Nietypowa granica ciągu ze wzorem na liczbę e w wyniku

Typowe granice ciągów z wzorem na liczbę e

Tradycyjne zadania na granice ciągu ze wzorem na liczbę e dosyć „naturalnie”  doprowadzić do wzoru:

Wzór na liczbę e z definicjiCo jednak w sytuacji, kiedy w nawiasie nie mamy takiego zgrabnego ułamka, ale coś typu:

Ogólna granica ciąguJeśli prostokącik w nawiasie zbiega do zera, a trójkącik w wykładniku rozbiega do nieskończoności mamy tu właściwie symbol nieoznaczony delim{[}{1^{infty}}{]} – czyli dokładnie taki, w którym stosujemy wzór z liczbą ‚e’ w wyniku. Co robić?

No cóż pamiętajmy, że dowolne wyrażenie da się przedstawić jako dzielenie jedynki przez odwrotność tego wyrażenia 🙂

Na przykład zwykłą, grzeczną liczbę 2 można zapisać jako:

2=1/{1/2}

Tak więc z każdego wyrażenia da się „na siłę” zrobić ułamek, jeśli naprawdę trzeba.

Przykład

{lim}under{n{right}{infty}}(1+sqrt{n+1}-sqrt{n})^{sqrt{n}+5}

Najpierw wypadało by wykazać, że wyrażenie sqrt{n+1}-sqrt{n} dąży do zera. Zrobisz to, licząc granicę:

{lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n+1}-sqrt{n}) – wyjdzie faktycznie równa zero (można zastosować metodę mnożenia przez sprzężenie).

Teraz zamieniasz:

{lim}under{n{right}{infty}}(1+sqrt{n+1}-sqrt{n})^{sqrt{n}+5}={lim}under{n{right}{infty}}(1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{sqrt{n}+5}

… i dalej już według znanego schematu:

{lim}under{n{right}{infty}}(1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{sqrt{n}+5}=

{lim}under{n{right}{infty}}delim{[}{  (1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}}  }{]}^{ {sqrt{n}+5}/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}}}

Granica w wielgachnym nawiasie kwadratowym wynosi: e^1=e – zgodnie z podstawowym wzorem, pozostaje już tylko przeprawa z:

{lim}under{n{right}{infty}}{sqrt{n}+5}/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}}={lim}under{n{right}{infty}}(sqrt{n}+5)(sqrt{n+1}-sqrt{n})

… która po zastosowaniu mnożenia przez sprzężenie zakończy się wynikiem 1/2.

Cała granica więc równa będzie:

delim{[}{e^1}{]}^{1/2}=e^{1/2}=sqrt{e}