blog

Granica ciągu udająca granicę z liczbą e

Krystian

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka koło Szczecina. Lubi spacery po lesie, plażowanie i piłkę nożną.


Granica ciągu z liczbą e… czy rzeczywiście?

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}

Jeśli mamy już trochę zadań z granic ciągu na koncie, możemy popaść już w pewien automatyzm. I zabrać się za liczenie powyższej granicy, tak jak liczy się granice z wzorem na liczbę e w wyniku, tzn. odjąć i dodać 4 w liczniku, rozbić na dwa ułamki itd. Ale licząc tak dojdziemy do pewnego, delikatnie pisząc, problemu…

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}={lim}under{n{right}{infty}}({n-4+4+1}/{2n-4})^{n+7}{lim}under{n{right}{infty}}({n-4}/{2n-4}+{4+1}/{2n-4})^{n+7}

Tym razem pierwszy ułamek nie skraca się wcale i nie daje jedynki!

Nauczyciele często nie rozwodzą się nad tym zwykle, ale granice z liczbą e w wyniku stosujemy wtedy, gdy mamy symbol nieoznaczony delim{[}{1^{infty}}{]}, a w naszym przykładzie:

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}

iloraz wielomianów podniesiony do potęgi nie dąży bynajmniej  do 1, tylko do 1/2 – o czym przekonać się można wyciągając w nim największe potęgi przed nawias:

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}={lim}under{n{right}{infty}}({n(1+1/n)}/{n(2-4/n)})^{n+7}

Mamy więc sytuację (1/2)^{infty}, a taka granica ciągu z odpowiedniego wzoru równa jest o:

{lim}under{n{right}{infty}}({n+1}/{2n-4})^{n+7}={lim}under{n{right}{infty}}({n(1+1/n)}/{n(2-4/n)})^{n+7}=0

Problem z tego typu granicami

Zanim zaatakujesz więc granicę ciągu wzorami na liczbę e, warto się zastanowić, czy wyrażenie podniesione do potęgi dąży do 1 w ogóle. W przypadku dzielenia wielomianu przez wielomian można to sprawdzić łatwo, bez wykonywania obliczeń. To dzielenie dążyć będzie do 1, jeśli największe potęgi wielomianów będą takie same i współczynniki przy nich też będą takie same. Wtedy stosuj metodą na granicę ciągu z liczbą e. Jeśli tak nie jest – najprawdopodobniej trzeba wyciągać największą potęgę przed nawias.

Oceń sam, na oko

Na koniec ćwiczenie. Spójrz na poniższe granice i oceń “na oko”, które z nich trzeba rozwiązywać metodą granicy z liczbą e, a które metodą wyciągania przed nawias największej potęgi:

1) {lim}under{n{right}{infty}}({4n-7}/{4n+5})^{3n+2}

2) {lim}under{n{right}{infty}}({-2n-2}/{2n+2})^{n-2}

3) {lim}under{n{right}{infty}}({n^2}/{n^2-1})^{n^2-1}

4) {lim}under{n{right}{infty}}({1+n}/{1-n})^n

5) {lim}under{n{right}{infty}}({5n+4}/{2n^2+7})^{n^3}

…a  wszystkie wyglądają tak podobnie… 🙂

Jedna z wielu opinii o naszych Kursach...

Wszystkie poruszone zagadnienia zostały BARDZO przejrzyście wytłumaczone. Myślę, że dla znacznej większości studentów kurs powinien być wystarczający. (Dla tych, dla których te 7 lekcji nie wyczerpie tematu, na pewno kurs będzie dobrą bazą do dalszej nauki). Polecam!

Wojciech Trojak

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Twój komentarz będzie dostępny publicznie na naszej stronie razem z powyższym podpisem. Adres email nie będzie dostępny publicznie. Komentarz możesz zmienić, lub usunąć w każdej chwili. Dane osobowe zawarte w komentarzu i podpisie traktujemy zgodnie z naszą polityką prywatności.

  1. pawel pisze:

    chociaż faktycznie w opisanym przykładzie granica jest równa zero, ale dla uzasadnienia należałoby wyłączyć przed nawias w liczniku n, a w mianowniku 2n i mamy wyrażenie (1/2)^n oraz inne z zastosowaniem w granicy liczby e.

  2. pawel pisze:

    Zatem, idąc tym tokiem rozumowania, granica ciągu (1+1/n)^n powinna być równa 1, ponieważ 1 do potęgi nieskończoność jest równe 1…
    Wiadomo, że granica ta jest równa e.

    1. janusz pisze:

      1 do potęgi nieskończoność jest symbolem nieoznaczonym i to jest cały problem…Co do komentarza niżej – nic takiego nie trzeba robić, bo to jest zwyczajna granica z ułamkiem, taka jaką się robi na pierwszych lekcjach z granic. Można ją policzyć w pamięci. To że jest podniesiona do potęgi nic nie zmienia, bo nie ma żadnego symbolu nieoznaczonego. Oczywiście można zrobić to co napisałeś, ale jest zupełnie niepotrzebnym komplikowaniem.Tak wiem, necroposting, ale odpowiadam na ten durny komentarz jakby ktoś się zastanawiał.