Nietypowa granica ciągu ze wzorem na liczbę e w wyniku

Krystian Karczyński

Założyciel i szef serwisu eTrapez.

Magister matematyki Politechniki Poznańskiej. Korepetytor matematyki z wieloletnim stażem. Twórca pierwszych Kursów eTrapez, które zdobyły ogromną popularność wśród studentów w całej Polsce.

Mieszka w Szczecinie. Lubi spacery po lesie, plażowanie i kajaki.

Typowe granice ciągów z wzorem na liczbę e

Tradycyjne zadania na granice ciągu ze wzorem na liczbę e dosyć “naturalnie” doprowadzić do wzoru:

Co jednak w sytuacji, kiedy w nawiasie nie mamy takiego zgrabnego ułamka, ale coś typu:

Jeśli prostokącik w nawiasie zbiega do zera, a trójkącik w wykładniku rozbiega do nieskończoności mamy tu właściwie symbol nieoznaczony $delim{[}{1^{infty}}{]}$ – czyli dokładnie taki, w którym stosujemy wzór z liczbą ‘e’ w wyniku. Co robić?

No cóż pamiętajmy, że dowolne wyrażenie da się przedstawić jako dzielenie jedynki przez odwrotność tego wyrażenia 🙂

Na przykład zwykłą, grzeczną liczbę 2 można zapisać jako:

Tak więc z każdego wyrażenia da się “na siłę” zrobić ułamek, jeśli naprawdę trzeba.

Przykład

${lim}under{n{right}{infty}}(1+sqrt{n+1}-sqrt{n})^{sqrt{n}+5}$

Najpierw wypadało by wykazać, że wyrażenie dąży do zera. Zrobisz to, licząc granicę:

– wyjdzie faktycznie równa zero (można zastosować metodę mnożenia przez sprzężenie).

Teraz zamieniasz:

${lim}under{n{right}{infty}}(1+sqrt{n+1}-sqrt{n})^{sqrt{n}+5}={lim}under{n{right}{infty}}(1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{sqrt{n}+5}$

… i dalej już według znanego schematu:

${lim}under{n{right}{infty}}(1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{sqrt{n}+5}=$

${lim}under{n{right}{infty}}delim{[}{ (1+1/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}})^{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}} }{]}^{ {sqrt{n}+5}/{1/{sqrt{n+1}-sqrt{n}}}}$

Granica w wielgachnym nawiasie kwadratowym wynosi: – zgodnie z podstawowym wzorem, pozostaje już tylko przeprawa z:

… która po zastosowaniu mnożenia przez sprzężenie zakończy się wynikiem $1/2$ .

Cała granica więc równa będzie:

$delim{[}{e^1}{]}^{1/2}=e^{1/2}=sqrt{e}$

Bestsellery w tym miesiącu

Szukasz korepetycji z matematyki na poziomie studiów lub szkoły średniej? A może potrzebujesz kursu, który przygotuje Cię do matury?

Jesteśmy ekipą eTrapez. Uczymy matematyki w sposób jasny, prosty i bardzo dokładny - trafimy nawet do najbardziej opornego na wiedzę.

Stworzyliśmy tłumaczone zrozumiałym językiem Kursy video do pobrania na komputer, tablet czy telefon. Włączasz nagranie, oglądasz i słuchasz, jak na korepetycjach. O dowolnej porze dnia i nocy.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Marcin pisze:

30 listopada 2013 o 21:57

Mam do Pana pytanie odnośnie powyższego wzoru na liczbę e, czy w miejscu litery “a” może być cyfra inna niż 1, ponieważ na ostatni konsultacjach po kolokwium, mój profesor stwierdził, że wzór ten jest prawdziwym i można go stosować tylko i wyłącznie wtedy gry w miejscu litery “a” ( we wzorze powyżej) znajduje się cyfra 1 i żadna inna. Argumen\tował to tak, że twierdzenie wyraźnie mówi o wzorze (1+1/n)^n=e , a twierdzenia z innymi cyframi nie ma, więc aby zastosować ten wzór należy tak przekształcać granicę aż osiągniemy tę postać i wszystkie wyniki, w których w liczniku była liczba inna niż 1 przekreślał i obcinał punkty.

Odpowiedz
Michał pisze:

14 listopada 2011 o 20:39

Jest wzór na to. Wynik wyjdzie “e”. Oczywiście przy lim ->0.

Odpowiedz
Michał pisze:

10 listopada 2011 o 11:28

Witam.
Mam pewien problem dotyczacy metody obliczania pewnych granic ciagow ze wzoru na liczbe e. Uczylem sie Twojego sposobu czyli tego wzoru na gorze “wzor na liczbe e z definicji”.

Tylko jest jeden problem poniewaz w niektorych przypadkach na ćw. dostalem ochrzan ze w zadnym wypadku nie moge stosowac takiej metody bo jest bleda. Mam na mysli przyklady gdzie pod wspolczynnikiem ‘a’ z tego wzoru kryje sie np “2n+2”. Czyli mamy np lim[(1+ ((2n+2)/(n-1)) ]^n+1 Wg Twojej metody nalezalo zrobic odwrotnosc ((2n+2)/(n-1))zeby bylo 1/((n-1)/(2n+2)) no i dalej bez problemu liczyc(sam tak licze od dluzszego czasu i wychodza dobre wyniki). No i w tym pojawil sie problem bo pani profesor powiedziala ze absolutnie nie mozna tak robic bo to zmienia postac granicy czy cos w tym rodzaju. Glownie chodzilo o to ze wg podstawowego wzoru na liczbe e lim(1+an)^(1/an)=e an musi dazyc do 0 a po przeksztalceniach ten warunek nie jest zachowany

Sam juz niewiem jak takie przyklady robic bo niby wynik jest dobry no ale na kolokwium nie chcialbym zeby mi profesorka dala 0 pkt “bo ona mowi tak sie nie da tego liczyc” 😉

Pozdrawiam.

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  14 listopada 2011 o 19:29
  
  Dzięki za pytanie, jeżeli chodzi o Twój przykład:
  
  lim $(1+{2n+2}/{n-1})^{n+1}$
  
  To oczywiście, że mojej |metody” nie można zastosować, bo wyrażenie nie dąży do 0, tylko do 2, czyli wyrażenie w nawiasie do 3, czyli mamy 3 do nieskończoności, czyli w ogóle nie mamy symbolu nieoznaczonego!
  
  Dalej: wyrażenie ‘an’ również NIGDY nie będzie dążyć do 0 przy n dążącym do nieskończoności 🙂
  
  Twoje wyrażenie:
  lim $(1+an)^{1/{an}}$
  to symbol nieoznaczony ${infty}^0$ – i w nim nie stosujemy raczej w ogóle przekształceń do wzoru na liczbę e.
  
  Polecił bym raczej de’Hospitala.
  
  O ile dobrze Cię zrozumiałem, oczywiście…
2. Michał pisze:
  
  16 listopada 2011 o 20:37
  
  faktycznie może troche zły przykład.
  
  Z tego co pamiętam to właśnie przy robieniu tego przykładu co jest w linku zostalem pouczony, że absolutnie nie mogę takiej metody stosować. Z tego co zrozumiałem to pani profesor mówiła ogólnie o przykładach w których w nawiasie robi sie odwrotność tego jednego składnika.
  
  Wszystkie tego typu zadania robię od dluzszego czasu taka metodą i zawsze wyniki wychodzą dobre.
3. Krystian Karczyński pisze:
  
  21 listopada 2011 o 18:54
  
  Jeśli chodzi o Pana przykład, to niestety nie bardzo rozumiem, dlaczego nie można zastosować “mojej” metody.
  
  Wyrażenie: ${3n-1}/{n^2-2n-2}$ zbiega do 0.
  
  Po “moim” przekształceniu wyrażenie: $1/{{n^2-2n-2}/{3n-1}}$ NADAL zbiega do 0.
  
  Nie dało by się podejść do Pani Profesor i poprosić o dokładne wytłumaczenie, dlaczego “nie można” ?
  
  Z tego co się orientuję, do sesji daleko i profesorzy są teraz o wiele bardziej – że tak powiem – “przystępni” w godzinach konsultacji 🙂
Mateusz pisze:

3 listopada 2011 o 13:49

Nie bardzo rozumiem” Najpierw wypadało by wykazać, że wyrażenie dąży do zera. Zrobisz to, licząc granicę:

– wyjdzie faktycznie równa zero.”dlaczego ona zbiega do 0 jak wychodzi mi wynik nieskończoność minus nieskończoność w nawiasie bo pierwiastkujemy nieskończoność??

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  3 listopada 2011 o 21:01
  
  Nieskończoność minus nieskończoność to nie wynik, tylko symbol nieoznaczony.
  
  Należy zastosować metodę mnożenia przez sprzężenie:
2. Likeyou pisze:
  
  6 lutego 2017 o 01:57
  
  Nie prościej podzielić wszystko przez n^2?
Adam pisze:

18 czerwca 2011 o 10:38

“… która po zastosowaniu mnożenia przez sprzężenie zakończy się wynikiem 1.”

Zakończy się wynikiem 1/2 … -_-

Odpowiedz
1. Krystian Karczyński pisze:
  
  20 czerwca 2011 o 09:48
  
  Racja, dzięki za czujność i pomoc. Poprawiłem.

Cookie	Duration	Description
_ce.cch	session	No description
_ce.s	1 year	No description
_koko_analytics_pages_viewed	6 hours	No description available.
cebsp	session	No description
DEVICE_INFO	5 months 27 days	No description

Najpopularniejsze Kursy w maju

Zobacz darmowe lekcje