Екстремуми Функції Лекція 7
Тема: Достатня умова існування ек стремуму функції (зміна знаку похідної).
Зведення
Як з’ясувалося на попередній лекції, той факт, що похідна функції в точці дорівнює 0, не обов’язково означає, що сама функція досягає в цій точці екстремуму. Тут ми тому обговоримо, які умови достатні, щоб функція досягала екстремуму в якійсь точці.
Достатні умови існування екстремуму
Припустимо, що в певному оточенні точки x_0 функція f \left(x \right) має скінченну похідну f' \left( x \right):
- Якщо в цьому оточенні x_0 зліва від x_0 значення похідної функції є додатними, а справа від x_0 від’ємними – тоді функція приймає максимум в точці x_0
- Якщо в цьому оточенні x_0 зліва від x_0 значення похідної функції є від’ємними, а справа від x_0 додатними – тоді функція приймає мінімум в точці x_0
Дійсно, відповідно до Леми про монотонність функцій, введеної на попередній лекції, якщо похідна функції приймає додатні значення, це означає, що функція
зростає. Якщо ж похідна
приймає від’ємні значення, це означає, що функція
зменшується.
Отже, якщо похідна “змінює знак”, це також означає зміну монотонності функції
, наприклад, у випадку 1.
Похідна зліва від є додатною, а справа від’ємною. Це означає, що функція
зростає зліва від
і зменшується справа. Виглядати це має приблизно так:
На вищенаведеному графіку ми бачимо графік функції
(нагорі) та її похідної
. Видно, що в “лівому” оточенні точки
(позначено синім) похідна
приймає додатні значення, а функція
зростає. У “правому” оточенні точки
(позначено червоним) похідна
приймає від’ємні значення, а функція
зменшується.
Видно, що така зміна завжди означає існування максимуму в точці .
КІНЕЦЬ
Пишучи цей пост, я користувався…
1. “Рахунок диференційний і інтегральний. Том I.” G.M. Фіхтенгольц. Вид. 1966.
Натисніть тут, щоб згадати необхідну умову існування екстремуму (попередня лекція) <–
Натисніть тут, щоб повернутися на сторінку з лекціями про дослідження перебігу змінності функцій