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齐次方程组(使用矩阵的秩求解解的数量)

Krystian Karczyński

eTrapez网站的创始人兼负责人。

波兹南理工大学(波兰)数学专业硕士。拥有多年数学家教经验。创建了第一个eTrapez课程,这些课程在波兰全国的学生中获得了巨大的流行。

居住在什切青(波兰)。喜欢森林散步、海滩放松和划独木舟。


齐次线性方程组是指所有常数项都等于0的方程组。它们看起来像这样:

齐次方程组的一般形式

例如:

齐次方程组的示例

线性方程组的解的可能数量

让我们回顾一下,在每个线性方程组中有三种可能的情况:

  1. 方程组有一个解(当矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于方程组中的未知数的数量:
  2. 方程组有无穷多解(当矩阵的秩等于增广矩阵的秩并且小于方程组中的未知数的数量时:
  3. 方程组无解(当矩阵的秩不等于增广矩阵的秩时)

增广矩阵是指在原矩阵中添加常数项列。在齐次方程组中,这将是一个全为零的列。在计算秩时可以直接去掉这一列,从而得到原矩阵。

在我们的例子中,原矩阵的秩为:

示例中的原矩阵的秩

增广矩阵的秩为:

示例中的增广矩阵的秩

在示例中可以看到并且可以看出这将永远如此,在每个齐次方程组中都是如此。

齐次线性方程组的解的可能数量

因此,在齐次方程组中,只会有1或2种情况。方程组总是有解,只是问题在于这是一个解还是无穷多个解。

让我们继续。

定义一个所谓的“零解”。我们将所有未知数的值都为零的解称为零解。

在讨论齐次方程组时,可以注意到:

零解始终是齐次方程组的解。

这很容易验证:如果将所有未知数都设为零,很明显,每个齐次方程组的方程都将得到满足,始终如此。

因此,如果我们知道齐次线性方程组有一个解(当时),我们也知道这一定是零解。

如果我们知道齐次线性方程组有无穷多个解(当时),我们知道方程组有零解,但除此之外还有一些非零解。

如果题目要求我们:“检查齐次方程组是否有非零解”,只需证明这是一个不定方程组,其中原矩阵的秩和增广矩阵的秩小于未知数的数量。

在某些方程组中,这很简单,例如这里:

第二个齐次方程组示例

方程组的原矩阵有4行5列,因此它的秩最多为4。增广矩阵的秩也是如此——我们已经知道为什么。未知数的数量为5。因此可以立即断定方程组是不定的,并且该方程组存在一些非零解。


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