n}+5}=

{lim}under{n{right}{infty}}delim{[}{  (1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}}  }{]}^{ {sqrt{n}+5}/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}}}

Granica w wielgachnym nawiasie kwadratowym wynosi: e^1=e – zgodnie z podstawowym wzorem, pozostaje już tylko przeprawa z:

{lim}under{n{right}{infty}}{sqrt{n}+5}/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}}={lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n}+5)(sqrt{n+1}-sqrt{n})

… która po zastosowaniu mnożenia przez sprzężenie zakończy się wynikiem 1/2.

Cała granica więc równa będzie:

delim{[}{e^1}{]}^{1/2}=e^{1/2}=sqrt{e}

 

Poznaj podstawy edukacji matematycznej na studiach

Dołącz do ponad 7000 studentów na Akademii eTrapez

Oto, co czeka na Ciebie:

  • 14 darmowych Lekcji (video + zadanie domowe)
  • 10 internetowych kalkulatorów
Załóż darmowe konto na Akademii eTrapez
O Krystian Karczyński

Nazywam się Krystian Karczyński, od kilkunastu lat pomagam studentom w matematyce.

Nowe technologie związane z Internetem pozwalają uczyć szybciej, bardziej ciekawie i skutecznie, co pokazuję na swojej Akademii eTrapez i na blogu.

Komentarze

  1. Adam napisał:

    „… która po zastosowaniu mnożenia przez sprzężenie zakończy się wynikiem 1.”

    Zakończy się wynikiem 1/2 … -_-

  2. Mateusz napisał:

    Nie bardzo rozumiem” Najpierw wypadało by wykazać, że wyrażenie sqrt{n+1}-sqrt{n} dąży do zera. Zrobisz to, licząc granicę:

    {lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n+1}-sqrt{n}) – wyjdzie faktycznie równa zero.”dlaczego ona zbiega do 0 jak wychodzi mi wynik nieskończoność minus nieskończoność w nawiasie bo pierwiastkujemy nieskończoność??

    • Krystian Karczyński napisał:

      Nieskończoność minus nieskończoność to nie wynik, tylko symbol nieoznaczony.

      Należy zastosować metodę mnożenia przez sprzężenie:

      {lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n+1}-sqrt{n})={lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n+1}-sqrt{n}){sqrt{n+1}+sqrt{n}}/{sqrt{n+1}+sqrt{n}}=

      {lim}under{n{right}{infty}}{n+1-n}/{sqrt{n+1}+sqrt{n}}={lim}under{n{right}{infty}}1/{sqrt{n+1}+sqrt{n}}=0

  3. Michał napisał:

    Witam.
    Mam pewien problem dotyczacy metody obliczania pewnych granic ciagow ze wzoru na liczbe e. Uczylem sie Twojego sposobu czyli tego wzoru na gorze „wzor na liczbe e z definicji”.

    Tylko jest jeden problem poniewaz w niektorych przypadkach na ćw. dostalem ochrzan ze w zadnym wypadku nie moge stosowac takiej metody bo jest bleda. Mam na mysli przyklady gdzie pod wspolczynnikiem ‚a’ z tego wzoru kryje sie np „2n+2″. Czyli mamy np lim[(1+ ((2n+2)/(n-1)) ]^n+1 Wg Twojej metody nalezalo zrobic odwrotnosc ((2n+2)/(n-1))zeby bylo 1/((n-1)/(2n+2)) no i dalej bez problemu liczyc(sam tak licze od dluzszego czasu i wychodza dobre wyniki). No i w tym pojawil sie problem bo pani profesor powiedziala ze absolutnie nie mozna tak robic bo to zmienia postac granicy czy cos w tym rodzaju. Glownie chodzilo o to ze wg podstawowego wzoru na liczbe e lim(1+an)^(1/an)=e an musi dazyc do 0 a po przeksztalceniach ten warunek nie jest zachowany

    Sam juz niewiem jak takie przyklady robic bo niby wynik jest dobry no ale na kolokwium nie chcialbym zeby mi profesorka dala 0 pkt „bo ona mowi tak sie nie da tego liczyc” ;)

    Pozdrawiam.

    • Krystian Karczyński napisał:

      Dzięki za pytanie, jeżeli chodzi o Twój przykład:

      lim(1+{2n+2}/{n-1})^{n+1}

      To oczywiście, że mojej |metody” nie można zastosować, bo wyrażenie {2n+2}/{n-1} nie dąży do 0, tylko do 2, czyli wyrażenie w nawiasie do 3, czyli mamy 3 do nieskończoności, czyli w ogóle nie mamy symbolu nieoznaczonego!

      Dalej: wyrażenie ‚an’ również NIGDY nie będzie dążyć do 0 przy n dążącym do nieskończoności :)

      Twoje wyrażenie:
      lim(1+an)^{1/{an}}
      to symbol nieoznaczony {infty}^0 – i w nim nie stosujemy raczej w ogóle przekształceń do wzoru na liczbę e.

      Polecił bym raczej de’Hospitala.

      O ile dobrze Cię zrozumiałem, oczywiście…

      • Michał napisał:

        faktycznie może troche zły przykład.
        http://imageshack.us/photo/my-images/208/pb160037.jpg
        Z tego co pamiętam to właśnie przy robieniu tego przykładu co jest w linku zostalem pouczony, że absolutnie nie mogę takiej metody stosować. Z tego co zrozumiałem to pani profesor mówiła ogólnie o przykładach w których w nawiasie robi sie odwrotność tego jednego składnika.

        Wszystkie tego typu zadania robię od dluzszego czasu taka metodą i zawsze wyniki wychodzą dobre.

        • Krystian Karczyński napisał:

          Jeśli chodzi o Pana przykład, to niestety nie bardzo rozumiem, dlaczego nie można zastosować „mojej” metody.

          Wyrażenie: {3n-1}/{n^2-2n-2} zbiega do 0.

          Po „moim” przekształceniu wyrażenie: 1/{{n^2-2n-2}/{3n-1}} NADAL zbiega do 0.

          Nie dało by się podejść do Pani Profesor i poprosić o dokładne wytłumaczenie, dlaczego „nie można” ?

          Z tego co się orientuję, do sesji daleko i profesorzy są teraz o wiele bardziej – że tak powiem – „przystępni” w godzinach konsultacji :)

  4. Michał napisał:

    Jest wzór na to. Wynik wyjdzie „e”. Oczywiście przy lim ->0.

  5. Marcin napisał:

    Mam do Pana pytanie odnośnie powyższego wzoru na liczbę e, czy w miejscu litery „a” może być cyfra inna niż 1, ponieważ na ostatni konsultacjach po kolokwium, mój profesor stwierdził, że wzór ten jest prawdziwym i można go stosować tylko i wyłącznie wtedy gry w miejscu litery „a” ( we wzorze powyżej) znajduje się cyfra 1 i żadna inna. Argumentował to tak, że twierdzenie wyraźnie mówi o wzorze (1+1/n)^n=e , a twierdzenia z innymi cyframi nie ma, więc aby zastosować ten wzór należy tak przekształcać granicę aż osiągniemy tę postać i wszystkie wyniki, w których w liczniku była liczba inna niż 1 przekreślał i obcinał punkty.

Skomentuj, zapraszam