Wzór na pochodną funkcji złożonej

 

Wzory na pochodne

 

Temat: Wzór na przyrost funkcji. Wzór na pochodną funkcji złożonej.

 

Streszczenie

Na tym wykładzie zajmiemy się potężnie wykorzystywanym w praktycznym liczeniu pochodnych (tzn. liczeniu z wzorów, a nie z definicji). Jest to oczywiście wzór na pochodną funkcji złożonej:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Tak się jakoś śmiesznie składa, że wzór – na każdym kroku stosowany – jest jednocześnie najmniej zrozumiały i w ogóle z reguły pomijany. Bierze się to stąd, że o wiele łatwiej nauczyć się po prostu, jak w praktyce obliczać te pochodne (z funkcji złożonej), niż wprowadzać do tego jakiś teoretyczny wzór.

Za chwilę jednak objaśnimy, jak „działa” ten wzorek i w sposób ścisły go udowodnimy. Skorzystamy przy tym z innego twierdzenia – o przyroście wartości funkcji i z oznaczeń {Delta}y=f(x+{Delta}x)-f(x), jakie wprowadziłem na poprzednim wykładzie (przypomnę je jeszcze).

Dowód przeprowadzam raz jeszcze tak, jak w książce Fichtenholz’a. Przy okazji, jeśli naprawdę pasjonujesz się matematyką (a ściślej: analizą matematyczną) MUSISZ mieć tą 3 tomową książkę, wpisz w Google czy Allegro – Fichtenholz, każdy wie o co chodzi, nie ma możliwości pomyłki.

Zaczynajmy zatem…

Funkcje złożone. Pochodne funkcji złożonych.

Z funkcjami złożonymi powinniśmy się już zetknąć w szkole średniej. Są to funkcje, w których argumentem jakiejś funkcji nie jest taki sobie zwykły ‚x’, jak Pan Bóg przykazał, tylko jakaś inna funkcja.

Na przykład:

f(x)=sin(lnx)

Ta funkcja jest złożona. Argumentem funkcji sinus nie jest x (wtedy była by to prosta funkcja y=sinx), tylko jakaś inna funkcja, a konkretnie – lnx.

Funkcje złożone bywają bardziej podstępne, na przykład:

f(x)=(x^2+1)^7

Tutaj potrzeba już bardziej wprawnego oka, żeby zauważyć, że mamy jest to funkcja x^7, w której zamiast argumentu x jest wstawiona funkcja x^2+1.

Funkcję złożoną f, której argumentem jest jakaś inna funkcja g można przedstawić symbolem:

f(g(x))

Ma to sens, prawda? f liczona nie z x, tylko z innej funkcji: g(x).

Jak wiemy, pochodną z funkcji złożonej liczy się ze wzoru:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Jak go rozczytać? Ano tak: pochodna z funkcji f, w której argumentem jest funkcja g równa jest pochodnej z funkcji f (argumentem tej pochodnej jest funkcja g), przemnożonej przez pochodną funkcji g.

Najlepiej załapać to na przykładzie. Weźmy naszą funkcję złożoną:

f(x)=sin(lnx)

Podstawa to orientacja, która funkcja jest która, to znaczy, argumentem jakiej funkcji jest która funkcja, to znaczy która funkcja ze wzoru to nasza funkcja f (można też ją nazwać: „funkcja zewnętrzna”), a która to funkcja g (można też powiedzieć o niej: „funkcja wewnętrzna”). Nasza funkcja f w tym przykładzie to funkcja sinus, a jej argumentem jest funkcja g.

Zgodnie ze wzorem: delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x), pochodna funkcji f(x)=sin(lnx) równa będzie pochodnej funkcji sinus (czyli cosinus), której argumentem jest funkcja g=lnx (czyli będziemy mieli cosinus z lnx) razy pochodna funkcji lnx (czyli 1/x):

f{prime}(x)=(sin(lnx)){prime}=cos(lnx)*{1/x}

Można zapisać ją ładniej:

f{prime}(x)=(sin(lnx)){prime}=cos(lnx)*{1/x}={cos(lnx)}/x

I tyle 🙂

Zajmiemy się teraz formalnym udowodnieniem naszego wzorku. Najpierw udowodnimy jednak pomocniczo…

Twierdzenie o przyroście wartości funkcji

Jak wiemy już z poprzedniego wykładu, przyrost wartości funkcji ({Delta}y) w dowolnym punkcie x_0 można zapisać jako:

{Delta}y=f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)

Widać to wprost z rysunku:

Przyrost delta yWzór na przyrost wartości funkcji w {Delta}y punkcie x_0 można jednak zapisać również inaczej, w nie tak bardzo oczywisty sposób:

Twierdzenie

Jeśli funkcja f(x) ma w punkcie x_0 skończoną pochodną, to przyrost wartości tej funkcji w tym punkcie można przedstawić jako:

{Delta}y=f{prime}(x_0){Delta}x+{alpha}{Delta}x

gdzie alpha jest wartością zależną od {Delta}x i wraz z {Delta}x dążącą do zera.

Dowód

Zauważmy, że zgodnie z definicją pochodnej i tego, czym jest {Delta}y (patrz wyżej):

f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}/{{Delta}x}={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}y}/{{Delta}x}

Jeżeli przyjmiemy więc, że:

alpha={{Delta}y}/{{Delta}x}-f{prime}(x_0)

Widzimy, że alpha zależy od {Delta}x i biorąc {Delta}x{right}0 będziemy mieli alpha{right}0 (bo pokazaliśmy wyżej, że f{prime}(x_0)={lim}under{{Delta}x{right}0}{{Delta}y}/{{Delta}x}).

Tak obrana alpha ma więc warunki określone w zadaniu.

alpha={{Delta}y}/{{Delta}x}-f{prime}(x_0)

Obie strony równania mnożę przez {Delta}x:

alpha{Delta}x={Delta}y-f{prime}(x_0){Delta}x

Przenoszę stronami i mam:

{Delta}y=f{prime}(x_0){Delta}x+alpha{Delta}x

Wyprowadziliśmy więc w ten sposób wzór na przyrost wartości funkcji z twierdzenia, co kończy dowód.

Twierdzenie o przyroście funkcji wykorzystamy w dowodzie wzoru na pochodną funkcji złożonej.

 

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Pochodna funkcji złożonej f(g(x)) (przy spełnionych założeniach dotyczących istnienia pochodnych funkcji w punkcie) dana jest wzorem:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x))g{prime}(x)

Dowód

Dla przyrostu argumentów {Delta}x otrzymamy pewien przyrost wartości funkcji g: {Delta}g i pewien przyrost wartości funkcji f: {Delta}f. Zauważmy teraz, że przyrost wartości funkcji g {Delta}x jest jednocześnie przyrostem argumentów dla funkcji f (bo wartości funkcji g są argumentami funkcji f).

Wykorzystując nasze twierdzenie o przyroście wartości funkcji (udowodnione wyżej) dla funkcji f mamy:

{Delta}f=f{prime}(g(x_0)){Delta}g+alpha{Delta}g

{Delta}x we wzorze z twierdzenia zastąpiłem {Delta}g – bo argumentami funkcji f są wartości funkcji g, a nie x-sy.

Dzielimy obie strony przez {Delta}x i mamy:

{{Delta}f}/{{Delta}x}=f{prime}(g(x_0)){{Delta}g}/{{Delta}x}+alpha{{Delta}g}/{{Delta}x}

Biorąc teraz {Delta}x{right}0 {{Delta}g}/{{Delta}x} równe jest z definicji wartości pochodnej funkcji g w punkcie x_0, {{Delta}g}/{{Delta}x}=g{prime}(x_0).

Składnik: alpha{{Delta}g}/{{Delta}x} dąży więc do zera, bo samo {{Delta}g}/{{Delta}x} dąży do wartości pochodnej funkcji g, a alpha dąży do zera (zgodnie z twierdzeniem o przyroście funkcji), jedno zaś przemnożone przez drugie dąży do zera.

Mamy zatem (przechodząc do granicy przy {Delta}x{right}0:

delim{[}{f(g(x))}{]}{prime}=f{prime}(g(x_0))g{prime}(x_0)

Co należało dowieść.

KONIEC

Pisząc tego posta korzystałem z…

1. „Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom I.” G.M. Fichtenholz. Wyd. 1966. (link partnerski – zobacz to znaczy, paragraf 27)


Kliknij tutaj, aby przypomnieć sobie, jak wyprowadzić wzory na właściwości pochodnych (poprzedni Wykład) <–

Kliknij tutaj, aby powrócić na stronę z wykładami o pochodnych

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

  1. K.P. pisze:

    Witam, miałem przyjemność uczyć się z Twojego kursu 🙂 Na ćwiczeniach z analizy miałem taki przykład do policzenia: (e^sinx)’ Po obliczeniu: (e^sinx)’ = sinx * e^(sinx – 1) * (sinx)’ = sinx * e^(sinx – 1) * cosx prowadzący stwierdził, że to jest źle. Dlaczego tu jest błąd? Z góry dzięki za odpowiedź.

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Witam 🙂 Przykład jest źle policzony, bo skorzystał Pan z niewłaściwego wzoru w pierwszym kroku. Pan skorzystał ze wzoru na x^n(czyli na xdo liczby), a trzeba było skorzystać ze wzoru na e^x.

      Powinno być więc tak:

      {{\left( {{e}^{\sin x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{\sin x}}\cdot {{\left( \sin x \right)}^{\prime }}={{e}^{\sin x}}\cos x

    2. K.P. pisze:

      A no tak, dopiero teraz zauważyłem. Dziękuje za odpowiedź 🙂

  2. Małgosia pisze:

    Witam,
    mam problem z policzeniem pochodnej po x, y i z z funkcji f(x,y,z)= x sin(xyz).
    Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?
    Pozdrawiam

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Jasne, jedziemy metodami omówionymi w moim Kursie Funkcje Wielu Zmiennych :

      f\left( x,y,z \right)=x\sin \left( xyz \right)

      \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left( x\sin \left( xyz \right) \right)=\frac{\partial }{\partial x}\left( x \right)\sin \left( xyz \right)+x\frac{\partial }{\partial x}\left( \sin \left( xyz \right) \right)=\sin \left( xyz \right)+x\cos \left( xyz \right)\cdot yz=\sin \left( xyz \right)+xyz\cos \left( xyz \right)

      \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left( x\sin \left( xyz \right) \right)=x\frac{\partial }{\partial y}\left( \sin \left( xyz \right) \right)=x\cos \left( xyz \right)\cdot xz={{x}^{2}}z\cos \left( xyz \right)

      \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\left( x\sin \left( xyz \right) \right)=x\frac{\partial }{\partial z}\left( \sin \left( xyz \right) \right)=x\cos \left( xyz \right)\cdot xy={{x}^{2}}y\cos \left( xyz \right)

    2. Małgosia pisze:

      Dziękuję bardzo!

  3. Ania pisze:

    Witam. Mam problem z policzeniem ekstremum lokalnych funkcji z drugiego warunku wystarczającego.

    f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4
    i f(x) = 3(x+5)^4

    Czy mogłabym prosić o pomoc w rozwiązaniu?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Dobra, zacznę od tej pierwszej:

      f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4

      {f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-4 \right)}^{\prime }}=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x

      4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x=0

      4x\left( {{x}^{2}}-3x+3 \right)=0

      4x=0\quad \vee \quad {{x}^{2}}-3x+3=0

      x=0\quad \vee \quad \Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3

      x=0

      Czyli mamy jeden punkt x=0„podejrzany” o bycie ekstremum. Dalej postępujemy sposobem „z drugiej pochodnej”, opisanym tutaj :

      {f}''\left( x \right)={{\left( 4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+12x \right)}^{\prime }}=12{{x}^{2}}-24x+12

      {f}''\left( 0 \right)=12\cdot {{0}^{2}}-24\cdot 0+12=12

      …czyli funkcja osiąga w tym punkcie minimum. Liczymy jeszcze jego wartość:

      {{f}_{MIN}}\left( x \right)={{0}^{4}}-4\cdot {{0}^{3}}+6\cdot {{0}^{2}}-4=-4

      KONIEC

    2. Apprentice pisze:

      Witam. Mam dosyć poważne pytanie. Jak wyprowadzić z definicji pochodną funkcji x-> f(ax+b) wiedząc, że funkcja f jest różniczkowalna w całej dziedzinie, którą tworzą wszystkie liczby rzeczywiste x? Otóż jest to jedno z tych charakterystycznych zadań, ale towarzyszy mu kompletny brak pomysłu.

      Z góry dziękuję.

  4. Malwina pisze:

    Witam czy w przydatku liczenia pochodnej f(x) = (2x + 4 – ln6)’
    mam uznać że chodzi o logarytm naturalny z 6 i że pochodna z tego to 0 czy mam zły tok myślenia?

    1. Krystian Karczyński pisze:

      Tak, pochodna z ln6to zero, ma Pani dobry tok myślenia 🙂

  5. Kamil pisze:

    A co jeśli funkcja jest złożona z 3 funkcji ? np. f(g(h(x)))=cos{arctg[ln(x)]} ?

    1. Paweł pisze:

      wiem że post był dawno ale może się komuś to przyda (cos{arctg[ln(x)]})’= (-sin{arctg[ln(x)]})*(1\{1+[ln(x)]^2}*(1\x), czyli liczysz od lewej do prawej mnożąc wszystko

  6. Lbz pisze:

    Czy ktoś potrafi obliczyć pochodną drugiego rzędu funkcji y=f(cos x) gdzie f należy do C^2(a,b) i przy okazji mi wyjaśnić czym jest klasa C^2?

  7. Edyta Hudzik pisze:

    Witam, mam problem z policzeniem pochodnej, a już nie pamiętam jak się to robiło.
    2ω pod pierwiastkiem 1+3cos^2(ω t)

  8. beata pisze:

    podaj definicje ilorazu różnicowego funkcji f:R–>R w punkcie xo=2
    podaj warunek na to aby funkcja f:R–>R była malejąca w przedziale (a,b)
    jak to trzeba zrobic?

  9. uczeń :) pisze:

    Witam 🙂
    mam taki przykład
    y=x^2 * e^(-5x-6) + 3/ (4-x)^2
    W jaki sposób liczymy tutaj pochodną? Głównie chodzi mi o e z potęgą. Z jakich wzorów korzystamy?

    1. Joanna Grochowska pisze:

      \displaystyle y={{x}^{2}}{{e}^{{(-5x-6)}}}+\frac{3}{{{{{(4-x)}}^{2}}}}

      Mam tutaj policzyć pochodną iloczynu oraz ilorazu dwóch funkcji.

      Korzystam z wzorów:
      https://etrapez.pl/wp-content/uploads/domowe/kp/pochodne.pdf

      \displaystyle \begin{array}{l}y'=\left( {{{x}^{2}}{{e}^{{(-5x-6)}}}+\frac{3}{{{{{(4-x)}}^{2}}}}} \right)'=\left( {{{x}^{2}}{{e}^{{(-5x-6)}}}} \right)'+\left( {\frac{3}{{{{{(4-x)}}^{2}}}}} \right)'=\left[ {\left( {{{x}^{2}}} \right)'\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}+{{x}^{2}}\cdot \left( {{{e}^{{(-5x-6)}}}} \right)'} \right]+\left[ {\frac{{\left( 3 \right)'\cdot {{{(4-x)}}^{2}}-3\cdot \left( {{{{(4-x)}}^{2}}} \right)'}}{{{{{\left( {{{{(4-x)}}^{2}}} \right)}}^{2}}}}} \right]=\left[ {2x\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}+{{x}^{2}}\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}\cdot (-5x-6)'} \right]+\left[ {\frac{{0\cdot {{{(4-x)}}^{2}}-3\cdot \left( {2\cdot (4-x)\cdot (4-x)'} \right)}}{{{{{(4-x)}}^{4}}}}} \right]=\\2x\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}+{{x}^{2}}\cdot {{e}^{{(-5x-6)}}}\cdot (-5-0)+\frac{{-6\cdot (4-x)\cdot (0-1)}}{{{{{(4-x)}}^{4}}}}=\\{{e}^{{(-5x-6)}}}\cdot \left( {2x-5{{x}^{2}}} \right)+\frac{{6\cdot (4-x)}}{{{{{(4-x)}}^{4}}}}={{e}^{{(-5x-6)}}}\cdot \left( {2x-5{{x}^{2}}} \right)+\frac{6}{{{{{(4-x)}}^{3}}}}\end{array}

  10. dominooos pisze:

    Miałem przyjemność spotkać się z zadaiem na kolokwium dotyczącym pochodnych, brzmi on tak 〖(sin^5〗⁡(tg(x)))’. Niestety nie potrafię tego rozwiązać 🙁

    1. dominooos pisze:

      poprawiam wyglądowo (sin^5(tg(x)))’

  11. ANIA pisze:

    Witam, na kolokwium miałam za zadanie policzyć pochodną z definicji z takiej funkcji:

    f(x)= {-x^2+x ;dla x2

    (dwie funkcje dla różnych przedziałów). Trzeba policzyć f'(2) o ile istnieje. Mogę prosić o pomoc?

  12. Maria Seweryn pisze:

    ja na kolokwium miałam zadanie : ((cosx)^sin2x)’… , próbowałam robić to wzorem na (x^n)’, ale było źle, potem znalazłam jakiś wzór a^b = e^(blna)… i juz sama nie wiem jak to zrobic

    1. Kamil Kocot pisze:

      Powyższą pochodną można obliczyć następująco:

      pochodna-f-do-f

  13. Weronika pisze:

    Potrafisz też liczyć pochodne funkcji podwójnie złożonych nie w sensie, że głębiej i głębiej są jeszcze jakieś funkcje, tylko że są na tym samym poziomie (np. logarytm do potęgi arcustangens)? Bo mam takich kilka do policzenia i jestem załamana